| 标题 | 学材设计：相异构想调正的重要策略 |
| 范文 | 刘善娜 【摘 要】儿童学习某个数学知识前的原初认知，可能是偏离了科学概念的相异构想。如“三角形的面积”一课，学生基于原有的经验去推导面积的计算公式，绝大部分学生都想不到用倍拼法，但倍拼法又是他们最终需要吸收内化的方法。对此，教师在教学中可以从学情检测、教材分析、学材对比教学等角度入手，分析学生原初认知与最终认知之间的差异，并寻求最利于学生认知建构的学习素材来达成相异构想的调正。 【关键词】相异构想；学材设计；三角形面积 儿童总是基于前期积累的经验去解决新遇到的问题，但方法、路径可能是片面的、浅层次的，可能是偏离了科学概念的相异构想。如“三角形的面积”一课，学生会基于原有的经验去推导面积的计算公式，这些经验都与最终的认知形成息息相关。 问题的经验][多个三角形的拼组经验][提前学（见）过三角形面积计算公式推导过程][三角形面积计算公式推导的 原初经验][平行四边形 分割成两个三角形 的经验][（平行四边形面积）割补转化经验][数格子求图形面积的经验] 三角形面积计算公式推导的原初经验 平行四边形转化为长方形时进行的是等积转化，而三角形转化成平行四边形则需要加倍，学生需要面对一个三角形想到去虚构另一个与之全等的三角形，使之拼成学过的规则图形。根据克莱门兹等人对图形构造能力层次的划分，可以发现前者属于层次一“前构造者”（只能操作单一的图形，而不能把它们组合成更大的图形）与层次二“堆砌者”（能够按照要求或根据模型把一些简单的图形组合在一起，看到的只是整体的形状，而不是图形之间或图形的部分元素之间的几何关系）；而后者则需要达到层次五“合同构图者”（学生能够有意识地合成图形，能够充分认识和运用图形的合同或全等关系，如知道两个全等的梯形可以构成一个六边形）。这其中的差异，导致学生的原初构想与最终构想之间存在难以想到“从加倍（×2，倍拼法推导）到消去一半（÷2，运用公式准确计算）”的相异构想。本文从学习材料的合理选择与设计入手进行阐述。 一、典型学材设计与相应调正流程 教材选用不同的素材，激活的就是不同的原初经验。从不同的原初经验出发的相异构想，经由不同的学习材料的运用，就会形成不同的调正教学流程。利用不同的学习材料进行的调正教学主要有以下三种典型设计。 典型学材设计1：提供3个三角形 教学流程：利用原有经验操作 → 能转化成功， 不能转化成功，为什么？→发现 能分成2个完全一样的三角形，认识到2个完全一样的三角形才能拼成平行四边形→信封里还有1个 ，成功操作→找联系，推导公式→引申介绍《九章算术》“中位线割补”，沟通其中的联系。 调正了什么？ 学材设计灵感来自于人教版教材的“操作”倍拼转化。教材是直接给予两个完全一样的三角形，暗示过于明显，如果放手让学生操作，学生又找不到探究的切入口。这一学材的使用，把学生的思维从“1个三角形沿高剪开来拼”引导到用“2个完全相同的三角形来拼”，学生从“只会转化等腰三角形→能转化任意三角形”。 欠缺了什么？ 学生面对 无法转化成功，教师予以层层的“巧妙”引导，将“分成2个完全一样的三角形”与“2个完全一样的三角形才能拼成平行四边形”对接，才完成了调正教学，说明这一学材无法调动学生的原有拼组经验，学生无法独立找寻到“倍拼法”，且探究方式比较单一，不利于学生主动探究。 典型学材设计2：提供以方格为背景的直角、锐角、钝角三角形各1个。 调正了什么？ 学材设计灵感来自浙教版和日本启林版。借助直角三角形这个特殊图形，引导学生完成“倍拼”构想，将研究直角三角形面积的活动作为突破“倍拼法”的关键环节。这一学材的使用，使得学生能在以方格为背景的情况下，用“中位线割补法”“倍拼法”将三角形转化成学过的图形，算出面积。 欠缺了什么？ 这一学材激活了较多的原初经验，学生能顺利转化，但由于从直角三角形出发到锐角三角形、钝角三角形的尝试、探究、反馈、提炼过程较长，以及学生始终在方格背景下探索公式，导致学生在面对无数据的任意三角形需要自己测量关键数据时，就出现了很多的错误。 典型学材设计3：提供以平行四边形为背景的直角三角形1个。 教学流程：求出三角形面积 调正了什么？ 学材设计灵感来自苏教版。借助平行四边形与三角形之间的特殊关系，引导学生完成“加倍”构想，让学生能从计算平行四边形中的三角形的面积出发去推导公式，逐步达成任意三角形面积的计算，且对公式中的“÷2”印象特别深刻。 欠缺了什么？ 学生面对这份学材，推导的方法比较单一，紧扣平行四边形÷2得到三角形。 对比三份典型学材与相应的教学流程，可以得到两点启示： 1.格子图的优势。格子图为不同层次的学生提供不同的表达素材，人人都可以动手去探究。且格子图本身就与面积的本质有关联，比其他的学习素材都要直观形象。 2.“切”“合”动态感知的优势。学生在利用学材1和学材3时，都用较长时间感受了两个完全一样的三角形拼成平行四边形、一个平行四边形均分成两个完全一樣的三角形的过程，这一过程对接了面积计算公式中的“÷2”，有助于相异构想的转化，降低学生在后续计算过程中“÷2”的遗忘率。 利用这两个学材的优势，就能助推学生对“从加倍（×2，倍拼法推导）到消去一半（÷2，运用公式准确计算）”的相异构想进行调正。 二、调正相异构想的学材设计与调正教学片段 显然，要引导学生掌握倍拼法，掌握计算公式，需要利用学生“最近”的经验，使其相异构想的“异”度在一定程度上降低，就可以让学生在方格图背景下研究三角形面积计算公式。在得出多样化的转化方法之后，通过沟通、对比，提炼出面积计算公式，并在公式习得后，设计“三角形从平行四边形中‘单飞求面积”“‘单身三角形求双的想象画图”“没有方格图自测数据求三角形面积”等即时跟进练习，以助推方格图背景学材在公式运用时达到“平行四边形一分为二”的动态过程与公式中“÷2”的过程性对接的同等效果，从而顺利将相异构想调正为相同构想。 学材设计与调正教学1：直角三角形“打头阵”，方格背景从无到有。 师：有谁知道三角形的面积怎么算？ 生：三角形的面积=底×高÷2。 师：你说的三角形，是指所有三角形吗？ 生：是的。 师：三角形比较复杂，可以按边分，可以按角分，咱们是按边研究还是按角研究？ 生：按角研究，因为三角形可以分成锐角、钝角、直角三角形，不重复不遗漏。 生：按边分，我们只认识特殊的等腰三角形和等边三角形，每条边都不一样长的三角形没有研究。 师：那就按角的分类来研究。要计算这三类三角形的面积（出示三角形： 师：谁上来汇报一下自己的研究结果，为什么6×4以后还要“÷2”？ 方法：中位线割补——割补转化 生1（出示）： 师：6是长方形的长，4÷2是——[长方形的宽，板书：6×（4÷2）]。 师：好，他解释了之所以÷2，是因为高÷2了（动态配合，图1）。你们俩呢？ 生2：我和他的方法差不多 生：我觉得他们就是用“一半”法来解释“÷2”的。高割掉一半，或者底割掉一半，拼成学过的平行四边形或者长方形。 【设计意图】根据经验分析，以方格图为背景，部分学生能利用平行四边形割补转化的方法，将单个直角三角形直接分割转化。又根据前面所做的后测分析，这种方法一旦离开格子图，学生“留痕”过浅，因此不作放大研究，而是让学生用自己朴素的话加以表达，并用预设好的课件配合学生的方法，帮助每个学生能理解单个图形的转化。 师：说得真好。那么大家看这两种方法，和刚才的方法一样吗？他们又是怎么想的？和原来的三角形又有怎样的联系？ 生：我觉得这两个作品特别好理解。6×4，算出来的是长方形和平行四边形的面积。但这个长方形和平行四边形都是由2个一样的直角三角形拼成的，所以6×4后要再÷2。 生：我也觉得。6×4就是长方形的长×宽，是24平方厘米，三角形的底×高就是24平方厘米，但这是2个三角形的面积，所以6×4后要再÷2。 生：他们都是多画了1个一样的直角三角形，拼成了学过的图形，只不过这个拼在斜边上，这个拼在直角边上。 师：按他的说法，还能把这个多画的直角三角形往哪儿拼？ 生：还有一条直角边上也可以拼。 师：你们在格子图上画画看，拼起来是什么样子的？ 生：也是一个平行四边形，它的底是三角形的这条直角边，高是另一条直角边。 师：咱们以前这样拼过吗？ 生：拼过。2副三角板，用尖尖的两个直角三角板，可以拼组成3个不同的平行四边形。 【设计意图】（1）利用最“同”构想，推进理解。格子图上的直角三角形，学生在四年级时就能想到加倍成长方形来数面积，课堂上自然有很多学生会想到这种方法，但很少有学生会想到倍拼成平行四边形。2个图放在一起比较，学生就能关注到“倍拼”的共同点，借助“长方形”的“容易理解”来推动不同形式但相同本质的“倍拼法”。（2）激活拼组法经验，让“倍拼法”有了“来处”。学生发现倍拼法原来是“老朋友”，之后的锐角三角形和钝角三角形就可以放手让学生自己研究，学生会在“割补法”和“倍拼法”的基础上，多一种将锐角三角形、钝角三角形“分割成2个直角三角形”，然后用直角三角形来解释说明的方法。 学材设计与推进教学2：强化公式感知，从平行四边形中来。 师：大家刚才用了很多方法，画画、写写、说说，也发现了用倍拼法把三角形转化成平行四边形（含长方形），特别好理解。那请大家看看，这个平行四边形中，你能看到三角形吗？ 师生一起比画：单身的三角形求不出面积，需要依靠它的好朋友平行四边形，先底×高变成了平行四边形，再÷2，就得到了三角形的面积。 【设计意图】（1）对应公式，强化直观感知。先将一个已知面积是6平方厘米的平行四边形分割成2个三角形，求三角形面积；然后从单个三角形去想象拼成的平行四边形，再一分为二，这样由课件配合动态直观的感知过程，都是在帮助学生理解公式后进一步内化概念。（2）故事化语言，让学生牢记好朋友平行四边形。在后续的练习中，学生经常要忘记“÷2”，故事一串，手势一表演，学生就加深了印象，感受到了三角形必须依靠好朋友才能算出面积，底×高算的是平行四边形面积，要÷2才是三角形面积。 从前测到教材分析，从典型学材设计与经典教学流程到学生“学材”的选择，最终形成了相异构想理念下调正“差异”的学材设计，并在这样的学材基础上推进了三角形面积计算公式的推导教学。关注相异构想，就是关注学生的原初经验，设计有效的学习材料，就是基于学生的原初经验去引导、去沟通、去调正与知识的最终构想之间的差异，让学生经历从“不完整”的原初构想到“完整”的最终认知的调正过程。 参考资料： [1]杨富民.“三角形面积”磨课历程[J].小学教学设计，2016（20）：52-53. [2]陈敏.基于“重点·难点·关键点”的教材比较研究——以“三角形的面积”新授课为例[J].小学教学（数学版），2016（06）：7-10. [3]陈敏.“三角形的面积”教学再尝试[J].小学教学（数学版），2012（09）：38-40. [4]郑维荣.基于思想导引的“殊途同归”——“三角形的面积计算”教学案例（一）[J].小学教学设计，2015（32）：16-17. [注：本文为浙江省教育规划课题2018SC086“小学数学相异构想调正策略的研究——以图形与几何（测量）为例”的阶段性成果之一。] （浙江省宁波市奉化区实验小学 315500） |
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