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初中阶段数学运算中的致错因素分析

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文强

【摘要】本文通过对初中阶段学生存在的数学运算错误类型进行归类和归因分析，试图找到学生运算犯错的思维图示及路径，从而探讨更有效的教学策略和方法，以更好地解决学生的运算过关问题.我们通过本文的分析可以发现，数学运算的过程及结果是一种数学思维及能力的综合体现.教学中，教师应把握住运算类型及其本质，并与学生当前的思维发展层次有效结合.提升运算能力的有效方法是通过实践和反思的路径，在纠错的过程中逐步形成良好的运算习惯.

【关键词】数学运算;致错原因;教学策略

一、小学和初中阶段教材关于数学运算的学习安排

小学阶段，学习了加、减、乘、除四则运算及其法则，涉及对自然数的简单分类：奇数、偶数、素数、合数、平方数.初中阶段，首先引入了负数，完成了有理数的分类，然后又通过平方根引入了无理数，将数系扩充到了实数，并在此基础上，引入了平面直角坐标系，完成了数形结合的工具性铺垫.初中阶段，在“数的运算”的基础上发展“式的运算”，首先是学会用字母表示数，然后学习了整式及其运算，再以“等式的性质”引入方程，“不等式的性质”引入不等式，“分式的性质”引入分式的运算及分式方程.

二、初中数学运算的思维层次

初中阶段的数与式的运算是建立在“数感”的基础之上的抽象化、概念化、模式化的一种数学形式.所以，小学阶段关于数与运算的核心目标应是发展“数感”，即能够理解正有理数、0的意义以及它们之间的联系和大小关系.多种直观方式的呈现，可以启迪学生思考，以便其形成良好的“数学直觉”（Howden）.良好的数感，能帮助学生有效地进行数的分解，并进行良好的数的运算，能估计运算结果并对结果的合理性做出理性判断，形成良好的数、问题及结果的“直觉的素质”（Sowder）.

初中阶段首先扩充了负有理数，关于数的运算是以有理数为重点，继续巩固和发展“数感”和“运算直觉”.这一核心目标必须贯穿于整个数系的扩充过程，不然，代数系统的抽象性将成为学生学习的障碍.由于代数运算还具有系统性，所以，前面的学习基础势必会影响到后续的学习效果.所以必须每一处的运算都严格过关，从而达到学习目标，使得下一阶段的学习顺理成章.

运算作为一种重要的数学能力，应当得到充分的重视.即使在人工智能时代的今天，数学学习中，运算能力也不应淡化.这里谈的数学运算，主要涉及算理和算法的選择和优化.它不单单是计算，更是一种逐步升级的思维形式，是数学核心素养的重要组成部分.运算能力的缺失，将造成数学核心能力和素养的缺失，而缺乏熟练的运算能力会影响问题解决的结果.

三、对初中学生的常见运算错误的分析

作为一线初中教师，教学过程中对初中学生的常见运算错误都深有体会.学生的运算不过关是比较痛苦的，常常会发生一些意想不到的错误，使人哭笑不得.笔者每当看到学生的这些错误时，就开始思考，究竟是什么原因导致了这些错误？能不能找到合适的路径避免这些错误的发生？学生运算错误能不能通过有效的思维层次的图示显性化地展示出来？

（一）初中阶段学生常犯的几种运算的错误类型及思维过程分析

类型一运算法则的“负迁移”

错误：12+13=25;正解：12+13=36+26=3+26=56.这是小学阶段的分数相加问题，是学生运算能力形成过程中的一个重要转折点.该题涉及一个通分的中间运算，也就是有两个运算层次.解答此题时，学生需要将运算的形式和内容进行分离，从法则上理解分数的加法的运算实质.学生正是因为没有正确理解分数的加法的运算实质，错误地将分子、分母简单相加造成了此处错误.这种错误类型我们称为“负迁移”，即一种学习对另一种学习起到了干扰和阻碍的作用.学生进入初中之后，这一类错误会更加频繁地发生，如错误：a3·a2=a3×2=a6;正解：a3·a2=a3+2=a5.这个错误是由于学生对乘法的“负迁移”造成的.加强对比认知和举反例是有效避免此类错误的方法.

类型二运算律的问题

错误：3÷12×2=3÷1=3;正解：3÷12×2=3×2×2=12.这是小学阶段四则运算中运算顺序问题，对初中数学的学习有着重要的影响作用.这里学生的错误来自心理的惰性选择，认为先计算12×2会使得计算简便，错误地认为这是在做简便运算，其实这是对“简便运算”的实质没有吃透.简便运算必须遵循“运算律”.这类错误的发生不仅是对运算律的忽视，更是对运算的底层逻辑的忽视，是比较严重的运算问题.如错误：-3-2=-（3-2）=-1;正解：-3-2=-3+（-2）=-（3+2）=-5.明确运算类型，规范化使用运算性质和运算律是解决此类问题的方法.

类型三运算的形式及概念的问题

错误：4=±2;正解：4=2.这里是由于学生不能正确理解的含义而致错，主要原因是学生对算术平方根及平方根的概念及其符号的表示产生混淆.算术平方根的运算符号是，平方根的运算符号是± .加强符号语言与文字语言之间的表达转换训练是解决此类问题的方法之一.

类型四被逼无奈的“法则创造”

错误：由（x+1）2=4，得x2+12=4，得x2=3，得x=±3;正解：由（x+1）2=4，得x+1=±2，得x=-3或1.“（x+1）2=x2+12”这个错误，形式上看来是对积的乘方“（ab）n=an·bn”的“负迁移”，但从教材的编排顺序可以发现，学生形成此类错误时，并未学习积的乘方的法则，所以不可能是对积的乘方的“负迁移”，其实是学生缺乏“整体”的观念，在被逼无奈的情况下，“创造法则”所致.所以，教学中适时渗透“整体”等基本数学思想是很必要的.

类型五数到式的过渡出现问题

刚学习负数时，很多学生错误地认为-a一定表示负数，把正数和负数的表达固化为“+”和“-”的形式.这是由于数到式的过渡出现了问题.在后续学习中，有的学生出现如下错误：已知a<0，解ax>-1，得x<1a.学生给出的解释是“因为a是一个负数，所以相除应该是一个正数”，这点本来没有问题，但是他认为表示正数的式子就不应该带负号，这是一个很大的问题.在学习每一种新的运算时，教师要加强举例说明，并多以具体的例子加强对比，使得学生在认知结构上进行有效的“同化或顺应”（Piaget）.

类型六运算过程中的表达不规范、不完整的问题

错误：3-2-3=3-2-3=1-3;正解：3-2-3=3-2-3=1+3.该题的错误是由于学生去掉绝对值符号后，没有添加括号，操作不规范、不完整而导致的.出现这类错误可能是学生缺乏“算式及整体”的概念所致，所以，在数到式的过渡中，加强“整体观念”的形成是很重要的.

类型七混淆式子类型、法则

学生不能区分算式和等式，将等式性质误用到算式变形中.比如：将a3+b2+c变形成2a+3b+6c，这里，学生通分后，将分母“吃掉”了，这是因为解方程中“去分母”的学习过程对算式的运算造成了干扰.类似的错误还常出现在因式分解部分.如因式分解a26+2ab3+2b23.错解：a26+2ab3+2b23=a2+4ab+4b2=（a+2b）2;正解：a26+2ab3+2b23=16（a2+4ab+4b2）=16（a+2b）2.明确运算的对象和类型，加强概念教学可以有效避免此类错误的发生.

类型八 “逆运算”等运算形式的转化障碍

错误：由3x=2，得x=32;正解：由3x=2，得x=23.这是初中解方程中化系数为1时，学生常常发生的“倒除”现象.出现这类“倒除”现象可能是学生对乘法“逆运算”的理解不到位，也可能是除法与分数形式互相转化的过程中，分子、分母位置对应错误所致.类似的错误：由12x=2，得x=1;正解：由12x=2，得x=4.进行有效的错误归因和分析，寻找致错因素的本质，可以提升正确使用运算性质的能力.

（二）运算习惯对运算结果的影响

良好的运算习惯包括：规范使用草稿纸、遇到运算障碍时良好处理、对运算错误进行归因、良好的运算心理素质.下面我们将通过一些实例和数据，谈谈这些习惯对运算结果的影响.

笔者对其校多个班级的学生进行了关于数学运算的调查，结果显示如下：

1.规范使用草稿纸的学生运算成绩整体优于草稿纸使用不规范的学生.没有专用草稿纸（占比约30%）和常常不使用草稿纸（占比约10%）的学生犯低级运算错误的可能性更大.

2.遇到运算障碍时，运算成绩优秀的学生约有70%会及时调整思考方法，放弃比例约有15%，而运算成绩较差的学生仅有37%会及时调整思考方法，放弃比例约有42%，剩下的部分学生则选择坚持一种方法持续尝试.

3.运算致错归因方面，知识性致错占比约26%，过失性和能力性（包含运算法则混淆使用的情况）致错占比约74%，同一题目中，单一因素致错的比例在65%左右.其中，运算成绩优秀的学生知识性致错占比较低，约5%，运算成绩较差的学生知识性致错占比较高，约38%.能够规范使用运算性质和运算律进行运算的学生，成绩明显优于使用运算性质和运算律意识较差的学生，且过失性致错更少，拥有更强的运算能力.

4.心理的惰性因素也被认为是运算致错的主要因素之一.学生由于心理的惰性，总想跳过必要的步骤或规则，以求得更快的速度，这个过程中，就会导致其思维的盲区，混淆法则、误用法则、“创造”错误法则等现象频频发生.调查结果显示，运算成绩优秀的学生，拥有更好的心理素质，大多数能够静下心来按步骤规范操作，对于错误也能更好地进行归因和分析.

四、初中阶段数学运算的教学策略与选择

数学概念的掌握对运算能力的形成有着重要的作用，没有概念作为基础的运算策略，常被遗忘或混淆（Kamii ）.所以，教师应适当强化数学概念的教学，使学生通过概念对运算的对象和法则进行界定，从而使学生有效避免运算法则的混淆.

初中阶段（12～15岁），学生开始进入形式运算阶段（Piaget）.其实，具体运算到形式运算之间存在着一个质变.在具体运算思维阶段，学生習惯于解释具体的客观事物和事件的改变，而在形式运算思维阶段，主要是能够区分现实性与可能性，即能够将内容和形式进行分离，可以离开具体事物，根据假设来进行逻辑推理和演绎.比如：在一个多变量影响的问题中，初中学生能够成功分离出几个变量，来研究单一变量对问题的影响，而具体运算阶段的学生不能完成这个任务.教师可以要求学生对运算错误进行归因和整理，引导学生逐一分离影响整个运算致错的因素，使学生学会评估这个致错因素在整个运算中起到的负面作用，并学会形成解决方案来避免类似错误的发生.

数学运算的过程及结果是一种数学思维及能力的综合体现.教学中，教师应把握住运算类型及其本质，并与学生当前的思维发展层次有效结合.

综上，教师可以对学生常出现的错误适当加强变式训练;可以通过引导学生的纠错行为，使其形成良好的运算的书面表达习惯;可以规范学生使用运算性质和运算律，并建立起良好的运算思维习惯;同时，可以让学生学会在错误中归因和反思，在问题解决策略的形成过程中提升运算能力.

【参考文献】

[1]彭爱辉.初中数学教师错误分析能力研究[D]. 重庆：西南大学，2007.

[2]巩子坤.有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究 [D]. 重庆：西南大学，2006.

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