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基于坐标法的既有线整正方法优化

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张少谨　帅文忠

摘要：曲线整正是铁路养修的关键环节，行之有效的算法是灵魂所在。基于最小二乘法和几何重心法提出了拨道量计算的优化方案，以兰新铁路某段曲线为例证实了该算法的可行性。

Abstract： Curve realignment plays a vital role in track maintenance， the essence lies in algorithm. An optimization scheme was proposed based on orthogonal least squares and geometry center algorithm， the feasibility was testified in a curve of Lanzhou-Xinjiang railway.

关键词：正交最小二乘法;曲线整正;切曲差;几何重心法

Key words： orthogonal least squares;curve realignment;the difference of tangent and curve;geometry center algorithm

中图分类号：U216.42+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文献标识码：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章编号：1006-4311（2019）33-0287-04

0? 引言

基于坐标测量整正曲线的坐标法因其操作安全，理论严密，工作效率高等特点而广泛应用[1-2]。铁路线路直线段在线路整正中认为变形较小而往往被忽略，但有部分学者认为直线段由于建设时的施工精度以及多年的运行及养护等原因普遍存在着变形的问题。其次在坐标法曲线整正中常用的通过圆曲线段最小二乘法拟合求出初始半径的方法当半径与弧长比过大时会出现模糊的问题。此外，目前应用拨道量优化方法没有考虑整正前后轨道的变化长度从而不符合曲线整正的基本要求[3-5]。针对目前存在的问题本文根据兰新线实测坐标运用正交二乘法拟合直线段，几何重心法计算初始半径，运用切曲差原理求出最优拨道量值。

1? 坐标法整正原理与基本要求

1.1 坐标法整正原理

根据曲线整正基本要求，曲线始终端切线整正前后方向及位置保持不变，即选定既有线始终端切线上各 2个测点坐标如图1所示ABCD四个点，计算出曲线偏角 α 及交点坐标（XJD，YJD）。根据曲线段计算公式及平面几何关系，求出初始半径 R、初始缓和曲线长 l0等要素可得出曲线初始的各要素点及设计里程，根据拨道量优化方法推导出不同的半径及缓和曲线长组合，应用坐标法计算公式可计算出曲线上各测点的设计坐标。通过计算求得不同的设计坐标与既有坐标的距离，从而得出最优拨道量[6]。具体的计算公式和过程可参考文献[4]所示。

1.2 坐标法整正基本要求

铁路既有线整正时整正前后必须满足：

①曲线转角值不变;

②整正前后轨道长度保持不变;

③坐标测量的起点和终点在曲线外的直线上，起点和终点的整正拨距为零，保证线路两端的位置是固定不变以确定直线的方向不变[7]。

2? 关键算法设计

2.1 直线段拟合

目前确定曲线转角的方法是选定既有线始终端切线上各 2个测点坐标如图1中ABCD四个点，根据四个点的坐标计算出曲线偏角 α 及交点坐标（XJD，YJD）。但有部分学者认为直线段由于建设时的施工精度以及多年的运行及养护等原因也会发生变形，任意选取的ABCD四点不能保证其两条直线段的斜率，应先将直线段拟合后选取四点，我们基于兰新上行线K100-K127段七条直线做一个直线段的拟合。常用的最小二乘法拟合只考虑Y因变量方向的单一误差，而不考虑变量X方向的误差，由于既有线测量的误差，既有线线路的横纵坐标都存在着误差，因此本文采用综合考虑横纵坐标误差的正交最小二乘法来对直线段拟合[9]。

线路线形中直线线元方程可表示为：

（1）

式中：—采样点坐标;

a—直线斜率（带估参数）;

b—直线y轴截距（带估参数）。

若ai，bi为近似值，则：

（2）

得误差方程：（3）

关于误差方程的矩阵表达式：

（4）

式中：

（5）

于自变量x考虑误差，因此直线方程可表示为：

（6）

综合推导正交最小二乘拟合直线参数方程为：

（12）

则

正负号的取值按实际情况而定。将兰新线上行线K100-K127段内七段直线段用常用最小二乘法和正交最小二乘法拟合后拨道量平方和如表1所示，提取其中的第一段直線从拟合偏差和中误差比较如表2所示。从表1和表2可以得出，正交二乘法拟合效果要好于常用最小二乘法拟合。

2.2 几何重心法求初始圆心

根据曲率划分的圆曲线段测点的坐标运用3点成圆的方法可以得出n个半径值及圆心坐标，n个半径值可以组成如图2所示的多边形A1A2A3…An，多边形几何重心计算过程如下所示：

根据三角形定理可知，已知三角形△A1A2A3的顶点坐标Ai（xi，yi）（i=1，2，3）。它的重心坐标为：

已知三角形△A1A2A3的顶点坐标Ai（xi，yi）（i=1，2， 3）。该三角形的面积为：

（15）

多边形几何重心原理：将多边形划分成n个小区域，每个小区域面积为σi，重心为Gi（xi，yi），利用求平面薄板重心公式把積分变成累加和：

由前面所提出的三角形原定理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的一般重心公式：以Ai（xi，yi）（i=1，2，…，n）为顶点的任意N边形A1A2…An，将它划分成N-2个三角形（如图2）。每个三角形的重心为Gi（xi，yi），面积为σi。那么多边形的重心坐标G（x2，y2）为：

（18）

（19）

结合既有线数据通过三点法和平均值法以及几何重心法比较可以得出，几何重心法结果更加精确，如表3所示。

2.3 拨道量优化

基于目前的组合优化拨道量时，不满足整正前后轨道长度的变化的基本要求，有部分学者提出基于曲线约束法原理的组合优化方法，但是基于曲线约束法原理的拨道量优化约束性较大，拨道量结果值往往较大，基于存在的问题我们采用切曲差原理的拨道量优化[10]。

曲线约束法是以初始半径及缓和曲线长下的既有线现有曲线段长L为约束条件，由曲线段长L推导出不同的半径及缓和曲线长组合从而比选出最优的拨道量值。如公式所示：

（20）

则：（21）

切曲差优化拨道量值原理如图3所示，根据曲线要素计算公式可以推求切曲差q的表达式：

（22）

在等长缓和曲线，曲线转角以及半径确定的情况下，可以进一步推导出切曲差表达式：

（23）

根据曲线整正的基本要求整正前后直线保持不变，轨道长度保持长度不变，从而q保持不变，根据切曲差表达式，如果给定一个半径R可推导出缓和曲线长的表达式：

（24）

根据确定的半径及缓和曲线长组合即可求得不同的拨道量值。

求出不同曲线段的拨道量值如表4所示。

3? 算法实现

采用本文所设计的算法，结合既有线第一段与第二段曲线坐标，通过在直线段拟合后拨道量值和多组任意点选取两点求得的拨道量值对比可以看出，任意点选取两点求得的拨道量值根据选取点的不同拨道量值变化较大，直线拟合后拨道量值较小，结果更加精确，结果如图4和图5所示。

4? 结论

坐标法在对既有线进行曲线整正计算中理论严密，计算简洁。通过直线段坐标正交最小二乘法拟合后，拨道量的值更加精确，采用的几何重心法所求得的初始半径计算简单，符合工程实际。采用的切曲差原理的拨道量优化算法更加符合曲线整正要求。

参考文献：

[1]任少伟，胡欣明.运用坐标法进行既有复曲线拨距计算[J].铁道运营技术，2011，17（03）：58-60.

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[4]XF Duan，F Han. Method Study on Curve Realignment of Existing Railway Based on Point Cloud Data[J]. Railway Standard Design， 2013，2013（08）：15-18.

[5]候茂盛.基于最优化理论的既有铁路曲线整正方法研究及应用[D].兰州交通大学，2015.

[6]谭海长，周广勇.浅析铁路线路大修坐标法整正曲线[J].建材与装饰，2018（22）：267.

[7]TB10098-2017，铁路线路设计规范[S].

[8]刘文涛.基于坐标算法的铁路线路整正系统研究[D].兰州交通大学，2013.

[9]石培泽.基于正交最小二乘法既有线平面线形拟合[J].四川建筑，2017，37（05）：92-95.

[10]王保成，韩峰.基于坐标测量的既有曲线整正计算优化方法研究[J].兰州交通大学学报，2008（01）：11-13.

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