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标题 以《鸽巢问题》为例浅谈教学中渗透数学思想方法
范文 陈尘


摘 要：《鸽巢问题》是人教版六年级“数学广角”中的一个内容，笔者主张通过各种各样的活动操作，引导学生经历鸽巢问题的数学建模和证明过程，并由此引申出类似的题目，渗透推理思想、模型思想等。
关键词：鸽巢问题；小学数学；推理思想；模型思想
数学思想方法能指明教师的教学方向，提高学生的思维品质和整体素养。下面笔者就以人教版六年级下册第五单元数学广角《鸽巢问题》为例，谈谈在教学中如何进行数学思想方法的渗透。
通过教材分析，我们发现《鸽巢问题》主要蕴含推理思想、模型思想、数形结合、列举法、假设法、反证法、分类等数学思想方法。因此，笔者把本节课的教学目标定为：（1）通过各种数学活动，引导学生经历数学建模和初步的数学证明的过程，能初步运用抽屉原理解决相关的实际问题或解释相关的现象；（2）在探究鸽巢问题的过程中，渗透逻辑推理、模型和数形结合等思想，进一步培养学生的抽象、推理和应用能力；（3）使学生感受数学的魅力，领悟数学与外部世界的紧密联系。为此，笔者设计了以下教学过程：
一、激趣引入，揭示课题
1. 扑克牌魔术
教师出示一副扑克牌，取出大小王，让学生随意抽取五张，教师总能猜出：不管怎么抽，至少有两张牌是一样花色的。
先让学生说说对“至少”的理解，然后验证结论的正确性。
2. 揭示课题
今天我们就要从这个魔术里学到一个非常重要的数学原理——抽屉原理。
【设计意图】 对于“总有、至少”的理解是鸽巢问题教学的重难点。为分散和突破这个难点，笔者利用扑克牌魔术引入课题，目的是借助学生感兴趣的情境，调动学生学习的积极性，初步理解“至少”。
二、经历过程，构建模型
（一）研究“4个小球任意放进3个抽屉”存在的现象
1. 出示结论
4个小球放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里面至少放2个小球。
2. 验证结论的正确性
请同学们自己用图画表示题意，看有几种不同的放法。
3. 全班交流
通过横向和纵向比较，引导学生找到每种放法中放得最多的抽屉，然后从最多数里找最少数，从而证明“不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球”这个结论是正确的。
（二）研究“5个小球任意放进4个抽屉”存在的现象，找到求至少数的简便方法
1. 猜测
根据刚才的经验猜一猜：把5个小球放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放几个小球？
2. 验证
以同桌为单位共同研究：先画出不一样的放法，然后观察分析每种放法，看哪种推测是正确的。
3. 全班交流
小结：刚才我们研究“4个小球放3个抽屉，5个小球放4个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放2个小球”时，都采取了列举、反证的方法，列举法是研究问题的一种基本方法。
4. 寻找求至少数的简便方法
提出问题：有100粒纽扣要放进30个抽屉里，如果再用列举法，你觉得怎么样？
指导学生分析4个小球放3个抽屉、5个小球放4个抽屉的所有放法，引出平均分。课件演示：把4个小球放进3个抽屉里，假设每个抽屉均匀地放一个，还余下一个，这一个任意放进一个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。这就是假设法，它蕴含了平均分的思想。
让学生用算式表示平均分的过程：4÷3=1……1，1+1=2；5÷4=1……1，1+1=2。
小结：列举法固然很直观，但当数据比较大的时候就很烦琐，所以我们可以假设每个抽屉放一个，余下的任意放进一个抽屉里，这样就能很快找到至少数。我们再用除法算式表示出平均分的过程。
（三）概括规律，构建模型
引导学生完成下面表格：
重点讲解7个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉里至少放2个小球，使学生明白：先把小球平均分，然后把余下的小球再平均分，从而找到最少数，这是解决此类问题的关键。
完成表格中的填数，继续引导学生动脑筋思考：一直到什么时候至少数都是3？什么时候变成4？什么时候变成5？
追问：这里面是不是有什么规律？刚才至少数都是怎么求出来的？
小结：把小球放进抽屉，要是平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商加1”个小球；如果正好分完，那么至少数就等于商。
同时说明：19世纪德国数学家狄里克雷最早提出抽屉原理，又叫作狄里克雷原理。
【设计意图】为了让学生经历数学证明的过程，渗透数学思想方法，教学时笔者从结论入手，借助画草图的直观方式，观察分析出最多中的最少，使学生从本质上理解“不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个小球”这句话。但当数据较大时，再用列举法就显得麻烦。接着笔者对各种放法进行对比，把学生的思维引到平均分上，很自然地引出假设法：先平均分总数，再平均分余数，为后面构建抽屉原理模型做好铺垫。最后通过把6-11个小球分别放进5个抽屉里的系列练习，进一步引导学生熟悉用假设法来分析问题的思路，总结出“把小球放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放‘商加1个小球；如果正好分完，那么至少数就等于商”的数学模型，提升对抽屉原理的理解水平。
三、运用模型，解释应用
1. 鸽巢问题
出示鸽巢问题，让学生解释，并说说这里的鸽子和鸽巢各相当于什么。
教师说明：抽屉原理也被人们形象地称为鸽巢原理。
2. 找身边的抽屉原理
例如文具盒原理、口袋原理等。
教师指出：抽屉原理在生活中随处可见，它不仅仅局限于把物体放进抽屉、把铅笔放进文具盒里，它还可以研究把一些数放进集合中。由于人们常常借助鸽子和鸽巢来研究，所以，此类问题统称为鸽巢问题。在解决鸽巢问题时，关键要看清什么是抽屉，什么是待分的物体。
3. 解释应用
（1）用抽屉原理解释扑克牌魔术。
（2）用抽屉原理解释：在座的28位同学中至少有3人在同一个月里出生。为什么？
4. 用抽屉原理批驳算命
5. 出示我国古代对抽屉原理的记录
通过史料，使学生感受到：研究问题时不但要擅长发现，还要擅长总结。
【设计意图】 模型思想的培养不仅要重视模型构建的过程，更要重视如何应用模型来解决问题。因此，在学生理解了抽屉原理后，笔者引导学生运用抽屉原理来解释鸽笼原理、文具盒原理、口袋原理、扑克牌魔术、出生月份问题等，使学生会对一些简单的实际问题加以模型化，进一步渗透了模型思想，培养了学生分析问题、解决问题的能力。
四、课堂小结，课外延伸
1. 引导学生经历初步的数学证明的过程
抽屉原理非常抽象，因此笔者顺应学生的认知特点，首先从结论入手，让学生通过画草图找到所有方法，然后进行分析，从而证明结论的正确性。这就是数学证明的雏形，不仅有助于提高学生的逻辑思维能力，还为初中的数学证明做准备。接着提出探究性的问题，寻找用假设法求至少数的简便方法，最后引导学生逐步抽象出抽屉原理。这样层层递进的教学模式，不仅促进了学生对知识的建构，培养了学生的推理和抽象思维能力，还帮助学生积累了一定的数学活动经验，实现了真正意义上的有效学习。
2. 有意识地进行数学思想方法的渗透
数学思想方法是数学学习的灵魂和精髓，本节课主要渗透了以下思想方法：
（1）模型思想的渗透。本课教学以“问题情境——建立模型——应用与拓展”模式展开，从抽屉原理到鸽巢原理、文具盒原理、口袋原理以及解决28位同学出生时间等问题，笔者都有意识地引导学生将具体问题和抽屉原理的一般化模型联系起来，找出“待分的物体”和“抽屉”，这个过程实际上是一个建模的过程。
（2）逻辑推理、数形结合、列举法、假设法、反证法、分类等数学思想方法也在本节课中进行了渗透。
3. 创造性地使用了教材
首先，笔者对教材中的例题进行了整合，例1是通过4支铅笔放进3个笔筒中的操作，介绍了抽屉原理最基本的形式；例2提供了把7本书放进3个抽屉的情境，介绍了另一种形式的抽屉问题。
其次，从学生身边熟悉的事物入手，调动学生已有的知识经验，如文具盒原理、口袋原理、生日问题等，不仅激发了学习的兴趣，促进了对知识的理解，也使学生感受到抽屉原理在生活中的应用。
三是补充有关资料。如批驳算命以及抽屉原理的古代记录等，不仅拓宽了学生的视野，还引导学生学会辩证地看待问题。
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更新时间：2025/3/14 23:24:22