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关于测度的上盒维数的局部化

范文

杜玉坤

【摘要】本文主要研究测度的上盒维数的局部化，定义了测度μx，ε，给出dimBμ在点x的局部化维数dimBμ（x），先讨论了dimBμ与dimBμ（x）之间的关系，进而对局部化维数进行相关研究.

【关键词】测度;上盒维数;局部维数

【基金项目】广东省科研平台和科研项目2017年度青年创新人才类项目（自然科学）（项目编号：2017GkQNCX098）

一、引言及预备知识

测度的上盒维数在分形的研究中起着非常重要的作用[1-2]，设μ是Rd上的波雷尔测度，测度μ的上盒维数由下式定义[3]：

dimBμ=infdimBE：E为波雷尔集，μ（E）=1.

本文主要研究测度的上盒维数的局部化，μ为波雷尔概率测度，K为μ的支撑，对于任意x∈K，ε>0，定义测度

μx，ε=μ（·B（x，ε））=μ（·∩B（x，ε））μ（B（x，ε））.

定义 dimBμ在点x的局部化维数为：

dimBμ（x）=limε→0 supdimBμx，ε.

二、主要结论

引理1.1 设μ为Rd上的具有紧支撑的波雷尔概率测度，则有dimBμ（x）∈[0，d].

证明根据条件，对于任意x∈K，ε>0，有sptμx，εK∩B（x，ε）.

于是dimBμ（x）≤dim sptμx，ε≤dim（K∩B（x，ε））≤dim（K）≤d.

显然dimBμx，ε关于ε是单调的.

设ε1≥ε2>0，E是波雷尔子集，且滿足μx，ε1（E）=1，即

μ（E∩B（x，ε1））=μ（B（x，ε1）），

进而

μ（B（x，ε2））=μB（x，ε2）＼E+μ（B（x，ε2）∩E）

≤μB（x，ε1）＼E+μ（B（x，ε2）∩E）

=μ（B（x，ε2）∩E）≤μ（B（x，ε2）），

从而μ（B（x，ε2））=μ（E∩B（x，ε2）），即μx，ε2（E）=1.

所以dimBμx，ε1≥dimBμx，ε2.

引理得证.

引理1.2 设μ为Rd上的具有紧支撑K的波雷尔概率测度，若E是K的任意波雷尔子集，且满足μ（E）=1，则

dimBE=dimBK=dimBμ.

证明由dimBμ的定义，则dimBμ≤dimBK.

设E是K的任意波雷尔子集，且满足μ（E）=1，则μE-=1，则E-K，进而有

dimBE=dimBE-≥dimBK.

很容易验证dimBμ=inf{dimBE：E为波雷尔集，EK，μ（E）=1}，由于E的任意性，我们有

dimBμ≥dimBK≥dimBE.

推论1.1 设μ为Rd上的具有紧支撑K的波雷尔概率测度，对任意x∈K，r

dimBμ=dimBμ（x）.

证明可以得到dimBK=s，进而有dimBμ=dimBK=s.

对任意t∈B（x，ε）∩K，r

μx，ε（B（t，r））[ZK（]=μBt，r∩B（x，ε）μ（B（x，ε））=μ（B（t，r））μ（B（x，ε）），[ZK）]

故c1rs（μ（B（x，ε）））-1≤μx，ε（B（t，r））≤（μ（B（x，ε）））-1c2r.

再次根据引理1.2，可知dimBμx，ε=dimB（K∩B（x，ε））=s.由ε的任意性，有dimBμ（x）=s，结论得证.

下面定理1.1将在dimBμ与dimBμ（x）之间建立一个等式关系.

定理1.1 设μ为Rd上具有紧支撑的波雷尔概率测度，则有

dimBμ=supdimBμ（x）：x∈K.（1）

证明对于任意x∈K，ε>0，设E是波雷尔子集，满足μ（E）=1，则

μx，ε（E）=μ（E∩（B（x，ε）））μ（B（x，ε））=1，

故dimBμx，ε≤dimBE，于是dimBμx，ε≤dimBμ，进而dimBμ（x）≤dimBμ，

因此dimBμ≥supdimBμ（x）：x∈K.

下证（1）的反向不等式，

设t>supdimBμ（x）：x∈K，

对任意x∈K，有dimBμ（x）0，当ε≤εx时，有dimBμx，ε

由于K是紧集，且B°（x，ε）：x∈K构成K的一个开覆盖，则存在有限子集xjm1使得K∪mj=1B°xj，εxj.因此，K=∪mj=1K∩Bxj，εxj.

对每一个j，选择K∩Bxj，εxj的波雷尔子集Fj，

满足

μFj∩Bxj，εxj=μFj，dimBFj

取F=∪mj=1Fj，有μF=1.

由上盒维数的有限稳定性知，dimBF

故dimBμ≤dimBF

由t的任意性，可知dimBμ≤sup{dimBμ（x）：x∈K}.

推论1.2 设μ为Rd上的具有紧支撑K的波雷尔概率测度，则（1）中的上确界可以在K中某些点得到.

证明设dimBμ=t.假设对任意x∈K，有dimBμ（x）

则由定理1.1的证明过程，可知dimBμ

由于dimBμ=dimBK，进而有：

推论1.3 设K为Rd上的紧子集，dimBK

证明由引理1.2，得dimBμ=dimBK.

因为dimBK

若dimBμ（x）

由推论1.3可知，若对任意x∈K，有dimBμ（x）

定理1.2 设μ为Rd上具有紧支撑波雷尔概率测度，若E是K的波雷尔子集，对任意x∈E，有dimBμ（x）

证明通过假设，我们知道对任意x∈E，存在εx0>0，当ε≤εx0时，有dimBμx，ε

記En=x∈E，εx0≥1n，则E=∪∞n=1En，且EnEn+1.

对每一个n，由于Fn=Bx，15n：x∈En是En的一个覆盖，且sup{diam（B）：B∈Fn}<∞.

通过定理1.1，可知存在En的一个有限覆盖Bxnj，1n：xnj∈En，1≤j≤m，对每一个j，相应存在K∩Bxnj，1n的波雷尔子集Fnj，满足

μ（Fnj）=μBxnj，1n，dimBFnj

取Fn=∪mj=1Fnj，有dimBFn

由于En∪mj=1Bxnj，1n，μ（Fn）=μ∪mj=1Bxnj，1n.

因此，μ（En）=μ（En∩Fn）.

取Gn=En∩Fn，则dimBGn≤dimBFn

【参考文献】

[1]法尔卡内.分形几何：数学基础及应用[M].曾文曲，等译.沈阳：东北大学出版社，1996.

[2]文志英.分形几何的数学基础[M].上海：上海科技教育出版社，2000.

[3]法尔卡内.分形几何中的技巧[M].曾文曲，等译.沈阳：东北大学出版社，1999.

[4]P Mattila.Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces[J].Cambridge University Press，1995.

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