| 标题 | 闲看问题如临花照水，巧借参数似云卷云舒 |
| 范文 | ■巧借参数，便于运算，妙释疑难 例1 已知x，y，z>0，且lgx+lgy+lgz=0，求x■·y■·z■的值. （选自高三考试题） 解析：由lgx+lgy+lgz=0？圯lg（xyz）=0？圯xyz=1. 设x■·y■·z■=t， ① 将①式两边同取以10为底的对数得 lgx■·y■·z■=lgt ？圯lgx■+lgy■+lgz■=lgt ？圯■+■lgx+■+■·lgy+■+■lgz=lgt ？圯■+■+■+■+■+■=lgt ？圯logyx+logzx+logzy+logxy+logxz+logyz=lgt ？圯logy（xz）+logz（xy）+logx（yz）=lgt. ② 由xyz=1得到xz=■，xy=■，yz=■，代入②得到 logy■+logz■+logx■=lgt ？圯（-1）+（-1）+（-1）=lgt ？圯lgt=-3=lg10-3 ？圯t=10-3=■， 即x■·y■·z■=t=■. 点评：本题化简x■·y■·z■较为复杂，我们通过引入参数t，将式子x■·y■·z■设为t，将题目中要求的值转化为求t的值. 而等式x■·y■·z■=t是较为容易化简的，只需将等式两边同取对数，容易算出t=10-3=■，于是得到结果. 本题通过巧借参数t使式子x■·y■·z■便于运算. ■巧借参数，利用意义，妙释疑难 例2 如图1，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2，1）时，■的坐标为___________. （选自2012年高考山东卷） ■ 图1 解析：如图1所示，设Q（2，1），Q在x轴的射影为B. 设弧PB的长为l，过点Q且平行与x轴的直线QM交圆Q右侧于M点，设∠PQM=θ，此时圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1. 由题意知l=OB=2，则∠PQB=■=2，则∠PQM=θ=■-2. 对于圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上点P（x，y），由圆的参数方程的几何意义知 x=2+cosθ，y=1+sinθ， 即x=2+cos■-2=2-sin2，y=1+sin■-2=1-cos2， 所以■=（2-sin2，1-cos2）. 点评：本题先利用弧长公式得到∠PQB=■=2，再由圆的参数方程的几何意义知圆Q上点P（x，y）满足x=2+cosθ，y=1+sinθ，①将θ的值代入①化简即可求出点P的坐标，进而求出■的坐标. 因此，解决本题的关键是巧借参数θ，利用参数θ的几何意义解题. ■巧借参数，减少变量，妙释疑难 例3 已知P（x，y）是椭圆■+■=1上的点，求x+y的取值范围. （选自高三考试题） 解析：本题采用三角换元. 令x=3cosθ，y=■sinθ， 则x+y=3cosθ+■sinθ=■·sinθ+■=2■sinθ+■∈[-2■，2■]. 点评：本题通过三角换元的方法巧借参数θ，于是我们将含两个变量x和y的式子x+y变为含一个变量θ的式子3cosθ+■sinθ，从而减少未知量的个数，使式子便于处理. ■巧借参数，方可运算，妙释疑难 例4 已知圆C：x2+y2=9，点A（-5，0）. 在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有■为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标. （选自江苏模拟考试） 解析：设P（3cosθ，3sinθ），B（x0，0）， 设■■=λ， 则？坌θ∈R， ■■=λ成立 ？圯？坌θ∈R， ■=λ成立 ？圯？坌θ∈R，9-6x0cosθ+x20=30λcosθ+34λ成立 ？圯？坌θ∈R，（30λ+6x0）cosθ+34λ-x20-9=0成立 ？圯30λ+6x0=0，34λ-x20-9=0， ？圯x0=-5，λ=1，（不合题意，舍去）或x0=-■，λ=■. 所以B的坐标为-■，0. 点评：本题得到■为一常数，为了让上式可以运算下去，我们通过引入参数λ，构造一个恒等式，从而求出B的坐标. 因此，本题是通过巧借参数，让题目可以运算下去. ■巧借参数，得到关系，妙释疑难 例5 已知椭圆■+■=1以及点D（2，1），过D任意引直线l交椭圆于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程. （选自高三考试题） 解析：由题意，设点M（x，y）. （1）当l的斜率存在时，设经过点D（2，1）的直线l的方程为： y-1=k（x-2）， 即y=kx+1-2k. 将y=kx+1-2k与■+■=1联立， ■+■=1，y=kx+1-2k， ？圯■+■=1 ？圯■+■=1 ？圯■+■x2+■x+■-1=0 ？圯x=■=-■？摇 ？圯x=-■ ①（此时x表示点M（x，y）的横坐标）. 又点M（x，y）在直线l：y-1=k（x-2）上， 所以k=■， ② 将②代入①，得 x=-■ ？圯4x+9x■=-9■+18·■ ？圯4x+9■+9（x-2）■=0 ？圯4x+9■+9■=0 ？圯4x（x-2）+9（y-1）+9（y-1）2=0 ？圯4（x2-2x）+9（y2-y）=0 ？圯4（x-1）2+9y-■■=■ ？圯■+■=■■（x≠2）. ③ （2）当l的斜率不存在时，M（2，0）在③上，符合题意. 综合（1）（2）知，线段AB的中点M的轨迹方程为■+■=■■. 点评：本题要求线段AB的中点M的轨迹方程，因此设出点M（x，y），寻找x与y的关系即可. 我们通过巧借l的斜率k来联系x与y，消去k即可得到x与y的关系. ■ |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。