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标题 矩阵分解的应用浅述
范文

    金少华 徐勇 程俊明

    

    

    

    【摘要】矩阵论既是数学的一个重要分支,又是一门具有实用价值的数学理论.本文给出了矩阵分解的若干应用.

    【关键词】矩阵论;正规矩阵分解;满秩分解;奇异值分解;特征值

    【基金项目】河北工业大学研究生《矩阵论》示范课程建设项目(121031);2019年河北省研究生示范课程立项建设项目(KCJSX2019011)

    《矩阵论》是工科研究生的一门重要的学位课(参见文献[1]-[4]).本文给出了矩阵分解的若干应用.

    一、利用正规矩阵的分解计算矩阵函数

    例1 设矩阵A=100-101-100-110-1001,试求eA,cos A.

    解 对于正规矩阵A,可求得P-1AP=Λ,其中

    P=1001011001-10100-1,? Λ=0022,? P-1=12P,于是

    eA[ZK(]=P11e2e2P-1=121+e21-e21+e21-e21-e21+e21-e21+e2.[ZK)]

    cos A=P11cos 2cos 2P-1=121+cos 21-cos 21+cos 21-cos 21-cos 21+cos 21-cos 21+cos 2.

    二、利用矩阵的满秩分解求矩阵的特征根

    设n阶方阵A的满秩分解为A=F·G,则由文献[5],有

    |λEn-A|=|λEn-F·G|=λn-rλEr-G·F.(1)

    因此,若A的秩rn,则可通过(1)式右边的行列式来求A的特征根,这将大大简化计算.

    例2 求n阶矩阵A=22…222…222…2 的特征值.

    解 容易看到,矩阵A的秩为1,其满秩分解为A=22211…1,由等式(1),得 |λEn-A|=λn-1(λ-2n),所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=…=λn-1=0,λn=2n.

    三、利用矩阵A的满秩分解求解齐次线性方程组AX=0

    结论1[6] 设矩阵A的满秩分解为A=F·G,则 GX=0AX=0.

    例3 求解方程组AX=0,其中A=14-1562000-14-1-2-4011-2-1-1-6.

    解 先做A的满秩分解.对A进行行的初等变换,有

    A→1000-70100-900106000111,

    所以,矩阵A的满秩分解为A=F·G=14-152000-1-2-401-2-1-11000-70100-900106000111.解方程组GX=0,得方程组AX=0的通解为X=k79-6-111,k∈R.

    四、利用矩阵A的满秩分解求其广义逆A+

    例4 已知A=1i-i0i-1111i-i0,求其广义逆A+.

    解 对A进行行的初等变换,有A→1i-i000010000,

    得A的满秩分解为A=10i1101i-i00001=F·G.

    于是A+[ZK(]=G+F+=GHGGH-1FHF-1FH=16101-i0-ii0i-3i6-3i.[ZK)]

    五、利用矩阵A的奇异值分解求其广义逆A+

    设矩阵A的奇异值分解为A=Uσ1σr00VH,则A+=Vσ-11σ-1r00n×mUH.

    例5 设A=111111,求A 的广义逆A+.

    解 首先注意到A的秩为1,AAT的特征值是λ1=6,λ2=0,由两两正交的单位特征向量构成的正交矩阵可取为U=121-111,又ATA的特征值是λ1=6,λ2=0,λ3=0,由两两正交的单位特征向量构成的正交矩阵可取为V=33-12-163312-1633026,则A的奇异值分解为A=U600000VT,

    从而A+=V1600000UT=16111111.

    六、应用奇异值分解求解方程组AX=0

    设矩阵A∈Rm×nr的奇异值分解为A=UDVT,D=Σ000,其中矩阵U是m阶正交矩阵,矩阵V是n阶正交矩阵,Σ=diag(σ1,σ2,…,σr).于是方程组Ax=0可写为UDVTx=0.该方程两边左乘UT,得DVTx=0.令VTx=y,则有Dy=0,从而该方程组的通解为

    y=k1er+1+…+kn-ren(k1,…,kn-r∈R).

    设正交矩阵V的第j个列向量为vj(j=1,2,…,n),则AX=0的通解为:

    x=Vy=k1vr+1+…+kn-rvn(k1,…,kn-r∈R).

    即求出矩阵ATA的属于特征根0的线性无关的特征向量,则这些特征向量的任意线性组合即为Ax=0的通解[6].

    例6 求解方程组AX=0,其中A=-112-221-1-2011-2.

    解 ATA的属于特征根0的线性无关的特征向量为:ξ1=1-110,ξ2=0201,则方程组AX=0的通解为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2∈R).

    七、利用矩阵A的广义逆A+求解方程组Ax=b

    对于给定的方程组Ax=b,只要求出A+,则A+b便给出了该方程组的各种意义下的解,即当Ax=b相容时,A+b或为其唯一解,或为其唯一的极小范数解,而当Ax=b不相容时,A+b或为其唯一最小二乘解,或为其唯一的极小最小二乘解.从而广义逆A+将方程组Ax=b的求解问题从理论上及方法上都圆满解决了.

    例7 已知A=101011112, b=111,求方程组Ax=b的极小范数解或极小范数最小二乘解x0,并指出x0的类型.

    解 对A进行行的初等变换,有A→101011000,

    得A的满秩分解为A=100111101011=F·G.

    于是A+[ZK(]=G+F+=GTGGT-1FTF-1FT=195-41-451112.[ZK)]

    所求x0=A+b=19224, 因AA+b=23112≠b, 故x0是极小范数最小二乘解.

    例8 已知A=110101101211,b=314,求方程组Ax=b的极小范数解或极小范数最小二乘解x0,并指出x0 的类型.

    解 先求广义逆A+,对A进行行的初等变换,有故Ax=b有解,其极小范数解为x0=A+b=(1 1 0 1)T.

    【参考文献】

    [1]徐仲,张凯院,陆全,等.矩阵论简明教程[M].北京:科学出版社,2014.

    [2]张绍飞,姚慕生.矩阵论教程[M].北京:机械出版社,2012.

    [3]靳全勤.初等变换的一个应用:矩阵的满秩分解[J].大学数学,2009,25(5):195-197.

    [4]金少华,徐勇,金大永.矩阵论教学的几点注记[J].数学学习与研究,2019(23):13.

    [5]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2005.

    [6]金少华,金大永,徐勇.矩陣分解在求解线性方程组中的应用[J].高师理科学刊,2016,36(4):61.

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更新时间:2025/3/14 3:53:09