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标题 分类讨论思想
范文 方志平
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类.分类讨论时,应该从所研究的具体问题出发,选取恰当的标准,然后根据对象的属性,科学地分类,把它们不重不漏地划分为若干类别,再逐步进行讨论,获取阶段性结果,归纳小结,最后综合给出结论
分类是人类认识世界、改造世界的科学行为. 分类形成一种数学思想,在数学活动中,分类讨论的思想好比指南针,它给我们指明了方向.
分类讨论的基本原则:①对所讨论的全域分类要“即不重复,也不遗漏”;②在同层次讨论中只能按所确定的一个标准进行;③对多级讨论,应逐级进行,不能越级.
下面列举数例谈谈分类讨论的解题策略,从中体悟分类讨论的解题思想,供大家参考.
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由概念内涵引起的分类讨论
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所有数学概念都有其明确的内涵,在解决问题的过程中,凡是涉及相关的概念问题,当不能直接解答时,一般都应以所定义的概念来进行分类讨论,讨论时要注意概念所受的限制条件.
例1 函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则a的值是________.
思路点拨 欲求指数函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值,需要先确定底数a与1的大小,所以需要分a>1和0破解 当a>1时,y=ax在[1,2]上递增,故a2-a= ,得a= ;
当0故a= 或a= .
例2 设k为实常数,问:方程(8-k)x2+(k-4)y2=(8-k)·(k-4)表示的曲线是何种曲线?
思路点拨 很显然,k的取值决定了方程的形式,进而影响了方程所表示的曲线,故需对k进行分类讨论.
破解 方程表示何种曲线主要取决于k的取值,可对k分以下三种情形讨论:
(1)当k=4时,方程变为4x2=0,即x=0,表示y轴.
(2)当k=8时,方程变为4y2=0,即y=0,表示x轴.
(3)当k≠4且k≠8时,方程变为 + =1,又有以下五种情形:
①当k<4时,方程表示中心在原点,焦点在y轴上的双曲线;
②当4③当k=6时,方程表示圆心在原点,半径为 的圆;
④当6⑤当k>8时,方程表示中心在原点,焦点在x轴上的双曲线.
1. 设命题p:函数f(x)=a- 是R上的减函数;命题q:函数f(x)=x2-4x+3在[0,a]上的值域为[-1,3]. 若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求a的取值范围.
2.已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动,且 = = ,P为GE与OF的交点(如图1),是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
图1
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由公式限制引起的分类讨论
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有些定理、公式、运算法则在不同的条件下有不同的形式,如数列通项及其前n项和公式、方根性质等,因此在解题时一般要分类讨论.
例3 数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}是各项均为正数的等比数列,试比较 与an+1的大小,并证明你的结论.
思路点拨 由于等比数列{Sn}的通项形式受到公比q的影响,于是第一层需对主要变量q分类讨论,即分q=1和q>0且q≠1讨论;由于数列{an}的通项公式是分段的,于是第二层需对n分类讨论,即分n=1和n≥2讨论;在q>0且q≠1,同时n≥2的情况下, 与an+1差值的正、负与q有关,于是第三层需对q进一步分类讨论,即分q>1和0破解 设Sn=S1qn-1(其中S1>0,q>0),则可得an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,即an=S1,n=1,S1(q-1)qn-2,n≥2?摇.
(1)当q=1时,a2=a3=…=an=0(n≥2),①当n=1时, >an+1;②当n≥2时, =an+1.
(2)当q>0且q≠1时,
①当n=1时,由已知得 -a2= -S1(q-1)= S1·q- + >0,所以 >a2.
②当n≥2时,由已知得 -an+1= [S1·(q-1)qn-2+S1(q-1)qn]-S1(q-1)qn-1= S1qn-2(q-1)3,若q>1,则 >an+1;若02. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,n为奇数,2n,n为偶数,且数列{an}的前n项和为Sn,求S11,并求Sn的表达式.
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由参数变化引起的分类讨论
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数学问题中含有变量或参数,这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果,因而需要对参数进行分类讨论.

例4 设a<1,集合A={x∈Rx>0},B={x∈R2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.
思路点拨 求解第(1)问的关键是求出集合B中的不等式,因其含有参数,在用判别式法时需对参数进行分类讨论;第(2)问的求解思路同第(1)问如出一辙,同样需要对参数进行分类讨论.
破解 (1)考虑不等式2x2-3(1+a)x+6a>0的解,因为Δ=[-3(1+a)2]-4×2×6a=3(a-3)(3a-1),且a<1,所以可分以下三种情况:
(i)当(ii)当a= 时,Δ=0,此时B={xx≠1},D=(0,1)∪(1,+∞).
(iii)当a< 时,Δ>0,此时2x2-3(1+a)x+6a=0有两根,设为x1,x2,且x1x2}.
①当00,x1x2=3a>0,所以x2>x1>0,此时D=(0,x1)∪(x2,+∞);
②当a≤0时,x1x2=3a≤0,所以x1≤0,x2>0,此时D=(x2,+∞).
综上,当 x1= ,x2= .
(2)f ′(x)=6x2-6(1+a)x+6a. 令f ′(x)=0可得6(x-a)(x-1)=0. 因为a<1,所以f ′(x)=0有两根m1=a和m2=1,且m1①当 所以f(x)在D内有极小值点1,极大值点a.
②当a= 时,D=(0,1)∪(1,+∞),此时f ′(x)=0在D内只有一根m1=a= ,列表可得:
所以f(x)在D内只有极大值点a,没有极小值点.
③当00,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-1≤0,所以0所以f(x)在D内只有极大值点a,没有极小值点.
④当a≤0时,D=(x2,+∞),此时x >1,于是f ′(x)在D内恒大于0, f(x)在D内没有极值点.
综上,当 1. 解不等式 >0a为常数,a≠- .
2. 已知函数f(x)=ax3- x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若在区间- , 上, f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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由图形不定引起的分类讨论
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当图形的位置或形状不确定时,需要进行分类讨论,例如某些函数在不同的区间上有不同的图象特征,某些立体几何不同的展开方式,圆锥曲线的类型或焦点位置不确定,点、线、面的位置不确定等. 解决此类问题时,一定要分析所有可能的位置关系,避免漏解.
例5 如图2,四边形ABCD为矩形,且AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,问:BC边上是否存在一点Q,使得PQ⊥QD?说明理由.
图2
思路点拨 BC边的长短影响几何图形的形状,从而影响PQ与QD的位置关系,对BC边长a取值的分类讨论,体现了转化与化归思想,把点的个数问题化归为一元二次方程根的讨论问题.
破解 连结AQ,由于PA⊥平面ABCD,若PQ⊥QD,则AQ⊥QD. 设BQ=x,则QC=a-x,AQ= ,DQ= . 在Rt△AQD中,x2+1+1+(a-x)2=a2,整理得x2-ax+1=0. 因为a>0,又Δ=a2-4.
(1)当a2-4=0,即a=2时,BC边上有且只有一点,满足PQ⊥QD,此时BQ=1,即Q为BC的中点.
(2)当a2-4>0,即a>2时,BC边上存在两点,使得PQ⊥QD,此时BQ= .
(3)当a2-4<0,即01. 已知线段AB在平面α外,A,B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为_______.
2. 求圆锥曲线 + =1的焦距,其中m≠0,m≠1.
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由题设条件引起的分类讨论
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问题中的条件是分类给出的,在求解过程中由于受题设条件的限制,统一表达不方便,而变换需要突破这些限制条件时,常引起分类讨论.
例6 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值的表达式;
(2)设An= ,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年初对M更新,证明:需在第9年初对M更新.
思路点拨 本题限制条件明显,而且条件是分类给出的,因此对变量n的分类讨论是自然合理的,也是必要的.
破解 (1)当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为10的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n.
当n≥6时,数列{an}是以a6为首项,公比为 的等比数列,又a6=70,所以an=70× .
因此,第n年初,M的价值an的表达式为an=130-10n,n≤6,70× ?摇 ,n≥7?摇.
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得:
当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+ =780-210× ,An= .
显然{An}是递减数列,又
A8= =82 >80,A9= =76 <80,
所以需在第9年初对M更新.
1. 有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球,从这8个球中任取4个球排成一排. 若取出的4个球的数字之和为10,则不同的排法种数是________.
2. 2010年云南遭受历史罕见的旱灾后,本省各市纷纷采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某城市用水收费方法是:水费=基本费+超额费+排污费,若每月水量不超过最低限量a m3时,只付基本费8元和每户每月定额排污费c元;若用水量超过a m3时,除了付给同上的基本费和排污费外,超过部分每立方米付b元的超额费. 已知每户每月的排污费不超过4元,该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
根据以上规定,解决如下问题:
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x m3的函数关系式;
(2)试分析该家庭一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求a,b,c的值.
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参考答案
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1 由概念内涵引起的分类讨论
1. 若p为真,则04,从而解得 综上可得,实数a的取值范围是 2. 设 = = =k(0≤k≤1),则E(2,4ak),G(-2,4a-4ak),F(2-4k,4a),直线GE:y-4ak=(2ak-a)(x-2),直线OF:y= x.令P(x,y),则由直线OF与GE的方程消去参数k,得点P的坐标满足方程 + =1. 由于出现参数a,下面加以讨论:
当a2= 时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
当a2≠ 时,点P的轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长,
当a2< 时,点P到椭圆两个焦点- ,a, ,a的距离之和为定值 ;
当a2> 时,点P到椭圆两个焦点0,a- ,0,a+ 的距离之和为定值2a.
2 由公式限制引起的分类讨论
1. 若a=0,则Sn=0.
若a=1,则Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
若a≠0且a≠1时,Sn=a+3a2+5a3+…+(2n-1)an ①;
两边同时乘以a,得:aSn=a2+3a3+5a4+…+(2n-1)a ②.
将①式减去②式可得:(1-a)Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-(2n-1)a = -(2n-1)a -a. 所以Sn= - .
综上可得,当a=0时,Sn=0;当a=1时,Sn=n2;当a≠0且a≠1时,Sn= - . 即Sn=n2,a=1, - ,a≠1.
2. 因为an=2n+1,n为奇数,2n,n为偶数,所以S11=3+22+7+24…+(2×9+1)+210+(2×11+1)=(3+7+…+23)+(22+24+…+210)= + =78+1364=1442.
由上面的求解可知,数列{an}的奇数项构成公差为4的等差数列,偶数项构成公比为4的等比数列.
所以当n为偶数时,Sn=(3+7+…+2n-1)+(22+24+…+2n)= + = + ;当n为奇数时,Sn=(3+7+…+2n+1)+(22+24+…+2 )= + = + . 综上可得:Sn= + ,n为奇数, + ,n为偶数.
3 由参数变化引起的分类讨论
1. 当2a+1>0时,a>- ;当-4a<6a时,a>0. 所以分以下四种情况讨论:
当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得x<-4a或x>6a;
当a=0时,x2>0,解得x≠0;
当- 0,解得x<6a或x>-4a;
当a<- 时,(x+4a)(x-6a)<0,解得6a综上所述,当a>0时,x<-4a或x>6a;当a=0时,x≠0;当- -4a;当a<- 时,6a
2. (1)当a=1时, f(x)=x3- x2+1,所以f(2)=3且f ′(x)=3x2-3x,所以f ′(2)=6,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3= 6(x-2),即y=6x-9.
(2)f ′(x)=3ax2-3x=3axx- ,令f ′(x)=0,解得x=0或x= . 以下分两种情况讨论:
①若0当x∈- , 时, f(x)>0等价于 f- >0, f >0,解不等式组得-5②若a>2,则0< < ,当x变化时, f ′(x), f(x)的变化情况如下表:
当x∈- , 时, f(x)>0等价于 f- >0, f >0,解不等式组得 综合①和②,可知a的取值范围为04 由图形不定引起的分类讨论
1. 分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案为1或2.
2. 当m<0时,方程表示双曲线 - =1,其中a2=m2,b2=-m,所以c2=m2-m. 故该圆锥曲线的焦距为2 .
当m>0时,该圆锥曲线表示椭圆,但有的同学直接就认为焦点在x轴上了,这其实是错误的. 因为m2和m的大小还没有确定,所以焦点到底在哪个轴也不能确定,因此我们还得比较m2和m的大小,才能下结论.
当m>0且m≠1时,方程表示椭圆. 若m2m,即m∈(1,+∞)时,方程表示焦点在x轴的椭圆,此时a2=m2,b2=m,所以c2=m2-m. 故该圆锥曲线的焦距为2 .
5 由题设条件引起的分类讨论
1. 若取出的球的标号为1,2,3, 4,则共有C12C12C12C12A44=384种不同的排法;若取出的球的标号为1,1,4, 4,则共有A44=24种不同的排法;若取出的球的标号为2,2,3,3,则共有A44=24种不同的排法. 由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384+24+24=432.
2. (1)根据题意可知水费与用水量是一个分段函数的关系式,设每月用水量为x m3,支付费用为y元,则y=8+c,0≤x≤a,8+b(x-a)+c,x>a.
(2)由题意知0a,将x=8,y=9代入y=8+2(x-a)+c中,得9=8+2(8-a)+c,得2a=c+15,显然与前面的等式矛盾,所以一月份用水量不超过最低限量. 又因为y=8+c,所以9=8+c,c=1. 所以a=10,b=2,c=1.

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更新时间:2025/3/14 16:45:06