标题 | 指数函数和对数函数 |
范文 | 指数函数和对数函数是高中数学中最重要的两个基本初等函数,是各地高考数学试卷中考查函数定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、图象变换的重要载体;它也一直是高考的热点问题之一,试题难度一般不大,通常在选择题、填空题中单独考查,或作为试题的载体在解答题中出现. 熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质是解决相关问题的前提和基础,对相关的基本概念的掌握出现细小的偏差也会造成致命的错误,因此本考点的复习重点是理清指数函数、对数函数的图象和性质. 比较困难的问题是有关指数函数、对数函数的综合应用问题,因此同学们在复习本考点时,要特别注意如何利用指数函数、对数函数的图象和性质研究与之相关的简单复合函数的图象和性质. (1)由于指数函数、对数函数的图象和性质与其底数有直接的联系,所以在具体的解题过程中要明确底数的大小,注意运用分类讨论的思想来解决问题. 由于本考点所涉及的试题通常是选择题和填空题,若能画出问题所涉及的相关函数的图象,则往往能事半功倍,所以在具体的解题过程中要熟悉图象的对称变换、平移变换、伸缩变换,通过这些变换画出相关函数的图象解决问题,即注意运用数形结合的思想. 对于以指数函数、对数函数为模型的新情景、新问题,往往可通过等价转化的方法来解决. 例1 已知函数f(x)=loga(x+1) ,-1 A. 恒大于2 B. 恒小于2 C. 恒等于2 D. 与a相关 破解思路1 若令f(x1)=f(x2)=t,则x1,x2均可用a和t表示出来,所以x1+x2也可用a和t表示出来,则x1+x2与2的大小关系就“昭然若揭”了. 答案详解1 不妨设x1 破解思路2 注意到选择题的特点,用数形结合的方法往往能回避繁杂的推算过程,直达解题目标,因此也可以考虑使用这种方法解决之. 答案详解2 ①当a>1时,函数y=f(x)的图象如图6所示,若把图象在直线x=1的右侧部分向下平移a-1个单位,则整个图象恰好关于直线x=1对称,此时x1+x2=2,所以平移前必有x1+x2>2成立. 图6 图7 ②当02成立. 由①②可知x1+x2>2恒成立. 例2 设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对于任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6,若x0是方程f(x)-f′(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N?鄢),求a的值. 破解思路 本题的目标是求所给方程的解的取值范围,但所给的方程左边的解析式没有直接给出,所以首先要解决的问题是求出函数f(x)的解析式,从而揭开其“神秘的面纱”,再利用函数的性质估算其根的取值范围. 答案详解 令f(x)-log2x=m,则f(x)=log2x+m且f(m)=6,所以m+log2m=f(m)=6. 由于函数g(x)=x+log2x是(0,+∞)上的增函数,且g(4)=4+log24=6,所以m=4. 所以f(x)=log2x+4, f ′(x)= , f(x)-f′(x)=4?圳log2x- =0?圳h(x)= -lnx=0. 又因为h(x)是(0,+∞)上的减函数,且h(1)=1>0,h(2)= -ln2<0,所以有x0∈(1,2),从而有a=1. 1. 函数y= 的定义域为( ) A. ,1 B. ,+∞ C. (1,+∞) D. ,1∪(1,+∞) 2. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增. 若f(log2a)+flog a≤2f(1),则实数a的取值范围为________. 3. 已知函数 f(x)=(1-3a)x+10a,x≤6,ax-7,x>6,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N?鄢),且数列{an}是递减数列,则实数a的取值范围是( ) A. ,1 B. , C. , D. ,1 |
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