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标题 无中生圆，圆满解题
范文 韩菲菲



[摘 要] 对于表面上纯属直线型问题的几何问题题型，抛开原始的解题思路，提取相关条件，巧添辅助圆，利用圆幂定理解题，可化繁为简，化难为易. 本文由一道竞赛题展开联想，通过几个例题来分析如何巧添辅助圆并解题.
[关键词] 辅助圆；圆幂定理；几何问题
[1992年全国联赛] 如图1，在△ABC中，AB=AC，D是底边上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC，求证：BD=2CD.
所以∠ECF=90°.
易证△EFG≌△EFC（AAS），
所以∠FEG=∠CED，GF=CF.
因为∠BEF=2∠CED，
所以∠BEG=∠GEF.
可证△BEG≌△FEG（ASA），
所以BG=GF=CF.
所以BF=2CF.
根据角平分线性质得BD=2CD.
有比较，才知优越. 我们发现方法二更完美，究其原因，在于圓. 圆是最美妙的几何图形. 圆的根基是弧，且具有完美对称性，具有很多圆幂定理，所以能用好圆，领悟圆，会让我们解题举重若轻，充满创造性. 在处理平面几何中的许多问题时，需要借助圆的性质使问题得以更好地解决，但是我们所需要的圆却并不存在，这就需要我们利用已知条件，做到“无中生圆”.
下面结合几个例题简单地谈一下如何根据具体情境生圆，做到圆满解决.
利用圆的定义生圆
解析 因为AB=AC=AD，所以以点A为圆心，AB为半径作圆，点B，C，D均在圆上. 利用△ABC为等腰三角形，且AE为中线得到AE为高，又因为AE=EC，由圆周角定理等条件计算得到∠EAC=45°，∠BAC=90°，∠BDC=45°，∠DBC=30°.
此时只需对△DBC进行分析即可，得到BC=12，所以AB=12.
利用直径所对的圆周角是直角
的条件生圆
例2 如图5，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，求线段CQ的取值范围.
利用四边形对角互补生圆
例3 如图7，在矩形ABCD中，AB=6，以点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF，连接AE，AF，当AE⊥AF且AE︰AF=1︰2时，AE的长是多少？
解析 由∠EAF+∠EBF=180° 可得点A，E，B，F四点共圆，再结合托勒密定理可以得到AB·EF=AE·BF+BE·AF.
设AE=x，代入得到方程
同底同侧张等角生圆
例4 如图8，在△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，∠A=60°，求证：BC=2DE.
类似以上这样的，表面上纯属直线型问题，但利用直线型的有关知识解答会很繁杂，甚至有的很难找到解决问题的思路和途径. 但如果对题设进行认真分析，仔细观察图形，便可挖掘题设中所蕴含的内在条件，提取相关条件，巧添辅助圆，沟通与圆的内在联系，调取圆内的相关圆幂定理和性质，为解题提供了新的途径，把圆的有关性质在解题中进行运用，可化繁为简，化难为易.
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更新时间：2025/2/11 1:13:09