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标题 例析点差法解决双曲线的点线对称问题
范文 余隆兰+梁显定
[摘 要] 椭圆抛物线均可用“点差法”求出中点的坐标,再利用中点在其内部建立不等式,解决点线对称问题. 但是双曲线的弦的中点不一定在双曲线的内部,因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”.
[关键词] 双曲线;点线对称;点差法
圆锥曲线上存在两点关于某动直线对称的问题(以下简称“点线对称问题”),是解析几何中一类综合性较强的问题,通常可以联立方程组消元得出中点的坐标,再利用韦达定理建立不等式(以下简称“判别式法”)进行求解. 但是“判别式法”计算烦琐,学生不易准确掌握.对于椭圆、抛物线均可利用点差法求出中点坐标,再利用中点在椭圆、抛物线内部建立不等式(以下简称“点差法”),可以大幅地简化计算. 但是双曲线的弦的中点所满足的约束条件难以确定,因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”,愿与读者相互切磋,共同探究.
命题:设双曲线C: - =1(a>0,b>0),点P(x0,y0)为平面内一点,当且仅当 - >1或 - <0,即点P在如图1所示的阴影区域内时,存在过点P的弦AB,使得点P为AB的中点.
证明:“必要性”
当点P在如图1所示的阴影区域内,且在x轴上时,显然存在过点P的弦AB,使AB的中点为P.
当点P(x0,y0)在阴影区域内,且点P不在x轴上时,有 - >1或 - <0且y0≠0.
设直线l:y-y0= (x-x0),则点P(x0,y0)在直线l上.
下证直线l与双曲线C相交于两点,设交点为A,B.
当点P在双曲线内部(阴影区域①②内),且点P不在x轴上时,
因为 - >1,所以 > ,x0> y0,
kl= > ,即kl> 或kl< - .
由于点P在双曲线内部,结合图形知,直线l与双曲线的某一支有两个交点.
同理,当点P在阴影区域③④内,且点P不在x轴上时, - <0,则x0< ·y0.
k = < ,- 点P在阴影区域③④内,结合图形知,直线l与双曲线的左右两支各有一个交点.
下证点P为弦AB的中点:
设直线l与双曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),点M(xM,yM)为弦AB的中点.
因为A(x1,y1),B(x2,y2)均在双曲线上,
所以 - =1且 - =1.
将两式相减,整理得 = = ,
kl= = , = .
设 = =λ,则xM=λx0,yM=λy0.
因为点M(xM,yM)在直线l:y-y0= (x-x0)上,
所以λy0-y0= (λx0-x0)(y0≠0),
(λ-1) -1=0.
因为 - <0,所以 -1<0,λ=1.
故点P与点M重合,即点P为弦AB的中点,得证.
“充分性”
假设在双曲线上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得点P(x0,y0)为弦AB的中点.
当A,B两点在双曲线的同一支上,显然点P在双曲线内部(阴影区域①②内),满足 - >1.
当A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别在双曲线左右两支上时,
- =1且 - =1,将两式相减,整理得 = = .
因为kAB= < ,
所以 - <0,证毕.
例:已知双曲线C:x2- =1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点A,B,求实数k的取值范围.
解法一(判别式法):设A(x1,y1),B(x2,y2)两点是符合题意的两点,其中点为M(x0,y0),
当k=0时,不满足题意;
当k≠0时,设直线AB的方程为y= - x+m,
联立直线与双曲线的方程
y=- x+m,x2- =1
(3k2-1)x2+2mkx-(m2k2+3k2)=0.
k2≠ 且Δ=4m2k2+4(3k2-1)(m2k2+3k2)>0,
化简得:k2≠ 且m2k2+3k2-1>0(1),
x1+x2=- =2x0,x0=- .
因为点M(x0,y0)在直线AB上,
所以y0=- ·- +m= .
因为点M(x0,y0)在直线l:y=kx+4上,
所以 =- +4,m= (2),
将(2)带入(1)得 k2+3k2-1>0,
化简得12k4-7k2+1>0,
k2> 或k2< ,
- 或k< - .
解法二(点差法):设A(x1,y1),B(x2,y2)两点是符合题意的两点,其中点为M(x0,y0),
当k=0时,不满足题意;
當k≠0时,x - = 1且x - =1,
将两式相减,整理得 = = ,
kAB= =- ,y0=-3kx0(1).
因为点M(x0,y0)在直线l:y=kx+4上,所以y0=kx0+4(2).
由(1)(2)得x0=- ,y0=3.
由命题得,x - >1或x - <0,
- -3<0或- -3>1,
- 或k< - .
利用点差法解决点线对称问题可以避免繁杂的计算,学生更容易掌握.至此,无论是椭圆双曲线还是抛物线均可利用点差法求解,只是双曲线的弦AB的中点所满足的约束条件与椭圆、抛物线有差别.



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更新时间:2025/3/10 18:54:34