标题 | 例析点差法解决双曲线的点线对称问题 |
范文 | 余隆兰+梁显定 [摘 要] 椭圆抛物线均可用“点差法”求出中点的坐标,再利用中点在其内部建立不等式,解决点线对称问题. 但是双曲线的弦的中点不一定在双曲线的内部,因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”. [关键词] 双曲线;点线对称;点差法 圆锥曲线上存在两点关于某动直线对称的问题(以下简称“点线对称问题”),是解析几何中一类综合性较强的问题,通常可以联立方程组消元得出中点的坐标,再利用韦达定理建立不等式(以下简称“判别式法”)进行求解. 但是“判别式法”计算烦琐,学生不易准确掌握.对于椭圆、抛物线均可利用点差法求出中点坐标,再利用中点在椭圆、抛物线内部建立不等式(以下简称“点差法”),可以大幅地简化计算. 但是双曲线的弦的中点所满足的约束条件难以确定,因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”,愿与读者相互切磋,共同探究. 命题:设双曲线C: - =1(a>0,b>0),点P(x0,y0)为平面内一点,当且仅当 - >1或 - <0,即点P在如图1所示的阴影区域内时,存在过点P的弦AB,使得点P为AB的中点. 证明:“必要性” 当点P在如图1所示的阴影区域内,且在x轴上时,显然存在过点P的弦AB,使AB的中点为P. 当点P(x0,y0)在阴影区域内,且点P不在x轴上时,有 - >1或 - <0且y0≠0. 设直线l:y-y0= (x-x0),则点P(x0,y0)在直线l上. 下证直线l与双曲线C相交于两点,设交点为A,B. 当点P在双曲线内部(阴影区域①②内),且点P不在x轴上时, 因为 - >1,所以 > ,x0> y0, kl= > ,即kl> 或kl< - . 由于点P在双曲线内部,结合图形知,直线l与双曲线的某一支有两个交点. 同理,当点P在阴影区域③④内,且点P不在x轴上时, - <0,则x0< ·y0. k = < ,- 下证点P为弦AB的中点: 设直线l与双曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),点M(xM,yM)为弦AB的中点. 因为A(x1,y1),B(x2,y2)均在双曲线上, 所以 - =1且 - =1. 将两式相减,整理得 = = , kl= = , = . 设 = =λ,则xM=λx0,yM=λy0. 因为点M(xM,yM)在直线l:y-y0= (x-x0)上, 所以λy0-y0= (λx0-x0)(y0≠0), (λ-1) -1=0. 因为 - <0,所以 -1<0,λ=1. 故点P与点M重合,即点P为弦AB的中点,得证. “充分性” 假设在双曲线上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得点P(x0,y0)为弦AB的中点. 当A,B两点在双曲线的同一支上,显然点P在双曲线内部(阴影区域①②内),满足 - >1. 当A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别在双曲线左右两支上时, - =1且 - =1,将两式相减,整理得 = = . 因为kAB= < , 所以 - <0,证毕. 例:已知双曲线C:x2- =1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点A,B,求实数k的取值范围. 解法一(判别式法):设A(x1,y1),B(x2,y2)两点是符合题意的两点,其中点为M(x0,y0), 当k=0时,不满足题意; 当k≠0时,设直线AB的方程为y= - x+m, 联立直线与双曲线的方程 y=- x+m,x2- =1 (3k2-1)x2+2mkx-(m2k2+3k2)=0. k2≠ 且Δ=4m2k2+4(3k2-1)(m2k2+3k2)>0, 化简得:k2≠ 且m2k2+3k2-1>0(1), x1+x2=- =2x0,x0=- . 因为点M(x0,y0)在直线AB上, 所以y0=- ·- +m= . 因为点M(x0,y0)在直线l:y=kx+4上, 所以 =- +4,m= (2), 将(2)带入(1)得 k2+3k2-1>0, 化简得12k4-7k2+1>0, k2> 或k2< , - 解法二(点差法):设A(x1,y1),B(x2,y2)两点是符合题意的两点,其中点为M(x0,y0), 当k=0时,不满足题意; 當k≠0时,x - = 1且x - =1, 将两式相减,整理得 = = , kAB= =- ,y0=-3kx0(1). 因为点M(x0,y0)在直线l:y=kx+4上,所以y0=kx0+4(2). 由(1)(2)得x0=- ,y0=3. 由命题得,x - >1或x - <0, - -3<0或- -3>1, - 利用点差法解决点线对称问题可以避免繁杂的计算,学生更容易掌握.至此,无论是椭圆双曲线还是抛物线均可利用点差法求解,只是双曲线的弦AB的中点所满足的约束条件与椭圆、抛物线有差别. |
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