| 标题 | 一个常见不等式的加强及应用 |
| 范文 | 宗仲 [摘 要] 一个常见不等式lnx 不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有学生不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解，针对这种情况，本文就结合教学中一个常见的不等式进行了加强和应用，帮助学生优化解题. 不等式lnx 所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx. 同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x. 综上：lnx （1）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位， 【加强1】 lnx+1≤x≤ex-1（当x=1时等号同时成立）. （2）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位， 【加强2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等号不同时成立）. （3）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位， 【加强3】 lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）. （4）将y=lnx图像向左平移一個单位，将y=ex图像向下平移一个单位， 【加强4】 ln（x+1）≤x≤ex-1（当x=0时等号同时成立）. （5）将lnx+1≤x变形？圯ln+1≤？圯-lnx+1≤？圯1-≤lnx， 【加强5】 ≤lnx≤x-1（当x=1时等号同时成立）. （6）将x+1带入加强5中， 【加强6】 ≤ln（x+1）≤x（当x=0时等号同时成立）. 【加强不等式的应用】 例1：用二分法求方程lnx=在[1，2]上的近似值，取中点x=，则下一个有根区间为___________. 分析：计算f（x）=lnx-在x=1，x=2，x=处的符号，然后利用零点存在定理确定区间. 此时可利用加强5：≤lnx≤x-1，将x=代入即可得：≤ln≤<，再将x=2代入即可得：≤ln2≤1，故f（）=ln-<0.又因为f（2）=ln2->0，因此下一个有根区间为，2. 例2：求证：···…<（n≥2，n∈N*）. 分析：一般看到有关正整数的证明首选的方法便是数学归纳法，而这里我们发现仍然是跟lnx有关的问题，且不等式左边是连续相乘，因此希望左边可以累乘. 利用加强5：≤lnx≤x-1可以得到≤（当x=1时等号同时成立）， 因此···…<···…=，得证. 例3：求证：1+++…+>ln（n+1）（n∈N*）. 分析：类似例2，此时我们利用加强6：≤ln（x+1）≤x，将代入得ln+1≤， 所以ln≤，所以ln+ln+ln+…+ln<1+++…+， 所以ln··…=ln（n+1）<1+++···+，得证. 例4：已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，对于它们的公共定义域内的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和函数y=g（x）在公共定义域内的所有偏差都大于2. 分析：要证明两函数的所有偏差都大于2，只要证f（x0）-g（x0）>2在公共定义域内恒成立. 利用加强3：lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）可得ex≥x+1. 又因为lnx+1≤x，所以ex≥x+1≥lnx+2（等号不同时成立），所以ex-lnx>2得证. 当然还可以对不等式进一步加强，此外必须强调一点：若要利用强化不等式解题是需要证明的，当然证明类比最初的不等式，利用构造函数的思想处理即可. 另外，加强不等式的相关应用还有很多，需要学生在不断解题过程中去挖掘它们的优势. |
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