| 标题 | 高中数学“导数及其应用”教学策略探究 |
| 范文 | 何世燚 [摘 要] “导数及其应用”在研究函数单调性、极值和最值、不等式证明等问题时具有重要的作用，不仅是解决该类问题的核心，更是数形结合、以曲代直、微积分思想的充分体现. 文章在分析高中数学“导数及其应用”教学现状的基础上，提出了“导数及其应用”教学基本思路和策略. [关键词] 导数及其应用；思路；策略 导数及其应用是历年高考的必考内容，不仅所占分值较大，所占比重趋于上升趋势，而且常常与压轴题紧密相连，其涉及的基础知识和思想方法在现实生活中具有广泛的应用. 然而，在当前教学实践中，相当数量的教师将教学的重点集中在理论层面，学生对于具体问题的理解较为模糊，仅停留在一个较低的层面上. 因此，在高中数学教学改革中必须加强“导数及其应用”教学的研究. 高中数学“导数及其应用”教学现状 随着年龄的增长、多种学科知识的涉猎，高中学生的逻辑思维已经发展到一定的水平，但在数学概念的形成过程及其理解运用方面与成熟期相比存在着较大差距. 以人教版高中二年级“导数及其应用”章节知识为例，其学生在学习过程中主要表现为以下几个问题：一是忽视概念知识的生成过程. 对于微积分基本定理是如何推导的，定积分的概念是怎样得出的学生往往不够重视. 二是概念模糊、混淆的问题较为突出. 例如，y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率和y=f（x）自变量由x1到x2的平均变化率在概念上有什么区别和联系，高中学生常常混淆，乱套概念或公式进行解题的现象较为突出. 三是知识之间的内在联系理解难度较大，对于曲边图形面积、变力做功、变速直线运动物体的位移、导数和积分之间的关系等问题理解不清. 四是数学基本思想的领悟较为缺乏，对于“无限逼近”、“数形结合”、“以曲代直”等基本数学思想如何使用不能完全掌握，对于如何利用导数优化实际问题较为困惑，不能透过现象发现问题的本质. “导数及其应用”教学基本思路 作为教学的主阵地，教师应在教学过程中倡导以生为本的教学理念，在激发学生学习欲望的基础上，通过合作和竞争机制促使学生主动参与教学，注重提出问题的情境和知识生成的背景，按照由表及里、由浅入深的原则揭示出问题的本质，也就是在具体教学实践中，教师应采用问题引领的教学模式，促使学生打破思维困难的瓶颈，并在适当的时机中，通过为什么、怎么办、是什么等问题帮助学生找出思维漏洞，从而有效提升“导数及其应用”的教学水平和教学质量. 高中数学“导数及其应用”教学实践 1. 导数的概念. 在本节知识中，理解变化率的问题至关重要，教师应选择背景简单的现实生活中的变化率问题，帮助学生利用已学知识和经验进行分析. 例如，在讲解平均变化率问题时，笔者选择了气球膨胀率问题，让学生从数学的角度解释随着气球内部空气不断增多，为什么气球半径增加的速度反而减慢，并从以下几个方面进行引导： 一是引入变量的概念和变量之间的函数关系，帮助学生理解本问题涉及两个变量，即气球的体积v和半径r，并在回顾球体体积计算公式的基础上，呈现出这两者之间的函数关系，即V=πr3. 二是从数学的角度理解“随着气球内部空气不断增多，气球半径增加的速度越来越小”这句话的意思，即随着空气的增多，半径与体积增加量之间的比值越来越小，即越来越小，从而引出气球膨胀率的知识. 三是将抽象的知识具体化，从一些具体的数值出发将抽象的数学问题简单化.例如，从0增加到1，从1增加到2，从2增加到3，感受气球膨胀率的变化，从而有效理解气球半径变化越来越小的实际原因，理解变化率是反应某一时间内物体变化快慢的概念. 同时，加强数学概念的概括，阐述f（x）表示其中的函数关系，利用曲线上的割线将数与形有机结合起来，充分理解变化率的几何意义，鼓励学生从自己身边出发，列举出现实生活中的一些简单实例，从而加深对数学概念和所表达几何意义的理解. 此外，注重数学思想和方法的渗透与引导，从高一年级已学物理知识求瞬时速度出发，阐述物理学中求平均速度的定义，假想当Δt趋于无限小时，Δh近似于某一时刻的瞬时速度，并观察该时间点附近数值的变化，得出当Δt趋于0时，趋于定值，从而引出的概念，并结合该问题的物理意义，将其抽化为表示x0处的变化率. 2. 导数在研究函数中的应用 （1）让学生明白应用导数研究函数的单调性的必要性和重要性 例如，在课堂教学中，笔者要求学生回顾函数单调性的定义，明确函数在某段的平均变化率近似等于该点的瞬时变化率，也就近似等于该点的导数，若x1≠x2，则可以通过符号的正负，得出f（x1）与f（x1）之间的大小，故可以通过导数研究出函数的单调性.并且，引入拉格朗日中值定理，通过数形结合的形式让学生明白的几何意义就是（x1，f（x1）），（x2，f（x2））两点直线的斜率，若x1，x2之间的距离无限小时，则近似等于函数y=f（x）在（x1，x2）区间内的单调性. （2）进一步帮助学生巩固导数的概念及其借助几何图形研究函数的单调性，探究得出函数的单调性与导函数正负之间的对应关系 例如，在具体实践中，笔者借助教材中的“观察”栏目，通过直观图像形象地了解速度随时间变化的变化图像，要求学生通过小组探究的形式完成表1，并注重导函数与原函数图像之间的转换，引导学生多角度思考同一问题. （3）设计例题进行提升 建议在具体例题求解过程中，要求学生根据题意画出原函数和导函数的草图，培养学生利用图像和“列表”解题的习惯，加强解题规范性和思维严密性的训练. 并通过利用函数单调性定义和利用导数两种求解函数单调性的方式，比较出这两种解法的优劣，深刻体会导数是研究函数单调性的有力工具. （4）有效突破知识难点 突破本节课程知识的重点，即利用函数的单调性研究函数的极值和最值问题是本节课程知识的重点，让学生结合教材中的例题总结概括出函数存在极值的条件： ①f′（a）=0； ②y=f（x）在x=a的函数值比x=a附近的其他点的函数值都大或都小； ③x=a时，当左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则点a为极小值，当左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则点a为极大值. 同时，还应提醒学生注意极值只反应的是函数的局部性质，通过图像的形式解释极大值并不一定大于极小值，而极小值并不小于极大值，并且让学生充分理解f′（a）=0是函數y=f（x）在x=a处取得极值的一个必要不充分条件. 例如，笔者在讲解必要不充分条件这个知识点时，设计了以下题目要求学生探讨： 已知函数y=x3，利用导数求解函数的单调性时，则有y′=3x3，当y′=0时，无论x取何值，则y′≥0，因此，x=0不是函数的极值点. 综上所述，“导数及其应用”在研究函数单调性、极值和最值、不等式证明等解题中具有重要的作用，不仅是解决该类问题的核心，更是数形结合、以曲代直、微积分思想的充分体现，在具体教学实践中，只有教师树立以生为本的教学理念，注重问题情境的构造和概念的生成过程，在具体情境和已有知识经验中理解和体验数学，就一定能够取得理想的教学效果. |
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