| 标题 | 分步发生事件中前面事件确定结果与后面事件概率关系 |
| 范文 | 周志华 在概率事件中常会碰到分步发生的情况，这时首先要理清前后事件间的关系。 1.前面结果对后面概率有影响的 我们平时常会碰到抽签活动，有个现象可能会令不懂概率的人很迷惑：当碰到比如分房子之类的大事需进行抽签时，总是先抽出顺序签，然后再按顺序抽取房号，懂概率的人都知道。从数学角度讲：比如有10套房子，其中2套好房，10人去抽，那不管第几个抽，抽到好房的概率都应该是2／10=1／5既然这样，那抽顺序签是否就是多此一举了呢?其实，先抽个顺序签是有道理的，我们可以具体分析一下抽签过程：当然，第一个人抽到好房的概率是1／5，他抽好后会马上看结果，不过只要他一看，第二个人抽到好房的概率就不再是1／5了，如果他抽到了好房，第二人抽到好房的概率就只有1／9了，如果他没抽到好房，那第二人抽到好房的概率就成为的2／9，这就是前面已发生的结果对后面概率的影响，和没抽签前纯粹从数学角度分析的结果就不同了。 2.前面结果对后面概率没影响的 我们举个买彩票的例子，如买福彩的双色球吧，只要买中了16个蓝色号码中的一个，就至少中5元的小奖，如果连续10期买同一个号码，中奖的概率是P=1-(15／16)10≈0.48，那要是连续买30期，中奖的概率就为P=1-(15／16)30≈0.86，那现在我们先不买，而是先去查历史开奖记录，如果发现有一个号码已经连续29期没出现了，这时我再买，是不是我的中奖概率就为86％了呢?不对!事实上我的中奖概率还是只有1／16，在这里前面确定发生的结果对后面是没影响的，这里，前后事件是相互独立事件。 3.如何判定是否有影响 要判定前面发生的结果对后面事件概率是否有影响，比较简单有效的方法是试想一下如果前面的结果发生变化，后面事件的概率是不是也会跟着变，比如，分房的例子中，第一人抽到好房还是没抽到好房，第二个人抽时概率是不同的，那就是有影响的，而买彩票的例子中，上一期出现的篮球号码不论是什么，都不会改变下期各个号码出现的概率，这就是没有影响的，为了使操作过程更加合理，前面已发生的结果如果对后面事件发生的概率有影响。特别是抽签的结果是比较重要的，这一类在实际抽签前都先抽个类似于顺序签之类的会比较好，这类抽签活动如果你只是告诉大家：从数学上讲谁先抽，谁后抽都是一样的，恐怕不会有人再听你的。 4.理清前后步间的关系，避免错误 在一本杂志上曾看到有人解答20世纪90年代初美国学生长时间争论不出一个结果的“玛丽莲问题”，问题如下：舞台上有A，B，C三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇是空门，当玛丽莲选定一扇门后，主持人再打开一扇空门，然后问玛丽莲：“你保持原来的选择呢，还是换一扇门?”那位作者的结论是应该换，他的分析如下：玛丽莲最初选中汽车的概率是1／3，所以，如果不变，中奖的概率是1／3，主持人打开一扇门相当于帮玛丽莲开了一扇门，此时如果玛丽莲改选余下的那扇门，相当于选了两扇门，中奖的概率是2／3，所以应改选，粗看起来好像很有道理，而事实上，不论玛丽莲改选还是不变，她中奖的概率都是1／2，我们可以把这个问题看成分三步进行：第一步，玛丽莲选一扇门；第二步，主持人打开余下两扇门中的一扇空门；第三步，玛丽莲在没打开的两扇门中重新选一扇门，仔细分析就可发现前面两步的结果对第三步没有影响，玛丽莲不变可看成是还选原来那扇门，所以玛丽莲中奖和不中奖的概率都是1／2，那位作者的错误一是没把步间关系理清楚，如果他也能把整个事件像上面那样分成三步看，我想错误是肯定可以避免的，二是没注意到主持人的选择是有特定指向的，主持人打开的只能是空门，而不是在剩下的两扇门中随机打开一扇，只要看清这点就可以明白，说改选的概率可以达到2／3那绝对是错的。 5.说明及应用 有一点需要强调说明的是，本文所提的前面事件发生，其结果已经确定这个前提，比如同样是分房这个例子，如果能做到每个人抽签完成时都先不看，而是等到所有人都抽完大家一齐看，那就不用先抽顺序签了，因为这样的话，南于前面的结果没有明确，每个人都会觉得抽到好房的概率还是有1／5，那就都一样了，显然这样是不容易操作的，所以还是先抽个顺序签来得简单，再有，对于如果结果还没明确或是还没发生的，随考虑问题角度的不同，也是可以让原本无关的几步联系起来的，我们还以买双色球彩票为例，因为买中红球中奖的概率是非常低的，我们就撇开红球只考虑篮球，不知有没有人发现，从理论上讲，买这样的彩票居然是有办法只赚不赔的!一种比较简单的方法是：开始先买1注，若不中，第二期买2注，再不中买4注，再不中买8注……一直按公比为2的等比数列的方法买同一个篮球号码，总有买中的时候，买中了就停住不再买下去再重新开始，假设我们是在第n次才买中的。每注2块钱，总共付出：2×(1+2+4+…2n-1)=+2n+1-2元，而所中的奖金是每注5元，共5×2n-1元，相减结果为：2n-1+2元，所以只要一次中奖就可以把前面的付出全部收回还有得赚，上面的想法其实就是把原本独立不相关的许多步看成一个整体给联系在一起了，到第n次，中奖的概率是，P=1-(15／16)n，显然，n越大，中奖概率越高，越来越接近于1，不过，这个只能是理论上说说，实际操作起来的话，很快就会因为付出太大无法承受而不得不中止，因为等比数列增长的速度实在是太快了! |
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