标题 | m进制正整数乘积末位数有关规律问题探讨 |
范文 | 冯邦钦 陈云峰 陈静文 【摘要】探讨了给定m进制正整数n与任意m进制正整数相乘所得积的末位数字不同个数的变化规律. 【关键词】m进制;数乘;正整数;积 【基金项目】湖北理工学院校级重点课题“关于不定方程最小解的探讨研究”,项目编号:13xjz07A. 【分类号】O121 【文献标识码】A 在十进位制数中,任给一个正整数n与任意正整数相乘,其积的末位数字的不同个数变化规律如何呢?笔者经过探讨,发现有以下美妙结果. 定理1 在十进制数中,给定正整数n与任意正整数相乘所得积的末位数字的不同个数为10÷(n,10). 事实上,给定的正整数n与任意给定的正整数n1相乘的所得乘积n×n1的末位数字是由这两个数的末位数字相乘所得积的末位数字. 令n=10m+r,n1=10m1+r1,其中0≤r,r1≤9,则 关于积r1r的末位数字不同个数情况做如下探讨: n1的末位数字取值分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;将n的末位数字r分为0,2,4,5,6,8及1,3,7,9两类进行讨论,讨论的结果如表1和表2. 综上,从以上的列表中看到,定理1的结论显然成立. 那么,在任意m进制数中,给定正整数n与任意正整数相乘所得乘积的末位数字不同个数规律又如何呢? 定理2 在m进制数中,给定正整数n与任意正整数相乘,所得积的末位数字的不同个数为m÷(m,n). 证:在m进制数中,正整数的末位数字分别为0,1,2,…,m-1,所以给定正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0,2n,3n,…,(m-1)n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同. 不妨取nt0,nt1有相同的末位数字,其中t0∈{0,1,2,…,m-1},t1∈zm,nt1≡nt0(modm),当n≡0(modm)时,定理显然成立;当n≠0(modm)时,根据文献[1]、[2]知,故有n(m,n)t≡n(m,n)t0modm(m,n),又m(m,n),n(m,n)=1,从而t1≡t0modm(m,n),所以t1=t0+m(m,n)t,t1∈zm,而当t=0,1,2,3…,(m,n)-1时,t1=t0,t0+m(m,n),t0+2m(m,n),…,t0+((m,n)-1)m(m,n),且此(m,n)个整数关于模(m,n)互不同余,也即t0,t0+m(m,n)(modm),t0+2m(m,n)(modm),…,t0+((m,n)-1)m(m,n)(modm)∈{0,1,2,…,m-1}且关于模m互不同余,即一次同余方程nt1≡nt0(modm)关于模m有(m,n)个不同解,由于并这(m,n)个整数与n乘积所得末位数字与nt0末位数字相同,又“正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0,2n,3n,…,(m-1)n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同”,故0,2n,3n,…,(m-1)n这m个数中与nt0的末位数字相同的个数为(m,n)个. 由于t0∈{0,1,2,3,…,m-1}的任意性知,0,n,2n,3n,…(m-1)n这m个数的末位数字中,有不同末位数字的个数为m÷(m,n). 下面对m=8时的情况进行讨论. 取正整数n1=8m1+r1,n2=8m2+r2,0≤r1,r2≤7,且m1,m2均为正整数,n1×n2=8(8m1m2+m1r2+m2r1)+r1r2. 【参考文献】 [1]华罗庚.数论导引[M],北京:科学出版社,1975:1-37. [2]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M],北京:高等教育出版社,1982:59-64. |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。