| 标题 | m进制正整数乘积末位数有关规律问题探讨 |
| 范文 | 冯邦钦 陈云峰 陈静文 【摘要】探讨了给定m进制正整数n与任意m进制正整数相乘所得积的末位数字不同个数的变化规律. 【关键词】m进制；数乘；正整数；积 【基金项目】湖北理工学院校级重点课题“关于不定方程最小解的探讨研究”，项目编号：13xjz07A. 【分类号】O121 【文献标识码】A 在十进位制数中，任给一个正整数n与任意正整数相乘，其积的末位数字的不同个数变化规律如何呢？笔者经过探讨，发现有以下美妙结果. 定理1 在十进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘所得积的末位数字的不同个数为10÷（n，10）. 事实上，给定的正整数n与任意给定的正整数n1相乘的所得乘积n×n1的末位数字是由这两个数的末位数字相乘所得积的末位数字. 令n=10m+r，n1=10m1+r1，其中0≤r，r1≤9，则 关于积r1r的末位数字不同个数情况做如下探讨： n1的末位数字取值分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；将n的末位数字r分为0，2，4，5，6，8及1，3，7，9两类进行讨论，讨论的结果如表1和表2. 综上，从以上的列表中看到，定理1的结论显然成立. 那么，在任意m进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘所得乘积的末位数字不同个数规律又如何呢？ 定理2 在m进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘，所得积的末位数字的不同个数为m÷（m，n）. 证：在m进制数中，正整数的末位数字分别为0，1，2，…，m-1，所以给定正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同. 不妨取nt0，nt1有相同的末位数字，其中t0∈{0，1，2，…，m-1}，t1∈zm，nt1≡nt0（modm），当n≡0（modm）时，定理显然成立；当n≠0（modm）时，根据文献[1]、[2]知，故有n（m，n）t≡n（m，n）t0modm（m，n），又m（m，n），n（m，n）=1，从而t1≡t0modm（m，n），所以t1=t0+m（m，n）t，t1∈zm，而当t=0，1，2，3…，（m，n）-1时，t1=t0，t0+m（m，n），t0+2m（m，n），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n），且此（m，n）个整数关于模（m，n）互不同余，也即t0，t0+m（m，n）（modm），t0+2m（m，n）（modm），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n）（modm）∈{0，1，2，…，m-1}且关于模m互不同余，即一次同余方程nt1≡nt0（modm）关于模m有（m，n）个不同解，由于并这（m，n）个整数与n乘积所得末位数字与nt0末位数字相同，又“正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同”，故0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数中与nt0的末位数字相同的个数为（m，n）个. 由于t0∈{0，1，2，3，…，m-1}的任意性知，0，n，2n，3n，…（m-1）n这m个数的末位数字中，有不同末位数字的个数为m÷（m，n）. 下面对m=8时的情况进行讨论. 取正整数n1=8m1+r1，n2=8m2+r2，0≤r1，r2≤7，且m1，m2均为正整数，n1×n2=8（8m1m2+m1r2+m2r1）+r1r2. 【参考文献】 [1]华罗庚.数论导引[M]，北京：科学出版社，1975：1-37. [2]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M]，北京：高等教育出版社，1982：59-64. |
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