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函数项级数一致收敛基本判别法的讨论

范文

鲍倚天

【摘要】一致收敛性是函数项级数的重要性质，函数项级数与数项级数有许多相似之处，但是我们不仅要判断它在哪些点上收敛，还要研究其和函数具有的解析性质，这对函数项级数的收敛性提出了更高的要求.判断函数项级数一致收敛问题是数学分析中的一个重点，也是难点，尤其是面对和函数不容易求出来甚至有些根本求不出来的情况.类比数项级数，我们也可得到一系列判断函数项级数一致收敛的方法推广，但我们要注意对基本方法的掌握.

【关键词】函数项级数；数学；基本判别法

本文提供了关于函数项级数一致收敛基本的判定方法，通过分析、归纳、总结并结合相关例子说明方法的实用性，以方便读者更好地理解函数项级数，快速地对函数项级数是否一致收敛做出判定.

一、利用一致收敛的定义判断

设{un（x）}是定义在数集I上的一个函数列，表达式u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…，x∈I称为定义在I上的函数项级数，简记为∑∞n=1un（x）或者

∑un（x）.称Sn（x）=∑∞n=1un（x），n=1，2，…为函数项级数的部分和函数列.

若x0∈I，数项级数u1（x0）+u2（x0）+…+un（x0）+…收敛，即部分和Sn（x0）=∑∞n=1un（x0），当n→∞时极限存在，则称级数在点x0收敛，x0称为级数的收敛点.若级数在I的某個子集D上每点都收敛，则称级数在D上收敛.若D为级数全体收敛点的集合，这时则称D为级数的收敛域.级数在D上每一点x与其所对应的数项级数的和S（x）构成一个定义在D上的函数，称为级数的和函数，并写作u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…=S（x），x∈D，

即 limn→∞Sn（x）=S（x），x∈D.

也就是说，函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性.

四、结语

以上例子利用各种不同的基本方法证明了函数项级数的一致收敛性，还有其他方法在此不再讨论，可类比证明数项级数一致收敛的方法推广，如，根式判别法、比式判别法等.虽然有的我们已经很熟悉但是在实际证明中我们要根据已知选择特定的方法，加快解题速度，往往我们证明函数项级数一致收敛的问题时需要综合运用多种不同的方法，所以，要求我们要区分各个方法之间的优越性和缺点，把握解题关键.这也需要在平时多思考、总结、归纳，在不断的练习和实践中提高自身的分析问题、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]刘玉琏，傅沛仁，编著.数学分析讲义（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1966.

[4]金玮.函数项级数一致收敛的判别法[J].甘肃联合大学学报，2009（5）：110-114.

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