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浅谈如何运用奇函数研究对称中心

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孙飞

奇偶性是函数重要的性质之一，它是对函数对称性的描述，比如，奇函数的图像关于原点对称，即原点是奇函数的对称中心.奇函数的本质是中心对称的一种特殊情况，以非原点为对称中心的函数图像可以通过至多两次平移将其转化为以原点为对称中心的奇函数，从而达到化繁为简的目的.

一、联系奇函数，求对称中心

通过研究函数各个部分的奇偶性，寻找与之关联的奇函数，根据解析式之间的差异调整化简，最终锁定一个与原函数关联的奇函数，根据两者之间的图像变换，求出原函数的对称中心.

例1求函数f（x）=（x+1）2+x3x2+1的对称中心.

解f（x）=（x+1）2+x3x2+1=x2+1+2x+x3x2+1=1+2x+x3x2+1，

设g（x）=2x+x3x2+1，g（-x）=-2x-x3x2+1=-g（x），

所以g（x）为奇函数，对称中心为原点.

因为g（x）向上平移1个单位得到f（x），

所以f（x）的对称中心为（0，1）.

由例1的解答过程可见，我们需要掌握一些奇函数作为知识储备，才能迅速准确地找到与原函数关联的奇函数，然后证明奇函数，比较解析式之间的差异，通过图像变换联系原函数，求出对称中心.常见的奇函数如下：正比例函数y=kx（k≠0），反比例函数y=kx（k≠0），形如y=cx+dax+b=m+kx-n的函数关联反比例函数，形如y=ax-1ax+1，y=logamx+nmx-n是奇函数，幂函数y=xα当α为奇数时为奇函数，三角函数y=sinx，y=tanx是奇函数，形如y=x+kx（k≠0）的函数为奇函数.

例2求函数f（x）=4x+1+64x+1+sinx的对称中心.

解f（x）=4x+1+64x+1+sinx=4（4x+1）+24x+1+sinx=4+24x+1+sinx，而y=4x-14x+1=4x+1-24x+1=1+-24x+1.

此时所掌握的奇函数与原函数中的y=24x+1部分并不完全匹配，主要相差一个符号，我们可以通过调整奇函数来消除它们之间的差异.调整情况如下：

g（x）=1-4x4x+1+sinx=2-（4x+1）4x+1+sinx=-1+24x+1+sinx，g（-x）=1-4-x4-x+1+sin（-x）=4x-11+4x-sinx=-g（x），

所以g（x）为奇函数，对称中心为原点.

而f（x）=4+24x+1+sinx=-1+24x+1+sinx+5，

因为g（x）向上平移5个单位得到f（x），

所以f（x）的对称中心为（0，5）.

二、猜对称中心，证明奇函数

有些函数与奇函数的联系并不明显，很难判断其与哪种奇函数存在关联.在这种情况下，我们可以通过定义域或值域、极值点等图像性质猜想出对称中心，再将其对称中心平移至原点，证明新函数为奇函数即可.

例3求函数f（x）=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4的對称中心.

解定义域为{x|x≠-1，x≠-2，x≠-3，x≠-4}，

由定义域的对称性猜想对称中心的横坐标为-52，又f-52=4，由此，猜想f（x）的对称中心为-52，4.

将函数f（x）图像向右平移52个单位，再向下平移4个单位得到函数

g（x）=fx-52-4=-212x-3+12x-1+12x+1+12x+3.

只要证明g（x）是奇函数即可.

g（-x）=212x+3+12x+1+12x-1+12x-3=-g（x），

g（x）为奇函数，即证.

例4求函数f（x）=6-2x2x+2的对称中心.

解定义域为R，值域为（-1，3），由值域的对称性猜想对称中心的纵坐标为1，

令f（x）=1，得x=1，猜想f（x）的对称中心为（1，1）.

将函数f（x）图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数

g（x）=f（x+1）-1=6-2x+12x+1+2-1=3-2x2x+1-1=21-2x2x+1.

只要证明g（x）是奇函数即可.

g（-x）=21-2-x2-x+1=22x-12x+1=-g（x），

g（x）为奇函数，即证.

例3、例4分别从定义域与值域的对称性猜想出对称中心，前提是定义域或值域非R.若是遇到定义域与值域均为一切实数的函数，研究它的对称中心，我们需要另辟蹊径.

例5求函数f（x）=x3-3x2+4的对称中心.

解定义域为R，值域为R，

f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或2.

x（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）极大值4极小值0由极大值与极小值，猜想f（x）的对称中心为（1，2）.

将函数f（x）图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到函数

g（x）=f（x+1）-2=（x+1）3-3（x+1）2+4-2=（x+1）2（x-2）+2=x3-3x，

只要证明g（x）是奇函数即可.

g（-x）=-x3+3x=-g（x），

g（x）为奇函数，即证.

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