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巧妙构造，“圆”形毕露

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赵亮堂

【摘要】有些题目表面看与圆无关，但深入研究，往往道是无圆却有圆，从而构造辅助圆，巧妙解题.

【关键词】巧妙；构造；辅助圆

在解题时有些问题看似与圆无关，但如果我们大胆联想，巧妙構造辅助圆，数形结合，往往能促使问题“旧貌换新颜”，从而简捷地解决问题.那么，何种情况适合构造辅助圆呢？下面分类阐述，与读者共研.

一、平方和为定值

例1（2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题）函数f（x）=3x-6+3-x的值域是.

思路分析两个根式相加，如果平方展开直接运算，计算量较大.将3x-6写成3x-2，发现（x-2）+（3-x）=1是定值，符合圆的方程，故对原式换元，把其求值域问题转化为直线和圆有交点的问题.

解f（x）=3x-6+3-x的定义域是[2，3].

令u=x-2，v=3-x（u>0，v>0）.

如图1，则u2+v2=1，z=3u+v所表示的是倾斜角为120°的直线与圆在第一象限部分有交点时的截距.

直线与圆相切时z为最大值

直线与圆相交于（0，1）时z为最小值，z=3·0+1=1.

二、动点对固定长度线段的张角为定值

例2（2014新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为.

思路分析先化简三角函数式，得到A=60°，又a=2，联想圆中定角所对的弦长也为定值，所以作出△ABC的外接圆，观察A在何处时△ABC的高最大即可.

解利用正弦定理，原式变为（a+b）（a-b）=（c-b）c，化简得b2+c2-a2=bc，

三、动点到两个定点的长度比为定值λ（λ≠1）

例3（2008江苏）若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值是.

思路分析一个动点到两个定点的长度比为定值λ（λ≠1），这个动点的轨迹为“阿波罗尼斯圆”，AB的长度已定，要S△ABC的最大值只要找到C到AB的距离最大即可，故以AB为x轴，求出点C的轨迹，数形结合求解.

解以AB为x轴，AB中垂线为y轴建立直2角坐标系.则点A（-1，0），B（1，0）.设C（x，y）.

由AC=2BC，

得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2.

两边平方得x2+2x+1+y2=2（x2-2x+1+y2），

x2-6x+y2+1=0，（x-3）2+y2=8.

△ABC的底边为2，高最大值是22，此时S△ABC=12×2×22=22.

四、圆中固定长度的弦的中点

六、圆绕定点旋转

例6（2016深圳二模）如图6，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD.当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为.

思路分析因为AB=1，A是以B为圆心，1为半径的圆.AC⊥CD，AC=CD，即把AC逆时针旋转90°，相当于圆B旋转90°，BD的最大值就是圆外一点到圆上动点的最大值.

解如图7所示建立直角坐标系，则C（0，0），B（-3，0），设A（x1，y1），D（x，y）.

由条件|AB|=1，得（x1+3）2+y21=1，（1）

ZCA=x1+y1i，ZCD=x+yi，

ZCD·i=ZCA，

（x+yi）i=x1+y1i，

-y+xi=x1+y1i，

即-y=x1，x=y1.

将其代入（1）得（-y+3）2+x2=1，

即（y-3）2+x2=1，

|BD|最大值=（0-3）2+（3-0）2+1=6+1.

七、椭圆经伸缩变换

例7（2015新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.

思路分析椭圆和圆形式相近，在求解一些问题时，通过伸缩变换，将椭圆变换为圆，利用圆特有的几何特征，往往能简捷解题.

解（1）由伸缩变换

椭圆变为圆x′2+y′2=m2，

所以直线的斜率变为原来的13.

故变换前的直线l的斜率是k=3k′=4±7.

综上可见，解题时深入理解题中的条件特征，数据结构，多方联想，发掘隐藏的圆，从而数形结合巧妙解题.这样做不单起到化繁为简、化难为易、化隐为显的良好效果，并且对进一步认识数学知识的内在规律，培养一题多解的发散思维，提高数学素养大有裨益.

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