| 标题 | 一个优美不等式的新证与推广 |
| 范文 | 董义宏 【摘要】本文采用两种新的方法对一个优美不等式进行了证明，并从维数上进行推广. 【关键词】一个优美不等式；新证；推广 安振平老师在《中学数学教学参考》2010年第1期[1]上给出了26个优美不等式，第17个不等式是这样的：设a，b，c是正实数，a+b+c=3，证明a2b+c+b2a+c+c2a+b≥a2+b2+c22.文[2]用切比雪夫不等式给出了证明并对指数和维数做了推广，经过思考，现给出两种用中学常用的不等式知识就能推出的证法，并从另一角度对这个等式做出推广. 证明（一） a2b+c+b2a+c+c2a+b =a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b） ≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）， 而a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b） =（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3） =（a+b+c）（a2+b2+c2）-2（a3+b3+c3）2 =（a+b+c）（a2+b2+c2）- （a3+b3）+（b3+c3）+（c3+a3）2 ≤（a+b+c）（a2+b2+c2）- （a2b+ab2）+（b2c+bc2）+（c2a+ca2）2 =（a+b+c）（a2+b2+c2）- a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2， 因此，a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b） ≤（a+b+c）（a2+b2+c2）- a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2. 于是a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）≤2（a2+b2+c2）， a2b+c+b2a+c+c2a+b =a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b） ≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b） ≥（a2+b2+c2）22（a2+b2+c2）=a2+b2+c22. 证法（二） a2b+c+b2a+c+c2a+b =a23-a+b23-b+c23-c ≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3） ≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a+b+c）（a3+b3+c3）3 ≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a2+b2+c2）23 =（a2+b2+c2）3-a2+b2+c23 ≥a2+b2+c23-（a+b+c）29 =a2+b2+c22. 現给出这一命题的推广： 设a1，a2，…，an都是正实数，且a1+a2+…+an=n，则 a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an≥a21+a22+…+a2nn-1. 证明 a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an =a41a21（n-a1）+a42a22（n-a2）+…+a4na2n（n-an） ≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a31+a32+…+a3n） =（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a1+a2+…+an）（a31+a32+…+a3n）n ≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）2n ≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）（a1+a2+…+an）2n2 =a21+a22+…+a2nn-1. 【参考文献】 [1]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考，2010（1）：136. [2]刘艳，魏春强.第17个优美不等式的证明与推广[J].大观周刊，2012（48）：267. |
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