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标题 破解向量最值问题的三种有效途径
范文

    张树鹏

    【摘要】向量最值是高中数学重要内容,基于向量的几何、代数、不等式的特征,渗透数形结合思想、函数思想与不等式思想,采用数形结合法、函数构造法与灵活放缩不等式,是破解向量最值的三种有效的途径方法.

    【关键词】向量;最值途径

    向量是高中数学的重要内容,高考中常以小题、大题交织融合三角函数、解析几何、立体几何、不等式等知识为主要内容,充分体现了向量工具性特征.向量既有“数”的抽象,又兼“形”的直观,是沟通代数与几何的天然桥梁.平面向量中的最值问题不仅是向量的重要内容,更会使学生们不知所措,无从下手,本文就向量最值问题的破解作一浅析.

    一、基于向量“几何性”,通过数形结合求最值

    向量的平行四边形法则、三角形法则与平面向量基本定理都是向量“形”的特征,将向量问题置于适当的几何背景之中,抽象问题直观化.

    例1 (2016安徽合肥质检)在三角形ABC中,若∠BAC=120°,AB·AC=-1,則|AB-AC|的最小值等于多少?

    解析 由AB·AC=|AB|·|AC|·cos120°=-1,

    得|AB|·|AC|=2.

    由图示可知|AB-AC|=|CB|,

    余弦定理可得

    |CB|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|·|AC|·cos120°.

    由基本不等式|AB|2+|AC|2≥2|AB|·|AC|=4,

    从而可得最小值为6.

    点评 高考命题重视知识的交互渗透,是知识网络的交汇.平面向量是“数”与“形”结合的最佳体现,所以数形结合法是解决向量问题的首选途径.

    二、基于向量“代数性”,通过构造函数求最值

    平面向量坐标法,从根本上实现了向量的“代数化”,凸显了向量的代数特征,通过向量的坐标化,将向量最值问题转变为函数最值求解问题.

    例2 (2015年福建高考)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.

    若P点是△ABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于多少?

    解析 如图设A为原点,AB,AC所在直线为x轴,y轴,建立直角坐标系,则

    A(0,0),B1t,0,C(0,t),

    ∴AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),

    ∴AP=AB|AB|+4AC|AC|

    =(1,0)+4(0,1)=(1,4),

    ∴点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,

    PC=(-1,t-4),

    ∴PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17≤-4+17=13.

    当且仅当1t=4t,即t=12时,取“=”,∴PB·PC最大值为13.

    评析 在处理许多向量问题时,坐标化是一种常见思路,本题中利用坐标运算,将PB·PC转化为变量t的函数,结合基本不等式得出最值.

    三、基于向量“不等性质”,通过不等式放缩求最值

    向量不等式性质有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等,灵活应用向量模不等式可有效地解决向量最值问题.

    例3 (2014年湖南高考)在平面直角坐标系中,0为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值.

    解法1 由向量坐标运算法,设D(x,y),

    则|CD|=1,∴(3-x)2+y2=1,

    OA+OB+OD=(x-1,y+3),

    ∴|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2.

    问题转化为圆(3-x)2+y2=1上的点与点(1,-3)间距离的最大值.

    ∵圆心C(3,0)与点P(1,-3)之间距离为7,

    ∴(x-1)2+(y+3)2的最大值为7+1.

    解法2 利用向量模不等式可得最值.

    ∵OD=OC+CD.设a=OA+OB+OC=(2,3),

    |a|=7,且OA+OB+OD=a+CD,

    ∴|OA+OB+OD|=|a+CD|≤|a|+|CD|=7+1.

    当a与CD同向时|OA+OB+OC|有最大值为7+1.

    点评 解法(1)利用向量“几何法”,通过数形结合求得最值.而解法(2)则灵活应用了向量的不等式性质,解法显得更简便.

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更新时间:2025/3/10 18:30:29