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标题 任意锐角的三等分
范文

    张昭隆+张均琦+沈长斌

    【摘要】:任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一,数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分,而钝角都可以等分成锐角,所以锐角的等分问题如果得到解决,则钝角和圆(360°)的等分问题也就会得到解决.所以,本文先从锐角的等分开始进行了研究.

    【关键词】三等分;圆周角;圆心角;弦切角

    任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一,两千八百年来,数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的(特殊角除外),认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来,数学界的老前辈们还是认为只要是任意角,仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的(即用公式做题).

    为什么用解析几何作解呢?是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答”,所以“我们必须求助于代数和高等分析”(引自:高等教育出版社出版,丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005年版第2页).

    实际上,如果用上述数学方法解几何问题,有些问题只能以近似的方式来解决.比如,以a为直径作一个圆,会容易做出来;但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了,因为我们要使用π值来计算,所以计算出来的周长S计只能是S≈S计且S≠S计,或表示为S=S计±δ,δ可以很小,但是毕竟是个“差”呀.再比如,1 m=3市尺,那么1尺等于多少厘米呢?计算不出来,只能表示为:1市尺=33 cm,而这是一个近似值.计算不出来,如何分开呢?但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题,才是真正的可行之道.

    本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.

    在作图之前,首先要明确一下任意角的概念:任意角是指0°<α≤360°,不包含负角和超过360°的角.另外,角有锐角和钝角之分,而钝角都可以等分成锐角,所以锐角的等分问题如果得到解决,则钝角和圆(360°)的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.

    下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作,通过尺规作图来三等分任意锐角.

    题给条件:0<α=∠xOy<90°(参照图1).

    求解:三等分α.

    一、作图(参照图2)

    (1)在Ox边上任取一点A,然后在Ox边上取OA=AA2=A2A3.

    (2)以O为圆心,以OA为半径,作AB,此时OA=OB(同圆半径),

    以O为圆心,以OA2为半径,作A2B2,此时OA2=OB2(同圆半径),

    以O为圆心,以OA3为半径,作A3B3,此时OA3=OB3(同圆半径).

    (3)作∠α的平分线OP.

    ① 以A3为圆心,以OA3为半径作弧lA;

    ② 以B3为圆心,以OA3为半径作弧lB,交lA于P;

    ③ 连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于C3,

    此时,∠xOP=∠POy=∠AOC=∠COB=∠A2OC2=∠C2OB2=∠A3OC3=∠C3OB3.

    ∵同一圆内等角对等弧,

    ∴AC=CB,A2C2=C2B2,A3C3=C3B3.

    (4)连接弦A2C2,在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2,连接A3W3,V3B3.

    (5)连接OW3,OV3,此时,OA3=OW3=OC3=OV3=OB3(同圆半径),

    则OW3,OV3三等分∠α,即∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3.

    二、证明

    1.作辅助图(参照图3).

    (1)连接A3V3交OW3于KW.

    (2)以OKW为直径作⊙R.

    ① 以OKW为半径,以O为圆心作弧lO1,lO2,以OKW为半径,以KW为圆心作弧lK1交lO1于M,作弧lK2交lO2于N.

    ② 连接MN交OKW于R,则MN是OKW的垂直平分线,R是垂足.

    ∵OW3是OKW所在的直线段,∴OW3⊥MN.

    ③ 以R为圆心,以RO(=RKW)为半径,作⊙R,

    交MN于m,n,交OA3于O,a,

    交OW3于O,KW,交OV3于O,E,

    交OB3于O,b,交A3V3于KW,KW是A3V3与⊙R的唯一公共点.

    2.证明.

    (1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知:⊙R交A3V3于KW,即KW是A3V3与⊙R的唯一公共点.

    根据圆的切线定义:如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点,可以得出结论:A3V3是⊙R的一条切线;

    另根据圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径,可以得出结论:A3V3⊥RKW.∵OW3是RKW所在的直線段,∴A3V3⊥OW3,KW是垂足.

    (2)在Rt△OKWA3与Rt△OKWV3中,∵A3V3⊥OW3,∴∠OKWA3=∠OKWV3=90°,∵同圆半径,∴OA3=OV3,OKW为共有直角边,

    根据HL定理,Rt△OKWA3≌Rt△OKWV3.∵对应边相等,∴A3KW=KWV3.

    (3)在Rt△W3KWA3与Rt△W3KWV3中,∵A3V3⊥OW3,∴∠W3KWA3=∠W3KWV3=90°,根据证明(2)结论:A3KW=KWV3,W3KW为共有直角边.

    根据SAS定理,Rt△W3KWA3≌Rt△W3KWV3,∵对应边相等,∴A3W3=W3V3.

    (4)∵根据证明(3),可知A3W3=W3V3,又根据作图(4)的步骤,可知A3W3=V3B3,

    ∴A3W3=W3V3=V3B3(等量相等),

    ∴A3W3=W3V3=V3B3(等弦对等弧),

    ∴∠A3OW3=∠W3OV3=∠V3OB3(等弦对等角),

    ∴∠A3OW3+∠W3OV3+∠V3OB3=∠α得证.

    综上,我们已证明:∠α被三等分后,三个分角在A3B3上且只有在A3B3上的对应弦等于A2C2.关于钝角的三等分问题,由于篇幅所限,简单说明如下:可将钝角二等分或四等分,变成相等的两个或四个锐角,再对得到的锐角按上述方法进行三等分后,进行角的合并(二合一或四合一),则可实现钝角的三等分.

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更新时间:2025/3/10 16:10:36