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浅谈配方法在初中数学中的应用

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李劲松

摘要：将一个式子或式子的一部分通过恒等变形为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法是初中数学中一种重要的恒等变形方法，是解题的有力手段之一。初中数学中经常在解方程，化简二次根式，求二次函数的最值以及证明等领域中有着广泛的应用，若学生在解题时能熟练掌握并灵活运用，那么学生运用知识解题的能力也就明显提高了。同时，配方法的应用也能培养学生思维能力，解题技巧和灵活性。本文从几个例题中来体现配方法在初中数学中的应用。

关键词：初中数学;配方法;应用

初中数学是中学生学习的重点，配方法又是数学学习的重点和难点之一。在教学中先要求学生掌握其基本公式：a2±2ab+b2=a±b2，只要对已知的式子进行灵活巧妙的配方，就可以找到解决问题的途径。结合我在教学中的体会，下面谈几种配方法应用的例题。

用配方法解一元二次方程

例1：解方程：2x2+3=7x

解：1化：方程化为一般形式，二次项系数化为1，

x2-72x+32=0

2移项：常数移到方程右边，

x2-72x=-32

3配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，

x2-72x+4916=-32+4916

4变形：方程左边化成完全平方，右边合并同类项，

x-742=2516

5求解：用直接开平方法解出方程，

x-74=±54

所以：x1=3，x2=12

用配方法化简二次根式

例2：化简二次根式：

（1）4+23;（2）13-242

解：（1）4+23=3+23+1=32+23+12=3+12=3+1

（2）13-242=7-242+6=72-242+62=7-62=7-6

用配方法求最值

（一）、应用在二次函数中求最值

例3：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，面积为S平方米。

（1）求出S与x的函数关系式，并确定自变量的取值范围;

（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出最高费用。

解：（1）∵矩形的周长为12m，其中一边为x，则另一边为（6-x），

∴S=x6-x=-x2+6x0

（2）S=-x2+6x=-x2-6x=-x2-6x+9-9=-x-32+9

∴当x=3时，即边长为3m的矩形广告牌的面积最大，最大面积为9m2，此时获得最高广告费用为：9×1000=9000元。

（二）、应用在代数式中求最值

例4：已知代数式：2x2-10x+15，试说明无论x取何值，代数式的值总是正数，再求出x取何值时代数式的值最小，最小值是多少？

解：2x2-10x+17=2x2-5x+17=2x2-5x+254-254+17

=2x-522+92

∵2x-522+92>0

∴无论x取何值，代数式的值总是正数;且当x=52时，代数式有最小值，最小值为92。

配方法在证明题中的应用

（一）在一元二次方程中的证明

例5：已知关于x的一元二次方程mx2-3m+3x+2m+4=0，求证方程总有两個不相等的实数根。

证明：∵?=-3m+32-4m2m+4

=9m2+18m+9-8m2-16m

=m2+2m+9

=m+12+8>0

∴方程总有两个不相等的实数根。

（二）在二次函数中的证明

例6：求证：无论m取任何实数，抛物线y=2x2-mx+m-3都与x轴有两个交点。

证明：∵a=2>0

∴抛物线y=2x2-mx+m-3开口向上

令y=0，则2x2-mx+m-3=0

?=-m2-8m-3=m2-8m+24=m-42+8

∵?=m-42+8>0

∴无论m为任何实数，抛物线与x轴都有两个交点。

（三）、在恒等变形中的证明

例7：已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，求证△ABC为等边三角形。

证明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc

∴2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc）

2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc

a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0

a-b2+a-c2+b-c2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

即：a=b=c

∴△ABC是等边三角形。

所以，配方法在初中数学中占有非常重要的地位，它是代数中恒等变形的重要手段，是研究等量关系，讨论不等关系的常用技巧，也是求代数式和二次函数最值的重要方法，是初中生必备的一种解题能力。让我们共同学好它，用这把利剑在学习数学知识道路上披荆斩棘。

参考文献

[1]施月星，吕秀华.配方法在初中数学解题中的应用[J].数学教学通讯，1993（04）：31.

[2]特殊化思想与初中数学解题[J].全温.数学教学通讯.1994（03）

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