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浅析数学证明的功能及作用

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张少林

【摘要】数学证明是数学学习过程中非常重要的一部分.事实上，数学证明就是对一些命题的真假性进行判断，这些命题涉及几何方面的和代数方面的.但不管是哪方面的命题，其证明的过程都具有相似性.数学证明有论证命题、理解命题、发现命题的功能和作用.

【关键词】数学证明；论证命题；理解命题；发现命题

一、数学证明的由来

数学证明始于公元前6世纪，据一些文献考证，希腊哲学家泰勒斯是拥有一些演绎几何学定理发明权的第一人，一般认为，他对的一些命题作了相应的证明.

如，1.圆被任何直径二等分；2.等腰三角形两底角相等；3.两直线相交，其对顶角相等；4.两角及夹边对应相等的两个三角形全等；5.内接于半圆的角是直角.

从一个比较基本的事实出发，经过较简单的演绎推理，得到所要求的结果.这种几何学被称为论证（或者演绎的、系统的）几何学.到了公元前4世纪，欧几里得在其《几何原本》中，从一些基本定义与公理、公设出发，以合乎逻辑的演绎方法推导出很多定理，从而奠定了数学证明的模式.

二、数学证明的定义

数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.数学研究的对象并没有指明哪种具体的物质运动形态，是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物.如，數学中研究的圆，客观世界中有太阳、月亮、车轮、篮球、足球，但并没有数学中研究的圆.数学中研究的圆，是人脑的产物.数学不同于物理、化学、生物等学科.这些学科都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象，而数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用是非常的广泛的，是掌握现代科学技术必不可少的基础学科，所以，我们学习数学，就离不开数学证明.

什么是数学证明呢？一般人认为数学证明就是根据相应的定义、公理，法则等来证明一个命题的真假性的一个过程.比如，证明三角形内角和为是180°，就是通过相应的公理和法则来证明的.事实上，这种说法并不完整，它只是说出了数学证明的表面现象，而没有真正揭示出数学证明的本质来.数学证明则是以一些基本概念和基本公理为基础的，使用合乎逻辑的推理来决定判断是否正确.数学中的判断叫作命题.因此，“一个命题是真的，必须且只需它是这样一串命题的最后一个，其中每一个命题或者是形式系统的一条公理，或者是由一条推导法则所导出的命题”.也就是说，数学证明是以一些真实性已确定的命题为前提，通过逻辑论证，确定某一命题的真实的思维形式.因为数学是一门演绎的科学.由于数学的本质及其组织以及构造方式的特点.决定了数学证明只是一种演绎的证明.要回答这个问题，我们只需打开欧几里得《几何原本》这本书就足于明白了.

三、数学证明的功能及作用

数学证明在数学学习过程中非常重要，在于数学证明的功能和作用，数学证明有下面三个主要的功能或作用.

（一）论证命题

数学证明最基本的功能和作用就是可以论证一个命题的真假或者说是正确性.数学命题有真有假，一般来说，命题的真实性不是显然的，这时要判断真假就需要借助于一些方法，如，观察，实验，数学证明等等.比如，“直线外的一点与这直线上的点的连线中，垂线段最短”，通过观察就能看出它是一个真命题.通过实验的方法我们可以发现“三角形的外角和等于360°”这也是一个真命题.当然.“三角形的外角和等于360°”这个命题也可以用其他方法.但是，我们利用的观察、实验等的方法其实是不严谨的，相应的会产生没有说服力.而且，有许多命题通过观察和实验是无法论证的，比如，“2是无理数”通过观察和实验就无法判断其真假.而数学证明是通过引用一些真命题和特定的题设条件，经过严格的逻辑推理方法进行的，具有无可辩驳的说服力，可以论证一个命题的真假.

（二）理解命题

数学证明有助于增进对所证命题的理解，它可以通过一些逻辑的、推理的程序，来使得大家进一步理解一个命题，以及加深对在证明该命题过程中所用到的相关的数学知识的理解，真正看出该命题成立的原因.

比如，怎样去理解x2+bx=c这样一个代数方程呢？我们可以我们可以构造一个图形.

同时，通过数学证明还可以使人们寻找新旧知识之间的联系，使人们获得的知识系统化.

证明一个命题的真假时，需要灵活的运用相应的公理、定理以及其他的条件.因而，通过数学证明，在论证某个命题真假的同时，也增加了对证明过程中所涉及的知识的理解.在证明某个命题的时候要用到另外的命题，那么，这些命题之间的一定有内在的联系，寻找它们之间联系的桥梁就是数学证明.同时，通过不断的数学证明，寻找到新旧知识之间的联系，使人们所学的知识有机地结合起来，从而趋于系统化.比如，在证明梯形的中位线定理的时候，我们用到了三角形全等的判定定理（或推论），两直线平行内错角相等的定理以及三角形中位线定理等等.通过灵活的运用，可以加深对这些知识的理解.而且，在证明了梯形的中位线定理以后，我们可以发现：梯形的中位线定理和三角形的中位线定理有许多的相似之处，都存在平行和一半的关系.这样，就可以将这两个知识联系起来，使自己的知识趋于系统化.

（三）发现命题

数学证明有助于人们发现新的结论及新的知识.通过数学的证明来发现命题，在数学史上，有许多发现就是从数学证明开始的.例如，n个平面都经过一点，但其中任何三个平面不共线，问n个平面把空间分成多少个部分？对于这样一个命题，我们首先来看n，当n=1时，分成了2个部分，即21部分，当n=2时，分成了4个部，即22部分；当n=3时，分成了8个部分23部分；于是有人认为，n个平面可以把空间分为2n个部分.当我们证明这个结论时，发现它最多只能分成14个部分，而不是2的4次等于16个部分，从这个事实出发，人们进而发现了一个正确的命题.就是：n个平面只能把空间分成了n（n-1）+2个部分.又比如，欧拉在解决“哥尼斯堡七桥问题”的时，发现这个问题无法用以前的几何学的方法解决，是一个全新的问题.因为按照人们所熟知的几何理论，都是与长短、大小这些量有关，而七桥问题与量无关.欧拉通过研究得出了一笔画的原理.最后，证明了这是个不可能问题，并且提出了一个新的几何学分支——拓扑学.

又如，非欧几何的发现就是源于对欧几里得《几何原本》中第五公式的证明.人们觉得第五公设“若两条直线与第三条直线相交，而且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角，则该两直线沿这一侧延长后必定相交.”比其他四条公设复杂多了，因而，尝试从别的公理把它推出来.但是，所有的努力都失败了，人们不是证明时不知不觉的用了与第五公设有关的定理，就是提出了与第五公设逻辑等价的新定理.不过，这些错误与失败却为后来的成功铺了路.1830年左右，匈牙利数学家鲍耶与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在前人的基础上他们互相独立地建立了或分别发现了非欧几何的存在.

【参考文献】

[1]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.

[2]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2013.

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