| 标题 | 用复合函数求导思想解决实际问题中相关变化率问题 |
| 范文 | 刘淑贞++曾大恒 【摘要】导数可以反映一个函数的变化率问题，但生活中常常遇到两个相关变量的相关变化率问题，本文在介绍复合函数链式求导的数学方法的基础上，结合实际的例子，就生产生活中线与面、线与体积、相关速度、经济变量等相关变量之间的相关变化率问题进行了较详细的探究，具有一定的应用价值. 【关键词】复合函数求导；相关变化率；实际问题 在学习导数的过程中，大部分学生都知道导数可以用来解决变化率的问题，大多数是要解决一个函数变量相对自变量的变化快慢问题，而实际生活中有时候是几个相关的函数变量同时变化，面对多个相关的变量变化时，我们该如何用导数知识来反映它们的变化率以及相关性呢？解决这类问题的基本原理是建立在复合函数求导的方法基础之上的.下面结合复合函数求导的方法就几个类别的相关变化率问题进行探索. 一、复合函数求导链式法则 若复合函数y=f（φ（x））在点x可导，该复合函数由 y=f（u）及函数u=φ（x）复合而成，且在相应的区间都可导，则有dydx=dydx·dudx，即yx′=yu′·ux′. 上述可见复合函数的导数等于函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数.我们把复合函数的这种求导法则也称为链式法则.解决相关变化率的一个需要注意的地方就是要把其中相关的变量看成一个复合函数，通过复合函数求导，利用已知的某变量的变化率，得出相关的变量的变化率来解决问题. 二、线与面的相关变化率问题 问题1有一石头落在水平面上，随即产生同心的波纹.若最外一圈波半径增大率总是2 m/s，问当半径增大到3米时，扰动水面面积增大率是多少？如图1所示. 图1 分析这是一个半径直线增大与面积增大相关变化率的问题，圆的半径与面积具有特定的函数关系S=πr2，要注意的是这里的S是一个关于时间t的函数，同时半径不是一个常量而是变化的，也是关于时间t的函数，因此，面积S是一个复合函数，由S（t）=πr2，r=r（t）构成，利用复合函数链式求导法则可得面积S的增大率就是S′（t）=（πr2）′=2πr·r′（t），其中r′（t）=2，r=3，所以S′（t）=2π×3×2=12π m2/s.即当半径增大率为2 m/s，增大到3米时，扰动水面面积增大率为12π m2/s. 直线的改变率导致面积的改变率的问题不仅局限于圆，比如，三角形的面积因边长的变化而产生的变化率等，都可利用此方法求解.这方面的实际应用也有很多，比如，已知海上原油泄漏的速度，求油的污染面积的扩散的速度等问题. 三、线与体积的相关变化率问题 图2 问题2若水以2 m3/min的速度灌入高为10 m，开口半径为5 m的圆锥形容器中，当水深为6 m时，水位上升速度是多少？如图2所示. 分析这是一个已知体积变化率求高度变化率的问题.设在时间为t时，容器中水的体积为V，水面的半径为r，容器中水的深度为x，由圆锥的体积公式可知V=13πr2x，又r5=x10，即r=12x，代入得V=112πx3.这里的x是关于时间t的函数，即x=x（t），所以水的体积V通过中间变量x与时间t发生联系，是时间t的复合函数，因此，对V关于时间t求导是一个复合函数求导的过程： 由已知V=112π[x（t）]3， 在上式中，两端关于t求导数，得 dVdt=112π·3x2·dxdt， 其中dVdt是注水的体积变化率，dxdt是水深度的变化率，由题可知dVdt=2 m3/min，x=6，代入上式得dxdt=4πx2·dVdt=4π×62×2=29π≈0.071（m/min）. 所以，当水深6 m时，水位上升速度约为0.071 m/min. 此题中通过体积的变化率dVdt与水位深度的变化率dxdt之间的关系求得了问题的解，这种是线与体积之间的相关变化率问题.这类问题可以解决，比如，由一个圆柱形桶中流出液体的体积速度求相应的液体下降的速率等问题. 四、各相关物体之间的速度比较问题 导数本质上是反映变化率的问题，在物理学上的含义就是用物体运行的速度来刻画变化的快慢，我们都知道求瞬间速度时可以用求导的方式来解决，但实际上很多生活实际问题中的速度需要讨论的是一个相关性. 问题3抛一个物体，该物体的运动轨迹是一条抛物线y=3x2，x∈（0，+∞），那么它的横坐标和纵坐标变化的速度哪一个快些呢？如图3所示. 图3 分析同样，这里函数中的x应该看成是一个关于时间t的函数，因此，y=3x2是由y=3x2及x=x（t）复合而成的，对等号两边关于时间t求导得 dydt=6x·dxdt，即得dydt∶dxdt=6x，因此，在定义域内，当x∈0，16时，6x<1，则x轴比y轴变化要快，当x∈16，+∞时，6x>1，则y轴比x轴变化要快，我们从上面的图像也可以看出这种变化的特点.这种用复合函数求导的方法解决相关速度的实际问题还有很多，比如，距离探测器跟踪热气球升空的问题，已知探测器角速度，求气球升空的速度，又如，灯光照射灯塔问题，已知灯的转动速度，求灯光滑过岸边的速度等，都可以用这种方法来解决. 五、其他各制约变量之间的相关变化率问题 问题4吉利汽车公司生产一种小型汽车配件，设市场上对此配件需求量为q，销售的价格为p，由于多年的经营实践得知此配件的需求量q与价格p之间的关系近似为 q=10 000（0.5p+1）2+e-0.1p. 若配件的价格按照每年5%的比率均匀增加，现在销售价格为1.00元，则此时需求量将如何变化？ 分析这是经济学里常常遇到的需求函数，从函数关系上看是价格变动导致需求量变化，但价格并不是恒定的，价格p本身也是随着时间每年5%的比率增加，因此，要求相關的需求量的变化率，与前面的方法大同小异，把销量q看成是价格函数的复合函数，用复合函数求导的思想寻求两个相关变量的变化率的问题，这里就不详细展开了. 六、总结 求解相关变化率问题，主要是通过复合函数求导公式，利用已知的某变量的变化率得出所要求变量的变化率，其关键是由已知条件建立一个合适的函数关系式.可以说，相关变化率问题也是建立数学模型问题之一，而建立数学模型问题对学生是相当重要的，可以培养学生应用数学的意识、兴趣和能力，让学生会用数学的思维方式观察事物，用数学的思维方法分析、解决实际问题. 【参考文献】 [1]庞栓琴.求解相关变化率的问题[J].高等数学研究，1999（3）：22-23. [2]赵红杰，李杨，柏继云.相关变化率问题的求解方法及应用[J].安徽农业科学，2013（19）：8088-8089+8210. |
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