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角谷猜想证明

范文

王锦根

【摘要】本文应用反证法，通过数的互质，4x-1与4x+1相互转换，证明3x+1猜想成立.

【关键词】角谷猜想;黑洞;互质

一、“角谷猜想”概念

“角谷猜想”又称“冰雹猜想”“哈塞猜想”“乌拉姆猜想”或“叙拉古猜想”它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人把它带到亚洲，因而，人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”又叫奇偶归一猜想（英语：Collatz conjecture），是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1.

取一个数字，如x=11（考虑属于自然数范畴，在此处不用x表示，用n表示），根据上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.简化一下就是，11→34→17→52→13→40→5→16→1.（→未特别说明，表示按照角谷猜想运算规则进行运算）

应该说，角谷猜想是一种数学黑洞现象，它最终进入1→4→1的循环圈.倒推过来可以得到这样一类数，当n=4k-13时，n展开来就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具体为：1，5，21，85，…，4k-13（我们可以称为“类黑洞数”），始终满足角谷猜想，可惜不是全部奇数自然数.

二、角谷猜想的黑洞

假设任一奇数n（n≠1），经过3x+1若干步骤计算，仍能回到n，且n不等于1，那它就会在其他数字循环，则3n+1猜想不成立.

（一）一步循环

假设：3n+12k1=n，且n≠1，k1∈N，∴n=12k1-3.

（二）二步循环

假设33n+12k1+12k2=n，且n≠1，k1，k2∈N，

∴n=2k1+32k1+k2-32.

（三）三步循环

由于命题列式表示麻烦，我们直接得出其解

n=2k1+k2+3·2k1+322k1+k2+k3-33，且n≠1，k1，k2，k3∈N.

……

（四）i步循环

（同上）

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1，k1，k2，…，ki∈N.

在证明之前，我们先了解两个概念，一是互质，二是公约数，公约数只有1和-1的两个整数，叫作互质整数，公约数只有1的两个自然数，叫作互质自然数.

现在我们看看

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1.

当k1，k2，…，ki不全相等时，分子分母互质，证明很简单（略）.

当且仅当，k1=k2=，…，=ki时，其最大公约数为2（i-1）·k1+3·2（i-2）·k1+32·2（i-3）·k1+…+3i-2·2k1+3i-1，否则没有整数解.

当k1=k2=，…=ki时，

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i

=12ki-3.

当ki=2时，n=1与原命题矛盾，故3n+1猜想结果是1.

上述证明只在1→4→1中循环，大于1的奇数是如何回到1的呢？

三、证明

在证明之前，我们来说明几个普遍现象，如果x→1，则4x+1→1，16x+5→1，64x+21→1，….

所以我们说所有奇数回到“1”的唯一途径必须符合4x+1形式，如n=4k-13时，n展开来就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具体为：1，5，21，85，…，4k-13.

需要强调的是，除以1以外，奇数可表现为4x-1和4x+1两种形式或集合（这里奇数“1”是特例，黑洞）.

例1假设奇数x经过3x+1规则→1，则4x+1经过3x+1规则必然→1.

证明当3x+1→1，那么3·（4x+1）+14=3x+1→1，即证.容易求得进行黑洞1前的4x+1形式是4k-13（也可称为类黑洞数）.说明任一个奇数，经过3x+1规则要进入黑洞1时，前提必须是4x+1形式，再次是类黑洞数，直至黑洞1.

例24x-1形式转换4x+1形式.

解第一步：4x-1→6x-1=

12x1-7（当x为奇数，属于4x+1形式）

12x1-124x2-13（当x为奇数，属于4x-1形式）

24x2-1（当x为偶数，仍属于4x-1形式）（1）

（2）

（3）

对于（2）式，24x2-13→36x2-19属于4x+1形式，….

对于（3）式，当x1=2x2，x2=2x3，x3=2x4，…，为符合4x-1這一形式的奇数必为2（k+1）-1，k∈N（自然数）.

第二步：2（k+1）-1按照3x+1规则运行k次化为2·3k-1，即4x+1形式.

结论4x-1形式经过3x+1规则转换，一定能够转换为4x+1形式.4x+1形式经过3x+1规则可经过4x-1形式，但仅仅是中间过程.基于不存在1以外的黑洞，4x-1形式、4x+1形式经过3x+1规则转换的最终结果，肯定是类黑洞数的4x+1形式.

综上所述，任何一个奇数，经过3x+1规则，均在形式4x-1与形式4x+1之间转换，最终定格在4x+1形式而落入类黑洞数4k-13.

证毕

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