| 标题 | 美式封顶看涨期权的定价分析 |
| 范文 | 刘苑华
摘 要：期权是现代金融风险管理的重要工具之一，确定的执行价格以及特殊的损益是期权最大的特点。美式期权可以在期权到期日之前的任何时间行权，封顶确定了市场价格和执行价格之间的间距，看涨期权具有损失有限收益无限的特点。自1973年Fischer Black 和 Myron Scholes提出了著名的期权定价公式，Black-Scholes的研究框架成为期权定价研究的主流。标准的美式封顶看涨期权定价是自由边界问题，本文从美式封顶看涨期权性质研究开始，继而建立自由边界模型和变分不等方程两种模型对美式封顶看涨期权的定价进行分析。 关键词：美式封顶看涨期权；自由边界模型；变分不等方程模型 一、期权理论概述 1.期权概述 期权根据买方对标的价格不同方向的判断分为看涨期权和看跌期权，看涨期权的买方有权利按照执行价格买入期权标的，买方认为期权标的的价格未来是会上涨的；看跌期权的买方有权利按照执行价格卖出期权标的，买方认为期权标的的价格未来会下跌。对于期权的买方来讲，收益是不固定的，最大损失已经固定是全部的期权费用加上无风险利率收益，对于期权的卖方来讲，最大收益固定是全部的期权费用，损失空间却很大。 2.美式封顶看涨期权性质 看涨期权的损失有限，最大的损失就是购买期权支付的费用，盈利则是无限的，损益如图所示。当市场价格等于行权价格加上期权费用之和，看涨期权损益正好平衡，市场价格越高，看涨期权盈利越大，并且没有盈利上限，但是在现实生活中，期权标的是不可能无限上涨的，因此笔者认为期权中最重要的就是行权价格的选择，也就是行权价格和市场价格之间的间距确定，封顶期权很好的解决了这个问题。封顶价格对看涨期权来说是定约价加上一个封顶间距，如果底层证券达到或高于看涨期权的封顶价格，封顶期权将自动履约。设定一个封顶价格就相当于设定一个期权获利区域，根据美式封顶看涨期权的性质，期权标的的价格明显有两种损益，当市场价格大于零（现实中不存在标的价格小于零的情况），小于或等于行权价格时，看涨期权处于亏损状态，损失为期权费用，这时持有人应当继续持有期权，因此这个区域称为持有区域 二、永久美式封顶看涨期权定价--自由边界模型 我们将永久美式封顶看涨期权作为自由边界模型定价的研究对象，永久指的是没有到期日的意思，也就是时间T=∞，因为没有到期日的限制，永久美式封顶看涨期权是同类型美式封顶看涨期权中最贵的，拥有最多最大的获利机会。 1.模型的推导 模型推导中的前提是风险中性市场的标准假设，即假设市场不存在任何套利机会，投资者的投资态度是中性的，所有证券的预期收益率都等于无风险利率，将期望值用无风险利率折现。假设期权标的的市场价格S符合随机微分方程 在期权标的的市场价格S非常小的情况下，标的价格会小于行权价格，S-K小于零，期权不应当执行，期权价格满足方程1，当期权标的市场价格足够高时，S-K大于零，表示执行期权有盈利，期权持有者用约定的执行价格买入标的，获得的是市场很高的价值，低价买入高价卖出获取中间的差价利润，这时应当立即执行期权，否则就会产生支付红利和贴现的损失。是否应当执行期权的分界线，用C表示，当标的市场价格S小于C时，不应当执行期权，S在持有区域中，此时期权价格P符合方程1，当S大于C时，应当执行期权获取盈利，S处于执行区域，此时期权的价格P=S-K。在整个价格分析中，固定的一个时间点，分界线C是未知的，也是我们所研究的自由边界，但是显然C应当大等于期权执行价格K，如果C小于K，那么C-K小于零，应当持有期权，处在持有区域，这和基本前提是互相矛盾的。 假设当S=0时，市场是一只无形手，有自动调节平衡的功能，期权价格不可能无限高而没有边界，因此P（0）是有边界的。当S=L（L大于K）时，发行人按价格L-K回购，从而P（L）=L-K。 美式期权的执行时间由持有者决定，持有者会根据自己对市场的判断，综合考虑多种因素，继而选取一个利益最大化的约定执行期权价格K（即自由边界C），这时期权的价格达到最大值，可以得到（P；C）符合等式2：
将计算结果和分析归纳为金融解释，可以得到如下结论：（1）期权标的价格上涨，市场对标的的盈利能力的期望也随之增加，期权的价格就会上升。（2）对于美式看涨期权来讲，执行价格K越大，购买期权的持有者获利越困难，获利空间越小，期权的价格越低。（3）波动率是指价格的波幅，波动率大表示价格会有大幅变动的可能，将会增加盈利的可能，因此期权的价格和波动率的大小成正比。（4）期望回报率和无风险利率之间联系紧密，期望回报率随着无风险利率的增加而增加。（5）封顶价格指的是获利的固定空间，封顶价格变小，获利空间变窄，期权的最终收益随之减少，期权的价格降低。 三、变分不等方程模型 除了永久美式封顶看涨期权之外，其余类型的美式封顶看涨期权的价格都不能够用一个表达式表示，只能根据收益函数：收益=（min（St，L）-K）+，基于变分不等方程的离散化，用数值的方法，对一般美式封顶看涨期权的定价进行建模研究。 建模需要有一系列的假设，在此假设期权标的的价格遵循几何布朗运动，存在固定常数的无风险利率r，期权标的支付红利为常数q，交易过程中没有税费和交易费用产生，市场中不存在无风险套利机会。 4.显式差分格式 在区域 在这一部分中主要研究的参数对期权价格的影响如下：美式封顶看涨期权随着到期日时间t的临近，波动率逐渐变小，因此期权价格和到期日反向运动；期权价格临近到期日越高，就证明看涨期权获益更大，因此期权价格与期权标的的价格同向运动。 四、期权定价总结 执行价格越低，市场价格变化幅度越大并且是上涨趋势的期权合约价格越高。假设将期权标的的价格确定下来，t时刻期权标的的价格是S，期权价格为P，则可以在期权价格区域内确定点Pt=P（S，t），这个点是确定的二维坐标区域中的一个，期权定价就是建立常微分方程和变分不等方程的离散将这个函数的等式表示出来。期权定价工作的理论基础是布莱克和肖尔斯在1973年做出的欧式期权定价的推导公式，关于偏微分方程的显示解。 参考文献： [1]陈树敏，何春雄.时间依赖的关卡期权定价.华南理工大学学报，2005. [2]戴民.路径依赖期权二叉树方法的数值分析. [3]丁正中，曾慧.实物期权的三叉树定价模型.统计研究，2005. [4]冯广波.前向打靶格方法计算变异期权的价格，2003年. [5]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法.北京：高等教育出版社. [6]李莉英，金朝嵩.美式看跌期权定价的一种混合数值方法，2005年. [7]李小爱，刘全辉.离散障碍平方期权的定价，2005. [8]刘海龙，吴冲锋.期权定价方法综述，2002年. [9]刘棠，张盘铭.期权定价问题的数值方法.系统与科学，2004年. [10]罗开位，侯振挺，李致中.期权定价理论的产生和发展，2000年. [11]张铁，李明辉.求解股票期权定价问题的差分方法.东北大学学报，2004. [12]魏正元.广义交换期权定价.数学的实践与认识，2005：第35卷第9期.
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