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标题 常型弦方程的谱分析
范文

    于倩倩

    

    【摘要】 本文考虑定义在[0,1]区间内的常型弦方程的谱问题,利用Liouville变换将弦方程转化为Sturm-Liouville势方程,推导出常型弦方程算子在一般分离型边界条件下的解,特征值和特征函数的渐近式.

    【关键词】 弦方程;Liouville变换;特征函数

    本文将Dirichlet边界条件推广到一般的边界条件情况下,研究定义在[0,1]区间内的弦方程在如下分离型自伴边界条件下的谱问题:

    Ly=-y″+λp(x)y, y′(0)-h0y(0)=0, y′(1)-h1y(1)=0,

    其中密度函数p(x)∈ C 2[0,1]为正实值函数,h0,h1∈ R .

    由于当密度函数p(x)∈ C 2时,弦方程可以通过Liouville变换转化为与之相对应的Sturm-Liouville势方程, 所以考虑定义在[0,π]内的Sturm-Liouville问题L1(q,h,H):

    -u″+q(x)u=μu, u′(0)-hu(0)=0, u′(π)-Hu(π)=0,

    其中q(x)∈ C [0,π]为正实值函数,且h,H∈ R .熟知,微分算子L1在函数空间L2[0,π]内是自伴且下半有界的,它的谱由简单的实特征值σ(L1)={μn}∞n=0组成.

    记φ(x,μ),χ(x,μ)分别是方程-u″+q(x)u=μu满足如下初始条件的解:

    φ(0)=1,φ′(0)=h;χ(0)=1,χ′(0)=1.

    引理1.1 [1] 记μ=l2,则

    φ(x,μ)=coslx+ h l sinlx+ 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)φ(τ,μ)dτ,

    χ(x,μ)= sinlx l + 1 l ∫x0sinl(x-τ)q(τ)χ(τ,μ)dτ.

    引理1.2 [1] 记l=σ+it,则存在记l0>0,使得当|l|>l0时有

    φ(x,μ)=O(e|t|x),χ(x,μ)=O? e|t|x |l|? ,

    进一步,

    φ(x,μ)=coslx+O? e|t|x |l|? ,

    χ(x,μ)= sinlx l +O? e|t|x |l|2? ,

    这些估计式对x∈[0,π]一致成立.

    引理1.3 [1] 当n→∞时,Sturm-Liouville问题的特征值μn和特征函数vn满足如下渐进式:

    μn=n2+O(1),

    vn(x)=? cosnx+O? 1 n? .

    下面给出弦方程解,特征值和特征函数的渐进式.记φ(ξ,λ),ψ(ξ,λ)分别为弦方程满足如下初始条件的解:

    φ(0)=1,φ′(0)=0;ψ(0)=0,ψ′(0)=1.

    定理1.4 ?记λ=s2,则

    φ(ξ,λ)=cossξ+O? e|t|ξ |s|? ,ψ(ξ,λ)= sinsξ s +O? e|t|ξ |s|2? ,

    λn= n2π2 c2 +O(1),vn(ξ)=? cosnξ+O? 1 n? ,

    其中ξ=∫x0 p(t) dt,c=∫10 p(t) dt.以上渐进式对x∈[0,1]一致成立.

    证明 ?通过Liouville变换:

    ξ=∫x0 p(t) dt, u(ξ;λ)=p 1 4 (0)p 1 4 (x)y(x;λ), q(ξ)=p- 1 4 (x) d2 dξ2 p 1 4 (x),

    将弦方程问题转化为如下Sturm-Liouville问题:

    (λ-q(ξ))u(ξ)=-u″(ξ), u′(0)-hu(0)=0, u′(c)+Hu(c)=0,

    其中h= 1 4 p- 3 2 (0)p′(0)+h0p- 1 2 (0),H=-? 1 4 p- 3 2 (1)p′(1)+ h1p- 1 2 (1) ,c=∫10 p(t) dt.

    因为p(x)∈ C 2,则q(ξ)∈ C .结合引理1.1、引理1.2和引理1.3,结论得证.证毕.

    【参考文献】

    [1]刘景麟.常微分算子谱论[M].北京:科学出版社,2009.

    [2]杨秋霞,王万义,张新艳.一类常型Sturm-Liouville問题的渐近分析[J].内蒙古大学学报(自然版),2008(1):7-12.

    [3]何翠竹.弦方程的逆谱问题[J].纺织高校基础科学学报,2011(1):63-67.

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更新时间:2025/3/14 20:59:04