函数的奇偶性在高中数学解题中的运用

    王月娉

    

    

    [摘???要]奇偶性是函数的一个很重要的性质.在解数学题时，如果能够准确运用函数的奇偶性，很多问题都能迎刃而解.研究利用函数奇偶性解决问题的方法，对提高学生解题能力有很大的帮助.

    [关键词]函数;奇偶性;运用

    [中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0019-02

    奇偶性是函数的一个很重要的性质.利用函数的奇偶性解题的方法，课本没有专门的介绍，学生学习起来有一定的难度.学生虽然掌握了判断函数奇偶性的方法，但是利用函数的奇偶性解题时仍会出现错误.因此有必要进一步研究其性质的运用.

    函数的奇偶性有很多重要的结论.比如：

    （1）一个函数是奇函数或者偶函数，其定义域关于原点对称;如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么它是非奇非偶函数.

    （2）若奇函数[f（x）]在[x=0]处有定义，则必有[f（0）=0]?.

    （3）若函数[f（x）]是奇函数，则[f（x）max+f（x）min=0]?.

    （4）奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于[y]轴对称.反之也成立.

    （5）奇函数在关于坐标原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在关于坐标原点对称的区间上的单调性相反.

    下面通过具体实例来介绍函数的奇偶性在解題中的运用.

    【类型一】正确把握定义

    函数具有奇偶性，它的定义域一定关于原点对称.所以在解题时一定要把握好这一知识点.

    [例1]已知[f（x）=ax2+bx]是定义在[[a-1?，2a]]上的偶函数，那么[a+b=]（）.

    A.?[-13] B.?[13] C.?[12] D.?[-12]

    解：?依题意可知，区间[[a-1?，2a]]是关于原点对称的，则[（a-1）+2a=0]，?所以[a=13]?.

    又函数[f（x）]是偶函数，所以[f（-x）=f（x）]，即[ax2-bx=ax2+bx]对定义区间上的任意[x]恒成立，所以[b=0]，所以[a+b=13]?.

    【类型二】求函数解析式

    求函数的解析式的方法很多，如果涉及奇偶性，我们一定要抓住“对称”这一特点.

    [例2]已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，且当[x>0]时，?[f（x）=x2-x]，则函数[f（x）]?的解析式是?????????????.

    解：因为函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，所以[f（0）=0].

    当[x<0]时，[-x>0]，

    所以[f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x].

    又[f（-x）=-f（x）]，所以[f（x）=-f（-x）=-x2-x].

    综上可得??[f（x）=x2-x?，?x>00??，???????x=0-x2-x，x<0]??.

    【类型三】函数求值

    求函数值题型，方法众多.如果题目给出函数的奇偶性，那么我们就要充分利用它的性质解题.这样我们就可以避免复杂的运算，达到快速解题的目的.

    [例3]已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，当[x<0]时，[f（x）=2x3+x2]，则[f（2）=]?????????????????????.

    解法一：由题设可知，对任意[x∈R]，有[f（-x）=]?[-f（x）]，即[f（x）=-f（-x）]，所以[f（2）=-f（-2）=12]?.

    解法二：当[x>0]时，[-x<0]，则[f（-x）=2（-x）3+]???[（-x）2=-2x3+x2].

    又[f（-x）=-f（x）]，所以?[f（x）=-f（-x）=2x3-x2]，

    即当[x>0]时，?[f（x）=2x3-x2]，所以??[f（2）=12]?.

    [例4]已知[y=f（x）]?是奇函数，当[x<0]时，[f（x）=x2+ax]，且[f（3）=6]，则[a]的值为（）.

    A.?[5]B.?[1]C.?[-1]D.?[-3]

    解法一：因为[y=f（x）]是奇函数，且[f（3）=6]，所以[f（-3）=-6]，则[9-3a=-6]，解得[a=5]，??选A?.

    解法二：当[x>0]时，[-x<0]，则[f（-x）=x2-ax]?，又?[f（-x）=-f（x）]，

    所以[f（x）=-f（-x）=-x2+ax]，

    即当[x>0]时，?[f（x）=-x2+ax]，

    由?[f（3）=6]得[-9+3a=6]，??解得[a=5]，??选A?.

    【类型四】图像的应用

    函数的图像能够直观地体现函数的性质.因此，解题时如果依据题设条件作出它的简图，借助图像寻求解题思路，或者直接得到答案，能够收到事半功倍的效果.

    [例5]若定义在[R]上的奇函数[f（x）]在[（0?，?+∞）]上为增函数，且[f12=0].则满足[f（x）>0]的[x]的集合为 ??????????????.

    解：作出简图，如图1所示依题意[f（0）=0]，?[f-12=0]，且

    [f（x）]在[（-∞?，?0）]上也为增函数，

    所以满足[f（x）>0]的[x]的集合为

    [x-1212]?.

    著名数学家华罗庚先生说：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用.”这就意味着教师在教学过程中，要引导学生深刻领会数学的内容、意义和方法，引导学生对于一个数学问题，要从多角度进行分析，认真探究，总结规律并灵活运用数学思想方法，准确运用数学结论，这样才能提高他们的解题能力.

    （责任编辑 黄桂坚）