预设指向本质生成引向深刻

笔者在江苏省“十二五”重点资助课题《中学数学学程总结技艺研究》中提出了“学程总结”的概念，指出“学程总结是教师基于学生的认知特点，依据明确的教学目标，对学程进行整体规划、设计、实施并引领学生进行总结提升的过程.”可按“时间”、“四基”、“对象”等标准对学程总结进行分类，以“时间”为序的学程总结分为学程前总结、学程中总结、学程后总结，其中学程中总结又分为即时性总结、形成性总结、阶段性总结、终结性总结[1].本文结合一节公开课《一次函数（1）》谈谈形成性总结的常用方法.
1 什么是形成性总结
所谓形成性总结是指从新知的产生到学生将新知纳入原有认知结构过程中的总结，它强调的是“过程性”，它不只是新知的产生，也不只是新知在大脑中的贮存，而是新知如何从学生原有认知结构中产生，又如何在学生头脑中贮存并形成新的认知结构的过程.说得形象一点，它不只是种子、蓓蕾、花朵、果实，而是“种子——蓓蕾——花朵——果实”的一个慢镜头过程.
2 教学过程及形成性总结方法要点揭示
（一）概念形成
师：同学们，前几节课我们学习了正比例函数，今天我们研究一次函数.请写出下列变化过程中的函数解析式.（具体问题略）
学生根据题意写出了以下的函数解析式：y=5-6x，c=7t-35（20≤t≤25），G=h-105，y=0.1x+22，y=-5x+500（0≤x≤10）.
师：下面请同学们来概括一下刚才所写的函数解析式的特征.
生1：这些函数解析式都具有y=kx+b，k，b为常数，k≠0的形式.
师：概括得非常准确，刚才这位同学用数学表达式对上述5个解析式的特征进行了概括，那么谁能用文字对以上的解析式进行描述呢？比如，式的左边是什么？右边是什么式？
要点揭示 “谁能用文字对以上的解析式进行描述呢？”这个问题问得好，当学生能将字母表达式翻译成文字，实现数学语言内部转换的时候，他头脑中的认知机制就发生了作用，对概念的理解就有了深刻的变化，就不只是表象，而是有了实质性的理解.所以说“换一种语言进行描述”是一种指向本质的提问方法，是形成性总结过程中常用的提问方法，值得一线教师在教学实践中加以应用.
生2：式子的左边是自变量的函数，右边是一个多项式.
师：什么多项式？
生2：自变量的一次多项式.
师：说得非常好，我们就把这种具有y=kx+b，k，b为常数，k≠0形式的函数叫做一次函数.下面谁来说说为什么叫一次函数？
生3：因为等号的右边是自变量的一次多项式，也就是自变量的最高次数为1，所以叫一次函数.
师：说得好，特别要强调的是自变量的最高次数为1，这与我们以往定义方程、不等式和整式的次数是类似的.
要点揭示 从定义开始就将函数与方程、不等式、整式进行联系，为后续学习函数与方程、不等式的关系，为进一步学习二次函数打下了伏笔，是一个好的长程预设.所以说“长程预设显奇效”是形成性总结的又一技法，在本教学环节中教者是向后拓展，可以看成是一种学程后总结.
师：下面我们再来看看“k，b为常数，k≠0”，那么对b有要求吗？能等于0吗？
生4：对b没有要求，能等于0.
师：当b=0时，函数变为什么了？
生4：变为了y=kx，也就是我们前几天研究的正比例函数.
师：这说明正比例函数与一次函数有什么关系？
生4：正比例函数是特殊的一次函数.
师：说得很对，其实我们前几天研究的正比例函数就是一次函数，只不过是一种特殊的一次函数.
要点揭示 研究完次数再来看系数，教者在对k，b取值范围的步步追问中将学生对正比例函数与一次函数关系的理解“逼”向了深入.因此说“靠船下槁，步步紧逼，强化联系”能促使学生的思维向深层次突破，有利于形成系统的认知结构，是形成性总结的过程中常用的方法.
师：下面请同学们举出一些实际生活中一次函数的实例好吗？
生5：我们在银行里存款的本息和等于本金加本金乘以利率乘以存期，其中本息和是存期的一次函数.
师：说得很好，如果我们的本金是a，利率是b%，存期是x，本息和是y的话，那么y=a·b%·x+a，y是x的一次函数.谁再来举一个例子？
生6：我们去超市买东西，如买糖，每斤2元，所买钱数y是斤数x的一次函数.
师：哦，我们来写出这一变化过程中的解析式，y=2x，是不是一次函数？
众生：不是！
师：不是？
生6：是一次函数，不过不是前面所出现的b≠0的形式，它是正比例函数，是特殊的一次函数，现在我来改一下，付款时超市又收取了装糖用的方便袋0.5元，这样所付钱数y=2x+0.5是x的一次函数，就和前面的例子是一样的了.
师：说得非常好，一个方便袋就将正比例函数与一次函数之间的关系联系起来了，你太有水平了.大家明白了吗？
众生：明白了！
师：刚才大家举的是实际生活中的例子，谁能举出我们学习中的例子？
生7：一个等腰三角形的周长是3，腰长为x，则底y=-2x+3是腰x的一次函数.
师：说得非常好，这是我们前几天练习中出现的例子，这位同学真是一个有心人！
要点揭示 “自主举例促理解”，先让学生从实例中抽象出一次函数的定义，再让学生举例加深对一次函数的理解是概念的形成性教学中最有效的方法之一.更值得一提的是，在本节课的举例中，学生轻松自如地举出了生活中的、学习中的例子，说明教者对本节课的教学进行了有效的“长程预设”，即在较长的学程中对相关教学内容进行设计，使概念的教学时段更长，使学生的理解更有深度.“长程预设显奇效”，究其原因，那就是在长时间的思考之中，认识的那个瓶颈也许在某个时候不知不觉地就突破了.和上面相对，教者此处的“长程预设”属于“学程前总结”，也就是说，在新学程开始之前就暗藏伏笔，静候学生的水到渠成！
（二）性质探索
师：刚才我们研究了一次函数的定义，下面我们研究一次函数的图象及性质.现在请哪位同学来回忆一下我们是如何研究正比例函数的图象及性质的？
生8：我们通过描点画图，观察图象，得出了正比例函数的图象是一条经过原点的直线，并以k的符号进行了分类，研究了图象所经过的象限及其增减性.
师：说得非常好，那么你觉得我们应该如何研究一次函数的图象及其性质呢？
生8：我们也用类似的方法进行研究，先画图，再观察，然后再进行探索.
要点揭示 “总结旧知寻方法”，在研究新知之前让学生回忆以往研究经验，从原有的认知中寻找可用的方法是形成性教学中的常用方法，老师的做法起到了先行组织者的作用，能加强新知与旧知的联系，使新知形成的稳定性、系统性更强.
师：这是一个好的办法，课本上用的就是这种方法.不过今天老师要从我们刚才得出的“正比例函数是特殊的一次函数”的角度出发，换一种方法来探索一次函数的图象及其性质.
（教者的这个说法让听课的老师大吃一惊，不用这种方法还能用什么方法？大家的眼中充满了疑惑，同时也充满了期待！）
出示问题：对比一次函数y=-2x+3和正比例函数y=-2x.
师：下面我们先回顾一下y=-2x的图象及其性质.
生9：y=-2x的图象是一条经过原点的直线，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.（学生回答时师板书，板书略）
师：下面我们首先思考当自变量变化时函数值如何变化？（出示下表）

生9：一次函数y=-2x+3和正比例函数y=-2x的函数值都随着x的增大而减小.
师：说得对，现在我们进一步观察，对于这两个函数，自变量每增加一个单位，对应的函数值减小多少？
生10：对于正比例函数y=-2x自变量每增加一个单位，函数值就减小2；对于函数y=-2x+3自变量每增加一个单位，函数值也减小2.
师：这就是说一次函数y=-2x+3和正比例函数y=-2x不仅仅增减性是相同的，而且增减的速度也是一致的.那么这样一个特征在图象上会有什么体现呢？我们能否由此猜想一下一次函数y=-2x+3的图象及其性质呢？
（此时，下面有小声的议论，一次函数y=-2x+3的图象可能是一条与y=-2x平行的直线）
师：通过刚才的研究，不少同学对一次函数y=-2x+3的图象及其性质已经有了一定的感悟，现在我们不做定论，我们继续下面的研究.
师：现在我们来思考，当自变量的值相同时，对应的函数值有何关系？
生11：当自变量的值相同时，函数y=-2x+3的值比y=-2x的值大3.
师：能说得具体一点吗？
生11：比如当x=-2时，一次函数y=-2x+3=7，而正比例函数y=-2x=4，7比4大3；再比如x=-1时，一次函数y=-2x+3=5，而正比例函数y=-2x=2，5比2大3；再比如…
师：不要再比如了，下面我想请你说说你这么多的“比如”说明了什么？
生11：说明了对于任意x，函数y=-2x+3的值比y=-2x的值大3.
师：说得非常好，下面我们再来思考在自变量相同时，函数y=-2x+3的值比y=-2x的值大3这个特征表现在它们的函数图象上会有什么情况发生呢？
生12：将函数y=-2x的图象向上平移3个单位就可以得到函数y=-2x+3的图象.
师：能说说理由吗？
生12：因为自变量相同，所以横坐标相同，函数值大3就是纵坐标大3，所以相应的点就要向上平移三个单位.
师：说得太好了，大家都听明白了吗？
众生：明白了！
师：下面我们再来看一看动画演示，加深一下理解.（课件演示略）
师：下面我们来总结一下函数y=-2x+3的图象及其性质吧.
生13：因为函数y=-2x+3的图象是由函数y=-2x的图象向上平移3个单位得到的，所以函数y=-2x+3的图象是一条直线，图象经过点（0，3），图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小.（学生回答时教师板书，板书略）
要点揭示 “特例对比打基础”，从对比一次函数y=-2x+3和正比例函数y=-2x两个具体的实例入手探索一次函数的图象及性质，让学生对形成的感性认识确信不疑，在合情推理之中渗透演绎推理，教者在这节课里向学生展示了理性思维的魅力.学生在探索过程中状态投入，思维活跃，思路顺畅，认识深刻.这至少说明两点，一是教者的教学预设符合学生的认知规律，二是教者的教学预设直指问题的本质.
师：说得非常好，现在请你将直线y=-2x+3与直线y=-2x来做一个对比，好吗？
生13：两个函数的图象都是直线，y均随x的增大而减小，直线y=-2x过原点（0，0），直线y=-2x+3过点（0，3），直线y=-2x经过第二、四象限，直线y=-2x+3过第一、二、四象限.
师：为什么会产生后两点不同呢？
生13：因为这里的b≠0，而是等于3，所以图象向上平移了，由经过原点（0，0）变为过点（0，3），由经过第二、四象限，变为经过第一、二、四象限.
师：说得很对，刚才我们其实不仅知道了一次函数y=-2x+3的图象及其性质，更重要的是我们还知道了一次函数y=-2x+3与正比例函数y=-2x之间的关系.那么我们现在能不能将这个结论做一个推广呢？
要点揭示 “精致对比指本质”，在得出了y=-2x+3的图象和性质后，再引导学生与y=-2x的图象及性质进行对比，教者通过“为什么会产生后两点不同呢？”使学生的认识不断“精致”，直指问题的本质——“字母b对图象及性质的影响”，为进一步推广研究成果打下了基础.
众生：能！
师：好，我们请一个同学来推广一下.
生14：因为函数y=-2x-3的图象可由函数y=-2x的图象向下平移3个单位得到，所以函数y=-2x-3的图象是一条直线，图象经过点（0，-3），图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小.
师：很好，能进一步推广吗？
（这时沉默了一会儿，有少数几个同学在小声地说能）
师：谁来说说还可以如何推广？
生15：直线y=kx+b可由y=kx向上平移b个单位得到，所以函数y=kx+b的图象是一条直线，图象经过点（0，b），图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小.
师：嗯，这个推广很有价值，它实现了质的飞跃，实现了由特殊向一般的转变，大家再想一想这个推广有没有问题.图象一定经过第二、三、四象限吗？y随x的增大而减小吗？
生15：老师，我刚才的推广有问题，图象所经过的象限和增减性是随着k和b的符号的变化而变化的.
师：大家明白生15的意思了吗？
众生：明白了！
师：现在我们来想想随着k和b的符号的变化一共有几种情况呢？
众生：4种！
师：对吗？
众生：对！
（教者正准备肯定大家的结果，生15大声说不对，教者示意他发言）
生15：应为6种，因为b还可以等于0.
师：生15考虑问题真细致，老师都没想到，生15是对的.大家明白了吗？
众生：明白了！
师：下面老师来考考你们是真明白还是假明白，生16，老师请你到黑板上来画出y=2x+3图象的大致位置，并说出其性质.
（生16正确完成了教者的任务，生16在班级里排名37，全班55人）
要点揭示 “适时推广促生成”，有了前面深入探究，推广已有成果得出y=kx+b的图象及性质可以说是顺理成章，水到渠成.
师：好，刚才经过大家的共同努力，我们已经基本探索出了一次函数y=kx+b的图象及其性质，更重要的是我们掌握了一种研究一次函数y=kx+b的图象及其性质的方法.作为研究的完备性，下面我们还要来看一看对于函数y=-2x+3与y=-2x，当函数值相同时，它们的自变量的值有什么关系？（出示表格）

生17：当函数值相同时，y=-2x+3的自变量的值比y=-2x的自变量的值大32.
师：那意味着什么呢？
生17：是不是y=-2x+3的图象可由y=-2x向右平移得到.
师：说得对，y=-2x+3的图象确实可由y=-2x向右平移得到，下面我们看一下动画演示（课件演示左右平移），限于时间关系，左右平移时到底又有哪些规律性由同学们课后进行深入研究.
要点揭示 “系统研究寓长远”，很多时候我们急功近利，把大量的时间花在了巩固知识，训练技能上，很少从长远的角度，让学生从一个“研究者”的角度进行学习.是否可以这样说“形成性总结，我们需要形成的不仅仅是知识、技能，更需要形成的是学力”，教者本节课的设计为我们提供了一个好的示例.关于这一环节，我们是不是还可以让学生主动去发现图象的左右平移呢？事实上，当学生发现了y=kx的图象可以上下平移得到y=kx+b的图象时，作为已经学习了平移知识的他，会不会主动想到左右平移呢？在这里如果再给学生一个发现的机会，会不会更好？
（三）形成性巩固
师：下面，我们通过一个练习对今天所学的知识进行巩固.（出示练习）
已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.
（1）求k和b的值；
（2）探索y=kx+b的图象及性质.
（几分钟后大部分学生做完了，结果80%的同学会做，70%的人做对了）
师：做完了题，我们来思考一下，你能换一种方式来叙述本题吗？
生18：一条直线经过点（1，5）、（-1，1），求直线的解析式.
师：说得对，这样一改的话，在解题的过程中有区别吗？
生18：有区别，这样就要先设解析式为y=kx+b.
师：这就是我们本章经常要用上的代定系数法.
师：现在我们再来思考若已知条件只有一个“x=1时，y=5”，能否确定k和b的值？我们可以先从二元一次方程的解的角度来考虑.
生19：不能确定，因为这时只能得k+b=5，不能求出具体的值.
师：是求不了吗？
生19：哦，不是求不了，是定不了，因为这时有无数个解.
师：说得好，你能再从图形的角度来说说吗？
生19：因为过一点有无数条直线，所以不能确定k和b的值.
师：说得太好了，这样我们就实现了一次函数的待定系数法与直线的公理的统一.用待定系数法求解析式需要两个方程，才能确定两个未知数k和b的值，而在几何中，要确定一条直线也必须要有两个点，这就是数和形内在的一致性.
师：刚才生19所说的满足k+b=5的所有直线y=kx+b实际上形成了经过点（1，5）的直线系.（画示意图）
要点揭示 “引导反思揭本质”，一道课本小练习题在教者精心设计的解题反思中拓广了宽度，提升了高度，指向了数和形统一的本质.换一种叙述方式将待定系数法纳入其中；减弱条件，实现直线的公理和待定系数法之间“数与形”的无痕结合.所有这些深刻而难懂的知识，在教者引导学生进行的解后反思之中显得自然而然.
（四）自主小结
师：下面我们对本节课的学习过程进行一下小结.
生15：本节课我们通过对比正比例函数的图象及性质探索了一次函数的图象及性质.
生20：本节课我还学会了待定系数法.
生19：本节课我们还知道了一次函数的图象与直线的公理有关系.
师：刚才都说了收获，有什么疑惑没有？
众生：没有！
师：没有？说明我们还没有学到位，比如，图象左右平移的规律我们研究透了吗？限于时间关系，本节课我们就研究到这儿.下课！
要点揭示 “自主小结促提高”，引导学生进行自主小结，是提高学生学力的有效方法.在本节课中，学生尽管进行了一定的小结，但是层次还比较低，仅仅停留在描述层面.因此，如何引导学生从知识、学力等角度进行全面的、高质量的小结，收好最后的“口”是一个值得研究的问题.
3 结束语
总之，形成性总结要求教者在教学之前精心预设，使教学过程直指数学的本质，只有这样才能在新知形成的过程中将学生的思维引向深刻.当然如何将预设与生成“无痕”结合起来，实现形成性总结由方法向艺术的提升，仍是一个值得研究的话题，本文所总结出来的若干形成性总结方法未必完备，也未必正确，也未必上升到了艺术的高度，在某一节课中也未必能完全用上.仅以此文引起大家对形成性总结的关注！
参考文献
[1] 徐小建.浅谈中学数学学程总结技艺——兼谈以时间为序的学程总结[J].中国数学教育（初中版），2013.10：8-10.