叠合三角形的性质和应用

    陈素和

    

    叠合三角形，又称“A”字型，它的性质在八年级涉及的平面几何证明题中很实用.下面，我们来了解一下叠合三角形的性质和应用吧！

    性质

    如图1所示，由三角形内角和定理，可得图中存在一个不变的数量关系：∠ADE+∠AED=∠B+∠C.

    利用平行线同位角相等的关系，通过平移可证在图2、图3的情况下，这个性质也成立。

    下面举例说明这个性质的应用.

    侧，如图4，在△ABC中，已知∠A=∠ABC.直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F求证：∠F+∠FEC=2 ∠A.

    分析：很容易找到叠合三角形的模型.

    证明：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠F+∠FEC+∠C=180°.

    ∴∠F+∠FEC=∠A +∠ABC.

    又∵∠LA=∠ABC.

    ∴∠F+∠FEC=2∠A.

    例2 如图5.已知AD是△ABC的角平分线.过点B作BF⊥AD.交AD的延长线于点E.交AC的延长线于点F.求证：∠α+ ∠β=2∠F

    证明：∵∠α+∠β+∠BAC=180°，

    ∠ABE+∠F+∠BAC=180°.

    ∴∠α+∠β= ∠ABE+ ∠F.

    又AE既是△ABF的高，又是它的角平分線，

    ∴ △ABF为等腰三角形，∠ABE=∠F

    ∴∠α+ ∠β=2 ∠F

    例3 如图6.在△ABC中.AD为其角平分线.EF是AD的垂直平分线，E为垂足.EF