数学慢教育语境化思维图式教学实验研究
朱桂凤??
1实验背景
把神经心理学家鲁利亚的“二级转换理论”借用到数学慢教育课堂，根据事物之间相互作用的特殊性，可将学生的“问题解决”过程以基本框架形式表示出来：思维→一级转换→语境化思维图式→二级转换→表达.一级转换是将思考的内容转换成语境化思维图式；二级转换是将语境化思维图式转换为有序的表达.无论哪一级转换都离不开思维中介“语境化思维图式”.而语境化思维图式形成具有鲜明的“过程性”特征，是促进数学产生式系统形成的结构性相似经验，也是数学模型思想建立的事实根据.慢教育的本体特征就是“漫溯长篙”的过程性，因此在慢教育课堂开展“语境（context）化思维图式”数学教学实验研究意义重大，立意高远.2实验方法
（1）实验对象及内容
实验对象：选择江苏省连云港市新浦中学七年级两个平行班，A班作为实验班，B班作为控制班，这两个班均是由本人任教.为避免“霍桑效应”对实验效果的影响，在实验对象不知情的情况下进行.
实验内容：苏教版七年级《数学》上册“43用一元一次方程解决问题”的第2个课时.
（2）实验方法及过程
实验方法：对实验班进行“语境化思维图式”慢教育教学，时间1课时；对控制班常态执教，实验时间在同一天进行.设计两组课时目标检测题，作为前测和后测试题，每组试题反映“语境化思维图式”水平的三个层次，由低到高为C1类、C2类和C3类，分值分别为6分、8分和10分（统计分析时换算成100分）.测试时，由实验对象根据“个”思维现实，进行针对性选做.测试时间分别为5分钟，两组测试题内部一致性相关系数为060.前测在上课前5分钟进行，后测在课堂后5分钟进行.测试后，将所得数据用SPSS软件进行均值差异性t检验以及语言数据常态显示法.
实验过程：实验班教学的核心思想是给足“二级转换”建构时空，让学生经历语境思维图式形成的四个逻辑阶段：存在阶段→关联阶段→解释阶段→致用阶段（再语境化阶段）.
前测试题组：（C1类）小丽在元旦之前给好朋友寄了3封信和一些明信片，一共花了54元钱.已知每封信的邮费为08元，每张明信片的邮费为06元，他寄了多少张明信片？
（C2类）小丽在元旦之前给好朋友寄了3封信和4张明信片，付出10元，找回46元.已知每封信的邮费为08元，求1张明信片的邮费.
（C3类）小丽在元旦之前用54元给好朋友寄了信和明信片共6件.已知每封信的邮费为08元，求1张明信片的邮费.
设计意图模型是语境化思维图式的表现形式，是人们以一种熟悉的方式，凭借已有的知识结构，将文本抽象成具体意义的逻辑关系，为主体提供感知形式存入认知结构.三个问题均揭示方程模型3×0.8+Ax=5.4的意义，逻辑思维图式是“算术思想→代数思想→方程思想”，其变式结构由简单到复杂，反映因“才”施测、“学”“教”分层的慢教育人学课程观.C1类和C3类命题是为班级心理思维水平处于后30%和前30%的学生准备，而C2类则是为班级中间40%的学生提供检测实验载体，有利于量化阶层性思维图式水平的分布状况，为进一步比较实验研究提供实证性参照系数.
教学过程解析：
实验示例小丽在家得福超市用18元买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克32元，橘子每千克26元.小丽买了苹果和橘子各多少千克？
变式1：如果苹果和橘子的批发价格分别是每千克24元和每千克18元，则该超市从小丽手里赚了多少钱？
（1）试说明方程15-3.2x=2.2的实际意义；（2）依据表格信息，编一道有意义能反映一元一次方程应用的实际问题并求解.
实验过程首先让学生阅读题干，提炼问题有效信息，并填写表格（略）.“自阅读”是语境化思维图式实验的存在阶段，是视思维感知的原初图式思维，是语境图式关联的先行组织行为.其次让学生以“类思维组”为单位进行研讨交流，提炼语言文本内部关系即建立等量关系，显化问题本质.这种基于已有经验构成语境原始成分的意义、思想或事件及认识进行解构，经历思维的关联推理、猜测比较并筛选实际意义，是语境化思维图式的关联阶段.再次让学生以“班思维群”为参照图式，经历“不平衡→平衡→不平衡”优化建构心理图式的动态过程，落实语境化思维图式位移的解释阶段.在多种阐释、判断和选择中作出比较转换并提取，终归于“模型”思想.最后是让学生根据思维类型进行“双向元认知活动”，即将思考分析过程正向表达，在用符号表征过程中深化对命题本质的认识，落实命题思维图式再语境化阶段.模型逻辑思想的前两个阶段与语境思维图式的一级转换对应，后两个阶段与语境思维图式的二级转换内部关系一致.
在具体实验过程中，对研究载体的思维展开，渗透以下思想：一是映射思想.就是实验文本语境化思维水平与学生思维认知结构双向对应，即实验示例及其变式思维水平梯级攀升与实验对象前认知结构水平分层对应，反映思维图式“二级转换”的聚焦作用；二是补偿思想.内隐变式是语境思维补偿的有效手段，能促进“问题解决式系统”的定向形成；三是变量思想.就是变换方法多角度实验问题思维，借助语境化思维图式进行“二级转换”，可以从三个维度建构模型.维度一：设苹果买了x千克，则橘子买了（6-x）千克.可得32x+26（6-x）=18，终归于正确结论.维度二：设橘子买了x千克，则苹果买了（6-x）千克，建立语境思维图式（等量关系），进而获得解答方案.维度三：设小丽买苹果的总金额为x元，请利用表格（略）分析并求解.这种基于方法体系的实验思想，能助推学生前认知结构图式的结构化更新，促进模型思想的内化，实现语境思维图形式的“二级转换”目标.
设计意图实验载体及其变式思维逻辑关系分层上升，契合文本主体语境思维水平与实验对象客观模型意识水平的一致性，反映方程模型思想建立的现实性.实验主题揭示“Ax+By=C”的线性思想，主题变式从“纵向”和“横向”两个维度聚焦反映模型的开放向度与闭合向度的辩证视野，反映学科实验整体课程观.
后测试题组：（C1类）王大娘用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共45千克，已知番茄、豆角当天的批发价分别是24元/千克和32元/千克，这天王大娘批发了番茄和豆角各多少千克？
（C2类）王大娘用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共45千克，番茄、豆角当天的批发价、零售价如下表（见表2）：
（1）试说明方程12-3.6x=4.8的实际意义；（2）依据表格信息，编一道有意义能反映一元一次方程应用的实际问题并求解.
设计意图组试题思维关系水平序列上升，问题形式由闭合走向开放，思维图式由“多维”转向“线形”，使得线形方程模型思想初步形成.C1类和C2类源自加工教材练习的结果，具有一定的封闭倾向和类似经验图式，反映语境特征熟练技能形成的思维实验框架.C3类是对章末复习题“探索研究”栏问题的改编，属于控制指向性开放题.能够让学生在范式思维的指向下，在文本逻辑框架内，转换“一元一次方程”语境图式，给线形图式切入不同的实验视角，显化不同思维语境的应用式.本题块给学生提供自主探索一元一次方程本质的机会，旨在测量学生的模型应用水平.
纵观实验流程，不难发现语境思维图式的本体功能，在于对“事实知识结构——语境思维结构——客观认知结构”的动态转换.对“前后测试题+实验文本”研究的过程就是语境思维图式发挥作用的过程，语境思维图式优化的过程就是模型思想由“工具”理解到“关系”理解的过程，也是问题解决能力系统梯级跃迁的过程.3实验结果分析
（1）被试平行A班和B班的前测成绩（见表4和表5）.
由表4显示，平行A班均分为7856，平行B班均分为7879，B班成绩略高于A班.由表5中数据方差齐性检验，可以看出F=0012，Sig.值为0914﹥005，即显著性概率p﹥005，因此，结果是两组方差差异不显著.t检验结果，t=-0123，df=93，Sig.值为0903﹥005，即显著性概率p﹥005，说明两组均分无显著差异，本实验的分组是基本对等的.
（2）两个被试的平行班后测成绩（见表6和表7）
由表6显示，平行A班均分为8168，平行B班均分为7856，A班成绩略高于B班.由表7中数据方差齐性检验，可以看出F=2130，Sig.值为0148﹥005，即显著性概率p﹥005，因此，结果是两组方差差异不显著.t检验结果，t=2083，df=93，Sig.值为0040﹤005，即p﹤005，这说明在005水平上，A班与B班平均分差异显著.
（3）两个被试的平行班在为期一学年的实验中，前测、中测和后测成绩（见表8）.
由表8可以看出，基于语境思维图式教学，实验班（平行A班）成绩发生显著的变化，前测、中测和后测均分由7541→8102→8447，成绩呈线性上升趋势；非语境化思维图式教学干预的控制班（平行B班）成绩无太大变化，前测、中测和后测均分由7601→7490.→7223，成绩呈线性单调缓递减.
上述实验结果表明，无论是进行一节课或阶段性语境化思维图式教学实验，都能促进学生的数学认知理解.即在慢教育理念下，以“自阅读”为窗口，“慢过程”为阶梯，立足于内显变式，建立类思维组、班思维群等结构化思维平台，并以此干预实验对象的思维发展走向，就绪“个”思维图式的心理准备状态，能促进学习者思维行为的“二级转换”.因此，进行语境化思维图式教学实验有效果.同时，在实验期，就实验班检测成绩长期走势而言，整体呈单调递增形态，控制班成绩呈明显边缘递减形态，且二者之间差值呈直线上升走势.因此，基于在地“生情”实验语境化思维图式教学有后效，值得试点并区域性推进.4实验结论讨论
施测成绩显著变化归因如下：
一是语境化图式思维作为教学论，符合逻辑类结构变式思想.语境化图式思维的实质就是反复关联、调整、调用和更新“类似经验”，使得认知结构可辨性清晰并趋于良好.比如前后测试题组以及实验示例都围绕“线性”方程模型变式拓展，这种基于同一情境或类似情境变式展开问题的视野，能聚焦思维图式，有利于建模思维定向、定位形成，进而集中思维力量把握数学对象本质.
二是语境化思维图式作为认识论，契合认知规律过程性叠加思想.就认知心理学而言，数学认知过程包括感知觉、注意、表象、记忆、数学语言思维与意识等过程，这些“官能性”系统要素是在“阅读”意识支配下发挥作用的.主体学习过程就是以“自行阅读”为中介的语境思维图式反复转换并表征的过程.前后测题组的学习行为是以“内隐阅读”为表征的语境化思维意识，对实验示例的研究是以“外显阅读”为思维线索的表征意识，这些基于阅读而叠加表征的思维倾向属于意识范畴，为语境思维图式产生式系统更新增加赋值.
三是思维图式语境化作为方法论，融合建构思维的双向度元认知行为.知识建构是有层次的，双向元认知（反思）行为的发生有利于学生深层建构.“333思维组织形态”（3类前测题+3阶层实验示例+3类后测题）有利于思维图式语境化纵向衍生，横向关联.思维序列施测和实验行为本身就是元认知双向作用的结果，使得思维图式语境化行为动态更新，落实“变式概括”慢教育的思维过程观.另外，要关注“场依存性”和“场独立性”对语境化思维图式教学实验影响倾向.
参考文献
[1]恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1971：162.
[2]朱曼殊.心理语言学[M].上海：华东师范大学出版社，1990：76.
[3]朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育文献综述[J].江苏教育研究，2013（7A）：47-50.
[4]刘喆.新课程标准下广东地区初中数学开放题教学现状的调查研究[J].数学教育学报，2008，17（1）：63-66.
[5][德]RolfBiehler.数学教学理论是一门科学[M].唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1998∶286.
1实验背景
把神经心理学家鲁利亚的“二级转换理论”借用到数学慢教育课堂，根据事物之间相互作用的特殊性，可将学生的“问题解决”过程以基本框架形式表示出来：思维→一级转换→语境化思维图式→二级转换→表达.一级转换是将思考的内容转换成语境化思维图式；二级转换是将语境化思维图式转换为有序的表达.无论哪一级转换都离不开思维中介“语境化思维图式”.而语境化思维图式形成具有鲜明的“过程性”特征，是促进数学产生式系统形成的结构性相似经验，也是数学模型思想建立的事实根据.慢教育的本体特征就是“漫溯长篙”的过程性，因此在慢教育课堂开展“语境（context）化思维图式”数学教学实验研究意义重大，立意高远.2实验方法
（1）实验对象及内容
实验对象：选择江苏省连云港市新浦中学七年级两个平行班，A班作为实验班，B班作为控制班，这两个班均是由本人任教.为避免“霍桑效应”对实验效果的影响，在实验对象不知情的情况下进行.
实验内容：苏教版七年级《数学》上册“43用一元一次方程解决问题”的第2个课时.
（2）实验方法及过程
实验方法：对实验班进行“语境化思维图式”慢教育教学，时间1课时；对控制班常态执教，实验时间在同一天进行.设计两组课时目标检测题，作为前测和后测试题，每组试题反映“语境化思维图式”水平的三个层次，由低到高为C1类、C2类和C3类，分值分别为6分、8分和10分（统计分析时换算成100分）.测试时，由实验对象根据“个”思维现实，进行针对性选做.测试时间分别为5分钟，两组测试题内部一致性相关系数为060.前测在上课前5分钟进行，后测在课堂后5分钟进行.测试后，将所得数据用SPSS软件进行均值差异性t检验以及语言数据常态显示法.
实验过程：实验班教学的核心思想是给足“二级转换”建构时空，让学生经历语境思维图式形成的四个逻辑阶段：存在阶段→关联阶段→解释阶段→致用阶段（再语境化阶段）.
前测试题组：（C1类）小丽在元旦之前给好朋友寄了3封信和一些明信片，一共花了54元钱.已知每封信的邮费为08元，每张明信片的邮费为06元，他寄了多少张明信片？
（C2类）小丽在元旦之前给好朋友寄了3封信和4张明信片，付出10元，找回46元.已知每封信的邮费为08元，求1张明信片的邮费.
（C3类）小丽在元旦之前用54元给好朋友寄了信和明信片共6件.已知每封信的邮费为08元，求1张明信片的邮费.
设计意图模型是语境化思维图式的表现形式，是人们以一种熟悉的方式，凭借已有的知识结构，将文本抽象成具体意义的逻辑关系，为主体提供感知形式存入认知结构.三个问题均揭示方程模型3×0.8+Ax=5.4的意义，逻辑思维图式是“算术思想→代数思想→方程思想”，其变式结构由简单到复杂，反映因“才”施测、“学”“教”分层的慢教育人学课程观.C1类和C3类命题是为班级心理思维水平处于后30%和前30%的学生准备，而C2类则是为班级中间40%的学生提供检测实验载体，有利于量化阶层性思维图式水平的分布状况，为进一步比较实验研究提供实证性参照系数.
教学过程解析：
实验示例小丽在家得福超市用18元买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克32元，橘子每千克26元.小丽买了苹果和橘子各多少千克？
变式1：如果苹果和橘子的批发价格分别是每千克24元和每千克18元，则该超市从小丽手里赚了多少钱？
（1）试说明方程15-3.2x=2.2的实际意义；（2）依据表格信息，编一道有意义能反映一元一次方程应用的实际问题并求解.
实验过程首先让学生阅读题干，提炼问题有效信息，并填写表格（略）.“自阅读”是语境化思维图式实验的存在阶段，是视思维感知的原初图式思维，是语境图式关联的先行组织行为.其次让学生以“类思维组”为单位进行研讨交流，提炼语言文本内部关系即建立等量关系，显化问题本质.这种基于已有经验构成语境原始成分的意义、思想或事件及认识进行解构，经历思维的关联推理、猜测比较并筛选实际意义，是语境化思维图式的关联阶段.再次让学生以“班思维群”为参照图式，经历“不平衡→平衡→不平衡”优化建构心理图式的动态过程，落实语境化思维图式位移的解释阶段.在多种阐释、判断和选择中作出比较转换并提取，终归于“模型”思想.最后是让学生根据思维类型进行“双向元认知活动”，即将思考分析过程正向表达，在用符号表征过程中深化对命题本质的认识，落实命题思维图式再语境化阶段.模型逻辑思想的前两个阶段与语境思维图式的一级转换对应，后两个阶段与语境思维图式的二级转换内部关系一致.
在具体实验过程中，对研究载体的思维展开，渗透以下思想：一是映射思想.就是实验文本语境化思维水平与学生思维认知结构双向对应，即实验示例及其变式思维水平梯级攀升与实验对象前认知结构水平分层对应，反映思维图式“二级转换”的聚焦作用；二是补偿思想.内隐变式是语境思维补偿的有效手段，能促进“问题解决式系统”的定向形成；三是变量思想.就是变换方法多角度实验问题思维，借助语境化思维图式进行“二级转换”，可以从三个维度建构模型.维度一：设苹果买了x千克，则橘子买了（6-x）千克.可得32x+26（6-x）=18，终归于正确结论.维度二：设橘子买了x千克，则苹果买了（6-x）千克，建立语境思维图式（等量关系），进而获得解答方案.维度三：设小丽买苹果的总金额为x元，请利用表格（略）分析并求解.这种基于方法体系的实验思想，能助推学生前认知结构图式的结构化更新，促进模型思想的内化，实现语境思维图形式的“二级转换”目标.
设计意图实验载体及其变式思维逻辑关系分层上升，契合文本主体语境思维水平与实验对象客观模型意识水平的一致性，反映方程模型思想建立的现实性.实验主题揭示“Ax+By=C”的线性思想，主题变式从“纵向”和“横向”两个维度聚焦反映模型的开放向度与闭合向度的辩证视野，反映学科实验整体课程观.
后测试题组：（C1类）王大娘用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共45千克，已知番茄、豆角当天的批发价分别是24元/千克和32元/千克，这天王大娘批发了番茄和豆角各多少千克？
（C2类）王大娘用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共45千克，番茄、豆角当天的批发价、零售价如下表（见表2）：
（1）试说明方程12-3.6x=4.8的实际意义；（2）依据表格信息，编一道有意义能反映一元一次方程应用的实际问题并求解.
设计意图组试题思维关系水平序列上升，问题形式由闭合走向开放，思维图式由“多维”转向“线形”，使得线形方程模型思想初步形成.C1类和C2类源自加工教材练习的结果，具有一定的封闭倾向和类似经验图式，反映语境特征熟练技能形成的思维实验框架.C3类是对章末复习题“探索研究”栏问题的改编，属于控制指向性开放题.能够让学生在范式思维的指向下，在文本逻辑框架内，转换“一元一次方程”语境图式，给线形图式切入不同的实验视角，显化不同思维语境的应用式.本题块给学生提供自主探索一元一次方程本质的机会，旨在测量学生的模型应用水平.
纵观实验流程，不难发现语境思维图式的本体功能，在于对“事实知识结构——语境思维结构——客观认知结构”的动态转换.对“前后测试题+实验文本”研究的过程就是语境思维图式发挥作用的过程，语境思维图式优化的过程就是模型思想由“工具”理解到“关系”理解的过程，也是问题解决能力系统梯级跃迁的过程.3实验结果分析
（1）被试平行A班和B班的前测成绩（见表4和表5）.
由表4显示，平行A班均分为7856，平行B班均分为7879，B班成绩略高于A班.由表5中数据方差齐性检验，可以看出F=0012，Sig.值为0914﹥005，即显著性概率p﹥005，因此，结果是两组方差差异不显著.t检验结果，t=-0123，df=93，Sig.值为0903﹥005，即显著性概率p﹥005，说明两组均分无显著差异，本实验的分组是基本对等的.
（2）两个被试的平行班后测成绩（见表6和表7）
由表6显示，平行A班均分为8168，平行B班均分为7856，A班成绩略高于B班.由表7中数据方差齐性检验，可以看出F=2130，Sig.值为0148﹥005，即显著性概率p﹥005，因此，结果是两组方差差异不显著.t检验结果，t=2083，df=93，Sig.值为0040﹤005，即p﹤005，这说明在005水平上，A班与B班平均分差异显著.
（3）两个被试的平行班在为期一学年的实验中，前测、中测和后测成绩（见表8）.
由表8可以看出，基于语境思维图式教学，实验班（平行A班）成绩发生显著的变化，前测、中测和后测均分由7541→8102→8447，成绩呈线性上升趋势；非语境化思维图式教学干预的控制班（平行B班）成绩无太大变化，前测、中测和后测均分由7601→7490.→7223，成绩呈线性单调缓递减.
上述实验结果表明，无论是进行一节课或阶段性语境化思维图式教学实验，都能促进学生的数学认知理解.即在慢教育理念下，以“自阅读”为窗口，“慢过程”为阶梯，立足于内显变式，建立类思维组、班思维群等结构化思维平台，并以此干预实验对象的思维发展走向，就绪“个”思维图式的心理准备状态，能促进学习者思维行为的“二级转换”.因此，进行语境化思维图式教学实验有效果.同时，在实验期，就实验班检测成绩长期走势而言，整体呈单调递增形态，控制班成绩呈明显边缘递减形态，且二者之间差值呈直线上升走势.因此，基于在地“生情”实验语境化思维图式教学有后效，值得试点并区域性推进.4实验结论讨论
施测成绩显著变化归因如下：
一是语境化图式思维作为教学论，符合逻辑类结构变式思想.语境化图式思维的实质就是反复关联、调整、调用和更新“类似经验”，使得认知结构可辨性清晰并趋于良好.比如前后测试题组以及实验示例都围绕“线性”方程模型变式拓展，这种基于同一情境或类似情境变式展开问题的视野，能聚焦思维图式，有利于建模思维定向、定位形成，进而集中思维力量把握数学对象本质.
二是语境化思维图式作为认识论，契合认知规律过程性叠加思想.就认知心理学而言，数学认知过程包括感知觉、注意、表象、记忆、数学语言思维与意识等过程，这些“官能性”系统要素是在“阅读”意识支配下发挥作用的.主体学习过程就是以“自行阅读”为中介的语境思维图式反复转换并表征的过程.前后测题组的学习行为是以“内隐阅读”为表征的语境化思维意识，对实验示例的研究是以“外显阅读”为思维线索的表征意识，这些基于阅读而叠加表征的思维倾向属于意识范畴，为语境思维图式产生式系统更新增加赋值.
三是思维图式语境化作为方法论，融合建构思维的双向度元认知行为.知识建构是有层次的，双向元认知（反思）行为的发生有利于学生深层建构.“333思维组织形态”（3类前测题+3阶层实验示例+3类后测题）有利于思维图式语境化纵向衍生，横向关联.思维序列施测和实验行为本身就是元认知双向作用的结果，使得思维图式语境化行为动态更新，落实“变式概括”慢教育的思维过程观.另外，要关注“场依存性”和“场独立性”对语境化思维图式教学实验影响倾向.
参考文献
[1]恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1971：162.
[2]朱曼殊.心理语言学[M].上海：华东师范大学出版社，1990：76.
[3]朱桂凤，孙朝仁.数学慢教育文献综述[J].江苏教育研究，2013（7A）：47-50.
[4]刘喆.新课程标准下广东地区初中数学开放题教学现状的调查研究[J].数学教育学报，2008，17（1）：63-66.
[5][德]RolfBiehler.数学教学理论是一门科学[M].唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1998∶286.
