从“学生争议”开始的一堂探究课
笔者有一种习惯：在课前三分钟常把前一天学生在作业或考试中错误率较多的题目进行集体讲解，订正，然后再进入新课的教学.然而前不久的一次课前“三分钟”的教学任务却无法三分钟完成，让笔者足足花了一节课的时间.那是前一天笔者所在学校的中考模拟考试的一个填空题，据统计整个班级只有3～4人做出了正确答案，上课刚开始，由于学生对某同学的解法有争议，于是拉开了问题探究的序幕.
下面笔者把这堂课的探究过程呈现给大家，以求雅俗共享.
1原题再现
原题：
如图1，边长为1的正方形ABCD两顶点A，B在函数y=1x的图象上，在函数y=1x图象的外侧，双曲线y=kx恰好经过正方形的另两个顶点C、D，则k的值是.
2解法争议
教师先叫一同学介绍解法.
生1：如图2，过B作直线EB∥OX，过A作AE⊥EB于E，连接DB，设A（x0，y0）.
记得当时许多同学听了这种解法的介绍，都为之叫好.但不一会儿，又有同学提出疑问.
生2：在生1的解法中，他是默认了DB一定垂直于x轴，△AEB一定是等腰直角三角形.那为什么DB一定垂直于x轴，△AEB一定是等腰直角三角形呢？教室一片寂静，当时的我也被这犹如“炸弹”似的两个问题搞晕了.但我没有急于发表任何意见，只是把问题抛回给学生：那我们就一起来探讨一下吧？约过了5分钟.
生3：双曲线是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，这些图形均是轴对称图形，把三个图形看作一个整体，那么这个整体图形也是轴对称图形.由于双曲线的对称轴是直线y=x，即正方形ABCD一定关于直线y=x对称，所以题中的点E一定在直线y=x上，△AEB显然是等腰直角三角形.∠ABE=45°，又由于∠ABD=45°，可得∠DBE=90°，即DB⊥EB，DB⊥OX.因此，我认为生1的解法是对的.这时，教室里一片哗然，我也在积极思考生2的想法，一分钟后，许多同学把目光齐刷刷地投向了我，都极想听听我的看法.
此时我首先表态：生1、生2、生3能有如此想法实属不易.能大胆地假设，大胆地提出问题真的应该鼓励.我提议：我们报之以热烈的掌声.接着我抛出一个问题：生1、生3的想法很有创意，且得出的答案是对的，生2的怀疑也很有价值，值得我们思考.确实生1、生3的想法是基于正方形ABCD满足关于直线y=x对称的前提下得出的答案.这是充分挖掘双曲线、正方形的几何性质，利用几何直观，借用合情推理而得出的解题思路，这种思考问题的方法是数学上极为倡导的推理方式，但给人的感觉似乎缺乏了逻辑的严密性.比如，正方形ABCD的位置是否一定要满足其关于y=x对称呢？这一问题生3作了解释，我认为是可行的，但估计尚有部分同学抱着怀疑的态度.试想：如果正方形ABCD关于y=x不对称是否仍有同样的结果？如果这种情况可行，那就意味着还有其它答案，那答案是否仍为3呢？为很好解决这些问题，我们有必要对该题的解法作深入的探讨.
3多方论证
3.1几何画板动态论证
此时的教室再次陷入一片寂静，见同学们无反应，我建议用几何画板研究一下刚才的问题.我从电脑中调出几何画板，在同一直角坐标系中画出了y=1x和y=kx（k任取不为1的值），然后又画出边长为1的正方形ABCD，结果经几何画板动态演示只有一种情形，没有其它情形.我和同学们都很激动，客观上生1、生2的解法和答案是对的，这点应该毫无疑问.
此时，我再抛出问题：能否从逻辑推理的角度去论证正方形ABCD预先不知是关于直线y=x对称时，是否可行？
3.2一般性的解法
从一般性的情形入手，设参数的解法，演绎推理证明前面生1、生3的思路是正确的.
我们易得出AN=NB=BP=CP=CQ=DQ=MD=MA=22，即四边形MNPQ为正方形，且N、Q在直线y=x上，即可得出正方形ABCD关于y=x对轴.这就证明了满足条件的正方形ABCD的位置是唯一存在的，满足条件的正方形ABCD一定关于直线y=x对称.至此，从一般性的情形入手，通过设参数的方法说明生1、生2的想法是完全正确的，同学们看到这里，从他们的表情上流露出惊羡的面容，一个同学脱口而出，数学真神妙.
趁热打铁，我接着该同学的话说：“好戏还在后头呢！”
3.3反证法
弱化条件，当满足条件的正方形变为平行四边形，且AD、BC不与y=x平行，然后证明∠ABC≠90°，从而证明此时四边形ABCD不可能为正方形.
已知平行四边形ABCD中，A、B两点在y=1x上，C、D两点在y=kx上，AD、BC不与y=x平行，求证：平行四边形ABCD不可能是正方形.
综上所述，当a≠1，b1=-b2时，四边形ABCD是平行四边形，此时，由于A（-b2+b22+4a2a，b2+b22+4a2），由直线斜率公式得：kAB=b2-b12-b2+b12a=-a.由kBC·kAB=-a·a=-a2≠-1，这与假设相矛盾，故原假设不成立.
即可知：当a≠1时，BC不垂直于AB，四边形ABCD不可能为正方形，要使四边形ABCD为符合条件的正方形，必须满足a=1，这也就证明了满足条件的正方形ABCD必须关于直线y=x对称.
对于一些特殊的问题，从问题的反面入手，利用解析法严密地进行逻辑推理，得出矛盾，说明原假设不成立.这既说明前面合情推理的合情性，合理性，同时又为后面拓展提升打下了伏笔.
4拓展提升
接下来我再抛出问题：
（1）四顶点在y=1x，y=kx上的四边形何时为平行四边形？矩形？正方形？
下面逐一介绍：
①由前面的证明不难得到，当a≠1，b1与b2互为相反数，即a≠1，b1+b2=0时，四边形ABCD一定为平行四边形.
②当b1+b2=0，且a=1时，定是矩形.
③当b1+b2=0，a=1时，此时只要AB=BC，四边形ABCD为正方形.
由两点间距离公式得：
（b1-b22a）2+（b1-b22）2=（b21+4ak-b21+4a2a）2+（b21+4ak-b21+4a2）2，
（b1-b2）2（14a2+14）=（14a2+14）（b21+4ak-b21+4a）2，b1-b2=b21+4k-b21+4，最后化简得：2b1=b21+4k-b21+4，
即当b1=-b2，a=1，2b1=b21+4k-b21+4时，四边形ABCD为正方形.
改变结论，探究所需的条件，这是变式教学的一种方式，它有利于学生搞清数学内部的本质联系.
（2）将原题进一步推广.把题中的y=1x变为y=nx，其它条件不变，情况如何？
如图3，过A、C分别作y轴的平行线，过D、B分别作x轴的平行线，各平行线分别相交于M、N、P、Q四点.设A（a，na），B（b，nb），由条件易证：△ANB≌△BCP≌△DQC≌△MAD，得到AN=BP=CQ=MD，MA=NB=CP=DQ
可得：C（b+na-nb，nb+b-a），D（a+na-nb，na+b-a），把C、D两点坐标代入y=kx，得：
（b+na-nb）（nb+b-a）=（a+na-nb）（na+b-a）=k，展开上式并化简得：a2b2=n2，即ab=n.由勾股定理：AN2+NB2=1，得：（b-a）2+（nb-na）2=1，（b-a）2+n2（a-b）2a2b2=1，由ab=n，得（b-a）2+（a-b）2=1，（b-a）2=12，可得b-a=22，b=a+22，所以（a+22）a=1，由a>0，得出a=22，b=2，即可得出C（22n+2，22n+22），因此k=（22n+2）（22n+22）.
弱化条件，将问题向一般性情形转化，解题方法不变，体现了从特殊到一般、以及类比的数学思想.
当然，该题也可采用正方形关于y=x的轴对称性解析.
（3）把题中的y=1x变为y=k1x，y=kx变为y=k2x，正方形ABCD边长为1改为m，则k1、k2、m之间有什么必然联系？（限于篇幅该问题不展开讨论.）
5进一步的思考
通过此次探究活动，培养了学生勇于质疑、善于验证推理、多角度思考问题的能力，渗透了诸如反证、特殊到一般等数学思想，确立了学生是课堂教学的主体地位.教师在探究活动中明确了只有尊重学生的人格，给学生以思维的时间与空间，学生就能主动地思考，课堂上探究的问题才能顺应学生的思维，贴近学生的最近发展区.为进一步提升课堂探究的有效性，笔者提出以下思考：
（1）数学探究不需要专门设立课型，常规课也可以进行.数学探究无论从内容形式等都不应受到限制.其实数学探究是问题的探究，我们把发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程都可以理解为数学探究.像这堂课，笔者从学生对解决问题方法的争议入手，沿着学生的思维，不断地设问，设计了一系列的问题，使一节看似常规的一堂习题课，拥有了丰富的数学味，学生思维的热情、思维的高度得到了充分的演绎.
（2）数学课需要精心的预设，但更注重精彩的生成.要上好一堂课，必须备好一堂课，精彩的课堂需要精心的预设.但备好了课，并不等于上好课.因为作为课堂教学的主体学生是活生生的人，他们有着丰富的情感和活跃的思维，好多教学中的细节不可能都能预设的充分，有时甚至会出现与我们预设大相径庭的情形.这就需要教师在课堂上更注重学生的现场的课堂表现，注重课堂教学中的随机生成，需要发挥教师的教育机智，引导学生积极参与，积极思维，从而使我们的课堂成为学生自我展示、充满活力、激发创造力的课堂.
（3）注重演绎推理，也要注重合情推理.
《标准》指出：推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，一般包括合情推理和演绎推理.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论，两者的有机融合，才能实现对学生思维水平的提升.推理能力的形成不同于基础知识和基本技能的掌握，需要一个长期、缓慢的过程，这意味着，日常教学中，一方面，应重点引导学生通过操作、观察、实验等活动，对现象进行归纳或类比，通过图形的运动，观察图形运动过程中变与不变的关系，引导学生发现图形的性质，突出合情推理在分析、解决问题中的作用，培养学生的创新能力，彰显数学教育的创新价值；另一方面，帮助学生通过演绎推理，明确证明的意义和必要性.作为研究图形性质的有效方法和工具，合情推理与演绎推理相辅相成，有助于发展学生的思维能力.
作者简介范达江，男，浙江省江山市人，1969年12月生，中学高级教师，江山市教师进修学校校长助理，先后获得：衢州市第四届名师，衢州市第五届名师，衢州市“领雁”工程优秀指导教师，江山市第二届名师，江山市学科带头人.
下面笔者把这堂课的探究过程呈现给大家，以求雅俗共享.
1原题再现
原题：
如图1，边长为1的正方形ABCD两顶点A，B在函数y=1x的图象上，在函数y=1x图象的外侧，双曲线y=kx恰好经过正方形的另两个顶点C、D，则k的值是.
2解法争议
教师先叫一同学介绍解法.
生1：如图2，过B作直线EB∥OX，过A作AE⊥EB于E，连接DB，设A（x0，y0）.
记得当时许多同学听了这种解法的介绍，都为之叫好.但不一会儿，又有同学提出疑问.
生2：在生1的解法中，他是默认了DB一定垂直于x轴，△AEB一定是等腰直角三角形.那为什么DB一定垂直于x轴，△AEB一定是等腰直角三角形呢？教室一片寂静，当时的我也被这犹如“炸弹”似的两个问题搞晕了.但我没有急于发表任何意见，只是把问题抛回给学生：那我们就一起来探讨一下吧？约过了5分钟.
生3：双曲线是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，这些图形均是轴对称图形，把三个图形看作一个整体，那么这个整体图形也是轴对称图形.由于双曲线的对称轴是直线y=x，即正方形ABCD一定关于直线y=x对称，所以题中的点E一定在直线y=x上，△AEB显然是等腰直角三角形.∠ABE=45°，又由于∠ABD=45°，可得∠DBE=90°，即DB⊥EB，DB⊥OX.因此，我认为生1的解法是对的.这时，教室里一片哗然，我也在积极思考生2的想法，一分钟后，许多同学把目光齐刷刷地投向了我，都极想听听我的看法.
此时我首先表态：生1、生2、生3能有如此想法实属不易.能大胆地假设，大胆地提出问题真的应该鼓励.我提议：我们报之以热烈的掌声.接着我抛出一个问题：生1、生3的想法很有创意，且得出的答案是对的，生2的怀疑也很有价值，值得我们思考.确实生1、生3的想法是基于正方形ABCD满足关于直线y=x对称的前提下得出的答案.这是充分挖掘双曲线、正方形的几何性质，利用几何直观，借用合情推理而得出的解题思路，这种思考问题的方法是数学上极为倡导的推理方式，但给人的感觉似乎缺乏了逻辑的严密性.比如，正方形ABCD的位置是否一定要满足其关于y=x对称呢？这一问题生3作了解释，我认为是可行的，但估计尚有部分同学抱着怀疑的态度.试想：如果正方形ABCD关于y=x不对称是否仍有同样的结果？如果这种情况可行，那就意味着还有其它答案，那答案是否仍为3呢？为很好解决这些问题，我们有必要对该题的解法作深入的探讨.
3多方论证
3.1几何画板动态论证
此时的教室再次陷入一片寂静，见同学们无反应，我建议用几何画板研究一下刚才的问题.我从电脑中调出几何画板，在同一直角坐标系中画出了y=1x和y=kx（k任取不为1的值），然后又画出边长为1的正方形ABCD，结果经几何画板动态演示只有一种情形，没有其它情形.我和同学们都很激动，客观上生1、生2的解法和答案是对的，这点应该毫无疑问.
此时，我再抛出问题：能否从逻辑推理的角度去论证正方形ABCD预先不知是关于直线y=x对称时，是否可行？
3.2一般性的解法
从一般性的情形入手，设参数的解法，演绎推理证明前面生1、生3的思路是正确的.
我们易得出AN=NB=BP=CP=CQ=DQ=MD=MA=22，即四边形MNPQ为正方形，且N、Q在直线y=x上，即可得出正方形ABCD关于y=x对轴.这就证明了满足条件的正方形ABCD的位置是唯一存在的，满足条件的正方形ABCD一定关于直线y=x对称.至此，从一般性的情形入手，通过设参数的方法说明生1、生2的想法是完全正确的，同学们看到这里，从他们的表情上流露出惊羡的面容，一个同学脱口而出，数学真神妙.
趁热打铁，我接着该同学的话说：“好戏还在后头呢！”
3.3反证法
弱化条件，当满足条件的正方形变为平行四边形，且AD、BC不与y=x平行，然后证明∠ABC≠90°，从而证明此时四边形ABCD不可能为正方形.
已知平行四边形ABCD中，A、B两点在y=1x上，C、D两点在y=kx上，AD、BC不与y=x平行，求证：平行四边形ABCD不可能是正方形.
综上所述，当a≠1，b1=-b2时，四边形ABCD是平行四边形，此时，由于A（-b2+b22+4a2a，b2+b22+4a2），由直线斜率公式得：kAB=b2-b12-b2+b12a=-a.由kBC·kAB=-a·a=-a2≠-1，这与假设相矛盾，故原假设不成立.
即可知：当a≠1时，BC不垂直于AB，四边形ABCD不可能为正方形，要使四边形ABCD为符合条件的正方形，必须满足a=1，这也就证明了满足条件的正方形ABCD必须关于直线y=x对称.
对于一些特殊的问题，从问题的反面入手，利用解析法严密地进行逻辑推理，得出矛盾，说明原假设不成立.这既说明前面合情推理的合情性，合理性，同时又为后面拓展提升打下了伏笔.
4拓展提升
接下来我再抛出问题：
（1）四顶点在y=1x，y=kx上的四边形何时为平行四边形？矩形？正方形？
下面逐一介绍：
①由前面的证明不难得到，当a≠1，b1与b2互为相反数，即a≠1，b1+b2=0时，四边形ABCD一定为平行四边形.
②当b1+b2=0，且a=1时，定是矩形.
③当b1+b2=0，a=1时，此时只要AB=BC，四边形ABCD为正方形.
由两点间距离公式得：
（b1-b22a）2+（b1-b22）2=（b21+4ak-b21+4a2a）2+（b21+4ak-b21+4a2）2，
（b1-b2）2（14a2+14）=（14a2+14）（b21+4ak-b21+4a）2，b1-b2=b21+4k-b21+4，最后化简得：2b1=b21+4k-b21+4，
即当b1=-b2，a=1，2b1=b21+4k-b21+4时，四边形ABCD为正方形.
改变结论，探究所需的条件，这是变式教学的一种方式，它有利于学生搞清数学内部的本质联系.
（2）将原题进一步推广.把题中的y=1x变为y=nx，其它条件不变，情况如何？
如图3，过A、C分别作y轴的平行线，过D、B分别作x轴的平行线，各平行线分别相交于M、N、P、Q四点.设A（a，na），B（b，nb），由条件易证：△ANB≌△BCP≌△DQC≌△MAD，得到AN=BP=CQ=MD，MA=NB=CP=DQ
可得：C（b+na-nb，nb+b-a），D（a+na-nb，na+b-a），把C、D两点坐标代入y=kx，得：
（b+na-nb）（nb+b-a）=（a+na-nb）（na+b-a）=k，展开上式并化简得：a2b2=n2，即ab=n.由勾股定理：AN2+NB2=1，得：（b-a）2+（nb-na）2=1，（b-a）2+n2（a-b）2a2b2=1，由ab=n，得（b-a）2+（a-b）2=1，（b-a）2=12，可得b-a=22，b=a+22，所以（a+22）a=1，由a>0，得出a=22，b=2，即可得出C（22n+2，22n+22），因此k=（22n+2）（22n+22）.
弱化条件，将问题向一般性情形转化，解题方法不变，体现了从特殊到一般、以及类比的数学思想.
当然，该题也可采用正方形关于y=x的轴对称性解析.
（3）把题中的y=1x变为y=k1x，y=kx变为y=k2x，正方形ABCD边长为1改为m，则k1、k2、m之间有什么必然联系？（限于篇幅该问题不展开讨论.）
5进一步的思考
通过此次探究活动，培养了学生勇于质疑、善于验证推理、多角度思考问题的能力，渗透了诸如反证、特殊到一般等数学思想，确立了学生是课堂教学的主体地位.教师在探究活动中明确了只有尊重学生的人格，给学生以思维的时间与空间，学生就能主动地思考，课堂上探究的问题才能顺应学生的思维，贴近学生的最近发展区.为进一步提升课堂探究的有效性，笔者提出以下思考：
（1）数学探究不需要专门设立课型，常规课也可以进行.数学探究无论从内容形式等都不应受到限制.其实数学探究是问题的探究，我们把发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程都可以理解为数学探究.像这堂课，笔者从学生对解决问题方法的争议入手，沿着学生的思维，不断地设问，设计了一系列的问题，使一节看似常规的一堂习题课，拥有了丰富的数学味，学生思维的热情、思维的高度得到了充分的演绎.
（2）数学课需要精心的预设，但更注重精彩的生成.要上好一堂课，必须备好一堂课，精彩的课堂需要精心的预设.但备好了课，并不等于上好课.因为作为课堂教学的主体学生是活生生的人，他们有着丰富的情感和活跃的思维，好多教学中的细节不可能都能预设的充分，有时甚至会出现与我们预设大相径庭的情形.这就需要教师在课堂上更注重学生的现场的课堂表现，注重课堂教学中的随机生成，需要发挥教师的教育机智，引导学生积极参与，积极思维，从而使我们的课堂成为学生自我展示、充满活力、激发创造力的课堂.
（3）注重演绎推理，也要注重合情推理.
《标准》指出：推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，一般包括合情推理和演绎推理.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论，两者的有机融合，才能实现对学生思维水平的提升.推理能力的形成不同于基础知识和基本技能的掌握，需要一个长期、缓慢的过程，这意味着，日常教学中，一方面，应重点引导学生通过操作、观察、实验等活动，对现象进行归纳或类比，通过图形的运动，观察图形运动过程中变与不变的关系，引导学生发现图形的性质，突出合情推理在分析、解决问题中的作用，培养学生的创新能力，彰显数学教育的创新价值；另一方面，帮助学生通过演绎推理，明确证明的意义和必要性.作为研究图形性质的有效方法和工具，合情推理与演绎推理相辅相成，有助于发展学生的思维能力.
作者简介范达江，男，浙江省江山市人，1969年12月生，中学高级教师，江山市教师进修学校校长助理，先后获得：衢州市第四届名师，衢州市第五届名师，衢州市“领雁”工程优秀指导教师，江山市第二届名师，江山市学科带头人.
