斯特瓦特定理的纯几何证法

丁位卿
阿基米德(公元前287年—前212年),古希腊数学家与物理学家,被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”,深得欧几里德《几何原本》的精髓,他的许多数学和物理上的独特思想与发现,已远远超越了他所处的那个时代.
单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说:“据史料记载,斯特瓦特定理(以下简称斯氏定理),在公元前3世纪,由阿基米德首先发现并证明,1746年英国数学家斯特瓦特(Stewart)重新发现了它,可用来计算三角形中一些特殊线段的长(如中线、角平分线等).”阿基米德如何证明斯氏定理,成为一个千古之谜,不过,圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研,借助三角形外接圆,得到了如下的纯几何证法,供读者参考指正.
斯特瓦特定理 如图1,P为△ABC底边BC上任意一点,则
AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
证明 如图2,作△ABC的外接圆⊙O,P为底边BC边上一点,延长AP与⊙O交于D,连接BD、DC.不失一般性,设∠ABC>∠ACB,故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点,同样,过C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延长线)于F点.由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①
同理可证,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②
在⊙O与△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.
同理可证,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③
观察①、②、③式,为消去EP和PF,
故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,
AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因为AP·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗图3〖TS)〗
当∠ABC=∠ACB时,△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段,此时,EP=PF=0(E、P、F三点重合),③显然成立,其余证明完全相同.
需要说明的是:
(1)P为BC中点时,即BP=PC时,可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即为三角形中线公式.
(2)当AP为∠BAC的角平
分线时,由斯氏定理结合角平分线定理,可求出角平分线长度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即为另一著名的斯库顿定理(证明略),同时也揭示出两定理之间的神秘关系.
参考文献
[1] 单墫.数学名题词典[M].南京:江苏教育出版社,2002:350.
阿基米德(公元前287年—前212年),古希腊数学家与物理学家,被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”,深得欧几里德《几何原本》的精髓,他的许多数学和物理上的独特思想与发现,已远远超越了他所处的那个时代.
单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说:“据史料记载,斯特瓦特定理(以下简称斯氏定理),在公元前3世纪,由阿基米德首先发现并证明,1746年英国数学家斯特瓦特(Stewart)重新发现了它,可用来计算三角形中一些特殊线段的长(如中线、角平分线等).”阿基米德如何证明斯氏定理,成为一个千古之谜,不过,圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研,借助三角形外接圆,得到了如下的纯几何证法,供读者参考指正.
斯特瓦特定理 如图1,P为△ABC底边BC上任意一点,则
AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
证明 如图2,作△ABC的外接圆⊙O,P为底边BC边上一点,延长AP与⊙O交于D,连接BD、DC.不失一般性,设∠ABC>∠ACB,故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点,同样,过C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延长线)于F点.由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①
同理可证,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②
在⊙O与△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.
同理可证,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③
观察①、②、③式,为消去EP和PF,
故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,
AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因为AP·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗图3〖TS)〗
当∠ABC=∠ACB时,△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段,此时,EP=PF=0(E、P、F三点重合),③显然成立,其余证明完全相同.
需要说明的是:
(1)P为BC中点时,即BP=PC时,可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即为三角形中线公式.
(2)当AP为∠BAC的角平
分线时,由斯氏定理结合角平分线定理,可求出角平分线长度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即为另一著名的斯库顿定理(证明略),同时也揭示出两定理之间的神秘关系.
参考文献
[1] 单墫.数学名题词典[M].南京:江苏教育出版社,2002:350.
阿基米德(公元前287年—前212年),古希腊数学家与物理学家,被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”,深得欧几里德《几何原本》的精髓,他的许多数学和物理上的独特思想与发现,已远远超越了他所处的那个时代.
单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说:“据史料记载,斯特瓦特定理(以下简称斯氏定理),在公元前3世纪,由阿基米德首先发现并证明,1746年英国数学家斯特瓦特(Stewart)重新发现了它,可用来计算三角形中一些特殊线段的长(如中线、角平分线等).”阿基米德如何证明斯氏定理,成为一个千古之谜,不过,圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研,借助三角形外接圆,得到了如下的纯几何证法,供读者参考指正.
斯特瓦特定理 如图1,P为△ABC底边BC上任意一点,则
AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.
证明 如图2,作△ABC的外接圆⊙O,P为底边BC边上一点,延长AP与⊙O交于D,连接BD、DC.不失一般性,设∠ABC>∠ACB,故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点,同样,过C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延长线)于F点.由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①
同理可证,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②
在⊙O与△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.
同理可证,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③
观察①、②、③式,为消去EP和PF,
故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,
AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因为AP·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗图3〖TS)〗
当∠ABC=∠ACB时,△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段,此时,EP=PF=0(E、P、F三点重合),③显然成立,其余证明完全相同.
需要说明的是:
(1)P为BC中点时,即BP=PC时,可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即为三角形中线公式.
(2)当AP为∠BAC的角平
分线时,由斯氏定理结合角平分线定理,可求出角平分线长度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即为另一著名的斯库顿定理(证明略),同时也揭示出两定理之间的神秘关系.
参考文献
[1] 单墫.数学名题词典[M].南京:江苏教育出版社,2002:350.
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