一个有趣的三角形纸片问题

杨素慧
三角形是多边形中最简单的图形. 一个三角形纸片用剪刀可以剪成任意多个小的三角形纸片. 如果在一个三角形纸片上任意撒入n个点(这n个点中没有两个点重合,任何点也不在纸片的边界上),然后把这个三角形纸片任意剪成一些小的三角形纸片,使得每个小的三角形纸片的顶点是上述n个点或三角形纸片顶点中的某三个点,试问用剪刀最多能将这个三角形纸片剪成多少个小的三角形纸片?
ビ捎谌角形纸片上的点较多,用剪刀去剪方法也很多,因此剪掉的小三角形纸片的形状、大小千差万别,但不管怎样去剪,被剪掉的小三角形纸片的最大数目总是2n+1个. 下面我们给出这个结论证明.
ド枵飧鋈角形纸片的顶点分别为A,B,C,纸片上的点分别为D1,D2,…,Dn,又设剪掉的小三角形纸片的最大数目为m. 一方面,这m个小三角形纸片的内角总和为m×360°. 另一方面,这m个小三角形纸片共有3m个内角. 在这3m个内角中有一部分内角的顶点位于D1点处,这部分内角的和为360°;有一部分内角的顶点位于D2点处,这部分内角的和为360°;……有一部分内角的顶点位于Dn点处,这部分内角的和为360°;还有一部分内角的顶点位于三角形纸片的顶点A或B或C处,这部分内角的和显然为180°. 因此这m个小三角形纸片的内角总和又等于n×360°+180°,所以有n×360°+180°=m×180°,从而m=2n+1.
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