辅助线引法的类比激活策略
“类比就是相似比较.” 或者说类比就是类似比较.联想是一种既有目的又有方向的想象,是由当前感知或思考的问题想起其它事物的心理活动. 所谓类比联想是以类比为方法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略.
1 降低难度的类比
所谓降低难度的类比(又称简化类比)是根据“简单是真理的标志”和“以退求进” 的策略, 为了求证复杂的数学证明题, 而找与它有内在联系的简单类比题来证明, 把简单类比题钻深了, 看透了, 然后再去证明复杂问题就容易多了.
我们用类比联想的方法不但构造了简单类比联想题(这是合情推理的猜想),而且还用论证推理证明了它. 正如G?波利亚说:“在求解所提出问题的过程中,我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果,或者可能三者同时利用”.[1]
例1 如图1, 在直线l一旁有平行四边形ABCD, 且BE⊥l,AF⊥l,CH⊥l,DP⊥l,点E、F、G、H、P是垂足, 求证(1)EF=HP,EH=FP,(2) BE+AF+CH+DP=4OG.
ね1图2
证明(1) 由AB=DC推出EF=HP, 又由AD=BC推出EH=FP.这是由于相等的平行线段, 其射影也相等.
(2) 连结BD、AC相交于O点, 作OG⊥l,G为垂足. 因为根椐平移变换,OG既是梯形AFHC的中位线, 又是梯形BEPD的中位线, 所以
OG=12(BE+DP),OG=12(AF+CH)2OG=12(BE+DP+AF+CH),推出BE+AF+CH+DP=4OG.
例2 如图2, 从三角形的三顶点向形外一直线所引三垂线的和, 必等于重心向该直线所引垂线的3倍.
证明 一方面根椐重心的定义与性质，OE=13BE，可取OB之中点M，又根据平移变换的性质，AE=EC推出GP=PK，又由BM=MO=OE推出HN=NL=LP，EP与OL分别是直角梯形AGKC与MNPE的中位线，OL=12(MN+EP),EP=12(AG+CK)推出MN+EP=2OL2MN+2EP=4OL,但是2MN=BH+OL,2EP=AG+CK,AG+BH+CK+OL=4OL軦G+BH+CK=3OL.
例2到例1是一种类比猜想.
波兰数学家斯?巴拿赫说：“一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间的类似；如果能判明论证之间的类似，他就是一个优秀的数学家；可是，我认为还应当有这样的数学家，他能够洞察类似之间的类似.”
可以想象，从平行四边形到平面三角形, 再到平面线段, 是类比, 则有“线段中点到另一条直线的距离等于线段两端向该直线引垂线之距离和的2倍.”
从2倍到3倍再到4倍难道不是“类比猜想”到数学思维的“后证”的发现吗！？
在例2中若三角形外的直线过垂心, 又可探索出什么结论呢? 读者还可以看出“类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础,而且还有证明真理的方法论意义. ”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础,相似性的存在提供了类比的可能性,而差异性的存在又限制着类比的范围. 如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性,那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用;反之,如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性,那么就会陷入“不可知论”的泥坑.”[2]
2 结构类比
所谓结构类比是指新的条件与结论与已经掌握的定理(或公理) 的条件与结论极其相似, 将它们进行类比, 即这种将要探讨的问题与探讨所需定理之间进行的类比叫做结构类比.
2. 1 条件联想定理的结构类比
所谓条件联想定理的结构类比是从已知条件联想定理、公式, 通过由“由因导果” 的综合法找到证题途径, 从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.
ネ3
例3 如图3，已知⊙O的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足是E.求证:EA2+EB2+EC2+ED2=d2.
分析由于⊙O的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足是E, 联想起勾股定理, 由于DC与AB不在一个直角三角形中, 故必须添过圆心的直径AOF, 连结CF,BF.
EA2+BE2=AB2,ED2+EC2=DC2,CF∥BD軩C=BF,DC2=BF2軪A2+BE2+ED2+EC2=AB2+BF2=AF2，
所求证的结论成立.
2. 2 结论联想定理的结构类比
所谓结论联想定理的结构类比是从结论联想定理、公式, 通过由“执果索因” 的分析法找到证题途径, 从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.
例4 如图4，两圆外切于P，一直线交两圆于A、B、C、D四点，求证：∠APD+∠BPC=180°.
分析1 由结论联想到三角形的内角和定理，但是求证的两个角彼此重叠在一起，添过P点的公切线PQ可将角分解代换：∠APD=∠APB+∠BPQ+∠CPQ+∠CPD，∠QPB=∠A，∠QPC=∠D，这是弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，又由三角形外角定理有∠BCP=∠D+∠CPD，∠CBP=∠A+∠BPA，这表面上看是将角分散了，但是“分解与重新组合”，使求证：∠APD+∠BPC=180°的结论获得了新生:∠APD+∠BPC=∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°.
分析2 由结论联想△APD的内角和定理，作过P点的公切线PQ，∠BPC=∠BPQ+∠CPQ，∠BPQ=∠A，∠CPQ=∠D，最后得出∠APD+∠A+∠D=∠APD+∠BPC=180°.
ね4图5
例5 如图5，两圆相交于P，Q，一条外公切线切两圆于A，B，求证：∠APB+∠AQB=180°.
分析 求证的结论类比联想△QAB（或△PAB）的内角和定理, 用“分解与重新组合” 的方法, 用弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，读者可继续思考下去, 可激活此题, 这当然也是用两种方法都体现“类比激活策略”.
这两个证明题都用到三角形的内角和定理, 它们的每一道题均属结论联想定理的结构类比; 但是, 这两道题之间只是从两圆外切到两圆相交, 是形式类比.
2．3 条件与结论都联想定理的结构类比
ネ6
例6 如图6，在⊙O中,BA为直径,AD是切线,BD、BF是割线, 分别交⊙O于C和E, 求证:BE×BF=BC×BD.
分析 由求证联想到射影定理AB2=BE×BF,AB2=BC×BD,再由已知,BA为直径,AD是切线,BF是割线,在Rt△ABD与Rt△BAF中,可知射影定理满足条件, 得出BC×BD=BE×BF.
3 横向类比
所谓横向类比是指“被比较的对象的属性不处于明显的互相依存的状态。”
3. 1 形式类比
所谓形式类比是两个对象的关系相似或相同而引起的.形式类比又称为关系类比.
例7 如图8，是一个3×3的正方形,如图7，是一个2×2的正方形.
(1) 在图7中求∠4+∠5+∠7+∠8的度数?
(2) 在图8中求∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数?
分析 为求(2),用简单类比方法必需先求(1)的结果;反之,从(1)到(2)是普遍化的策略,这是对图形绝妙地观察,即利用对称性可得出简洁的解题策略.
ね7图8
解 (1):在图7中,沿对角线对折,上下图形完全重合,∠4+∠8=90°,∠5=∠7=45°荨4+∠5+∠7+∠8=180°.
(2)在图8中,沿对角线对折,左上边的图形与右下方的图形也重合,∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°荨1+∠2+∠3+…+∠9=3×90°+3×45°=405°.
ケ纠的(1)是为(2)铺垫的,不会解(2)时,可以退到(1),寻求方法. 正如华罗庚教授说:“要善于退,足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍. ”
3. 2 方法类比
所谓方法类比是借助于过去的经验、知识、技能、思想方法而进行类似比较的方法.
例8 如图9,已知B、C、E在同一条直线上,△ABC、△DCE 都是等边三角形, 且都在直线BCE的同侧,AE,DB分别交CD、AC于G、F, 求证: △GFC是等边三角形.
ね9图10
证明 若设AB=BC=AC=a,DC=CE=DE=b可用联系的设问①为什么FC∥DE?( 因为∠ACB=∠DEC=60°由同位角相等推出两直线平行. )②用什么定理可得FCb=aa+b(平行线截得比例线段定理. )③如何将FC用a,b来表示?(FC=aba+b)④CG也能用同样的表达式吗? 为什么?(因为CG∥AB軨Ga=ba+b軨G=aba+b)⑤用什么公理可将所得的两个表达式联系起来?( 等量公理. )⑥既然CG=aba+b=CF,用什么定理可得△CFG是等边三角形呢?( 顶角是60°的等腰三角形是等边三角形).
例9 如图10, 在△ABC中∠A=90°,以AB为直径作半圆, 过C作半圆的切线CT,T为切点, TD⊥AB交CB于M.求证:TM=MD.
证明 过B点作圆的切线交CT于F, 设CA=CT=a,FB=FT=b, AC∥TD∥FB軲Da=BDBA=FTFC=ba+b軲D=aba+b,同理MT=aba+b，所以MT=MD.
例 9与例8 的证明方法多么相似, 故为方法类比.
4 因果类比
所谓因果类比是两类事物在变化过程中, 由相似的原因“由因导果” 地推出相似的结果; 或者反之, 由相似的结果“执果索因” 地得出相似的原因的类比.
例10 在例7（2）中, 证明:∠1+∠2+∠3+∠6+∠9+∠8+∠7+∠4=360°.
可见例10与例7（2）是属于因果类比.
综上所述, 用类比的数学思想添辅助线或分析证题思路, 是沟通证题思路的行之有效的方法, 但要注意的是类比不等于证明, G?波利亚又说:“如果把这种猜测的似真性当作肯定性, 那将是愚蠢的, 但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”[3]这是用类比添辅助线的辩证评价.
げ慰嘉南
ぃ1］ G?波利亚著. 怎样解题［M］. 北京:科学出版社,1984：43.
ぃ2］ 傅世球. 中学数学教学的艺术［M］. 长沙:湖南教育出版社,1989. 5.
ぃ3］ G?波利亚著. 怎样解题［M］. 科学出版社,1982：43.
1 降低难度的类比
所谓降低难度的类比(又称简化类比)是根据“简单是真理的标志”和“以退求进” 的策略, 为了求证复杂的数学证明题, 而找与它有内在联系的简单类比题来证明, 把简单类比题钻深了, 看透了, 然后再去证明复杂问题就容易多了.
我们用类比联想的方法不但构造了简单类比联想题(这是合情推理的猜想),而且还用论证推理证明了它. 正如G?波利亚说:“在求解所提出问题的过程中,我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果,或者可能三者同时利用”.[1]
例1 如图1, 在直线l一旁有平行四边形ABCD, 且BE⊥l,AF⊥l,CH⊥l,DP⊥l,点E、F、G、H、P是垂足, 求证(1)EF=HP,EH=FP,(2) BE+AF+CH+DP=4OG.
ね1图2
证明(1) 由AB=DC推出EF=HP, 又由AD=BC推出EH=FP.这是由于相等的平行线段, 其射影也相等.
(2) 连结BD、AC相交于O点, 作OG⊥l,G为垂足. 因为根椐平移变换,OG既是梯形AFHC的中位线, 又是梯形BEPD的中位线, 所以
OG=12(BE+DP),OG=12(AF+CH)2OG=12(BE+DP+AF+CH),推出BE+AF+CH+DP=4OG.
例2 如图2, 从三角形的三顶点向形外一直线所引三垂线的和, 必等于重心向该直线所引垂线的3倍.
证明 一方面根椐重心的定义与性质，OE=13BE，可取OB之中点M，又根据平移变换的性质，AE=EC推出GP=PK，又由BM=MO=OE推出HN=NL=LP，EP与OL分别是直角梯形AGKC与MNPE的中位线，OL=12(MN+EP),EP=12(AG+CK)推出MN+EP=2OL2MN+2EP=4OL,但是2MN=BH+OL,2EP=AG+CK,AG+BH+CK+OL=4OL軦G+BH+CK=3OL.
例2到例1是一种类比猜想.
波兰数学家斯?巴拿赫说：“一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间的类似；如果能判明论证之间的类似，他就是一个优秀的数学家；可是，我认为还应当有这样的数学家，他能够洞察类似之间的类似.”
可以想象，从平行四边形到平面三角形, 再到平面线段, 是类比, 则有“线段中点到另一条直线的距离等于线段两端向该直线引垂线之距离和的2倍.”
从2倍到3倍再到4倍难道不是“类比猜想”到数学思维的“后证”的发现吗！？
在例2中若三角形外的直线过垂心, 又可探索出什么结论呢? 读者还可以看出“类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础,而且还有证明真理的方法论意义. ”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础,相似性的存在提供了类比的可能性,而差异性的存在又限制着类比的范围. 如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性,那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用;反之,如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性,那么就会陷入“不可知论”的泥坑.”[2]
2 结构类比
所谓结构类比是指新的条件与结论与已经掌握的定理(或公理) 的条件与结论极其相似, 将它们进行类比, 即这种将要探讨的问题与探讨所需定理之间进行的类比叫做结构类比.
2. 1 条件联想定理的结构类比
所谓条件联想定理的结构类比是从已知条件联想定理、公式, 通过由“由因导果” 的综合法找到证题途径, 从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.
ネ3
例3 如图3，已知⊙O的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足是E.求证:EA2+EB2+EC2+ED2=d2.
分析由于⊙O的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足是E, 联想起勾股定理, 由于DC与AB不在一个直角三角形中, 故必须添过圆心的直径AOF, 连结CF,BF.
EA2+BE2=AB2,ED2+EC2=DC2,CF∥BD軩C=BF,DC2=BF2軪A2+BE2+ED2+EC2=AB2+BF2=AF2，
所求证的结论成立.
2. 2 结论联想定理的结构类比
所谓结论联想定理的结构类比是从结论联想定理、公式, 通过由“执果索因” 的分析法找到证题途径, 从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.
例4 如图4，两圆外切于P，一直线交两圆于A、B、C、D四点，求证：∠APD+∠BPC=180°.
分析1 由结论联想到三角形的内角和定理，但是求证的两个角彼此重叠在一起，添过P点的公切线PQ可将角分解代换：∠APD=∠APB+∠BPQ+∠CPQ+∠CPD，∠QPB=∠A，∠QPC=∠D，这是弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，又由三角形外角定理有∠BCP=∠D+∠CPD，∠CBP=∠A+∠BPA，这表面上看是将角分散了，但是“分解与重新组合”，使求证：∠APD+∠BPC=180°的结论获得了新生:∠APD+∠BPC=∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°.
分析2 由结论联想△APD的内角和定理，作过P点的公切线PQ，∠BPC=∠BPQ+∠CPQ，∠BPQ=∠A，∠CPQ=∠D，最后得出∠APD+∠A+∠D=∠APD+∠BPC=180°.
ね4图5
例5 如图5，两圆相交于P，Q，一条外公切线切两圆于A，B，求证：∠APB+∠AQB=180°.
分析 求证的结论类比联想△QAB（或△PAB）的内角和定理, 用“分解与重新组合” 的方法, 用弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，读者可继续思考下去, 可激活此题, 这当然也是用两种方法都体现“类比激活策略”.
这两个证明题都用到三角形的内角和定理, 它们的每一道题均属结论联想定理的结构类比; 但是, 这两道题之间只是从两圆外切到两圆相交, 是形式类比.
2．3 条件与结论都联想定理的结构类比
ネ6
例6 如图6，在⊙O中,BA为直径,AD是切线,BD、BF是割线, 分别交⊙O于C和E, 求证:BE×BF=BC×BD.
分析 由求证联想到射影定理AB2=BE×BF,AB2=BC×BD,再由已知,BA为直径,AD是切线,BF是割线,在Rt△ABD与Rt△BAF中,可知射影定理满足条件, 得出BC×BD=BE×BF.
3 横向类比
所谓横向类比是指“被比较的对象的属性不处于明显的互相依存的状态。”
3. 1 形式类比
所谓形式类比是两个对象的关系相似或相同而引起的.形式类比又称为关系类比.
例7 如图8，是一个3×3的正方形,如图7，是一个2×2的正方形.
(1) 在图7中求∠4+∠5+∠7+∠8的度数?
(2) 在图8中求∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数?
分析 为求(2),用简单类比方法必需先求(1)的结果;反之,从(1)到(2)是普遍化的策略,这是对图形绝妙地观察,即利用对称性可得出简洁的解题策略.
ね7图8
解 (1):在图7中,沿对角线对折,上下图形完全重合,∠4+∠8=90°,∠5=∠7=45°荨4+∠5+∠7+∠8=180°.
(2)在图8中,沿对角线对折,左上边的图形与右下方的图形也重合,∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°荨1+∠2+∠3+…+∠9=3×90°+3×45°=405°.
ケ纠的(1)是为(2)铺垫的,不会解(2)时,可以退到(1),寻求方法. 正如华罗庚教授说:“要善于退,足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍. ”
3. 2 方法类比
所谓方法类比是借助于过去的经验、知识、技能、思想方法而进行类似比较的方法.
例8 如图9,已知B、C、E在同一条直线上,△ABC、△DCE 都是等边三角形, 且都在直线BCE的同侧,AE,DB分别交CD、AC于G、F, 求证: △GFC是等边三角形.
ね9图10
证明 若设AB=BC=AC=a,DC=CE=DE=b可用联系的设问①为什么FC∥DE?( 因为∠ACB=∠DEC=60°由同位角相等推出两直线平行. )②用什么定理可得FCb=aa+b(平行线截得比例线段定理. )③如何将FC用a,b来表示?(FC=aba+b)④CG也能用同样的表达式吗? 为什么?(因为CG∥AB軨Ga=ba+b軨G=aba+b)⑤用什么公理可将所得的两个表达式联系起来?( 等量公理. )⑥既然CG=aba+b=CF,用什么定理可得△CFG是等边三角形呢?( 顶角是60°的等腰三角形是等边三角形).
例9 如图10, 在△ABC中∠A=90°,以AB为直径作半圆, 过C作半圆的切线CT,T为切点, TD⊥AB交CB于M.求证:TM=MD.
证明 过B点作圆的切线交CT于F, 设CA=CT=a,FB=FT=b, AC∥TD∥FB軲Da=BDBA=FTFC=ba+b軲D=aba+b,同理MT=aba+b，所以MT=MD.
例 9与例8 的证明方法多么相似, 故为方法类比.
4 因果类比
所谓因果类比是两类事物在变化过程中, 由相似的原因“由因导果” 地推出相似的结果; 或者反之, 由相似的结果“执果索因” 地得出相似的原因的类比.
例10 在例7（2）中, 证明:∠1+∠2+∠3+∠6+∠9+∠8+∠7+∠4=360°.
可见例10与例7（2）是属于因果类比.
综上所述, 用类比的数学思想添辅助线或分析证题思路, 是沟通证题思路的行之有效的方法, 但要注意的是类比不等于证明, G?波利亚又说:“如果把这种猜测的似真性当作肯定性, 那将是愚蠢的, 但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”[3]这是用类比添辅助线的辩证评价.
げ慰嘉南
ぃ1］ G?波利亚著. 怎样解题［M］. 北京:科学出版社,1984：43.
ぃ2］ 傅世球. 中学数学教学的艺术［M］. 长沙:湖南教育出版社,1989. 5.
ぃ3］ G?波利亚著. 怎样解题［M］. 科学出版社,1982：43.
