有趣的点
钟建华
点，用笔在纸上轻轻地一点就成. 但，你可不能小瞧了这“小不点”，在几何上它是一种图形，作用大了去了，而且很有趣. 不信，你瞧：
1 点与三角形
例1 已知，等边△ABC，在其所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形；这样的点P，你可以找到多少个？ネ1
解析 如图1，不难找到等边△ABC内部的一点P1——三条对称轴的交点；
以点A为圆心，AB长为半径画弧，交△ABC的对称轴MN于P2、P3点；以点B为圆心，AB长为半径画弧，交MN于P4点；
所以，对称轴MN上共有4个点符合要求.
等边△ABC共有3条对称轴，每条对称轴上都有4个点符合要求，该有12个点符合要求；但△ABC内部的3个点重合，所以，共有10个符合要求的点P. 即△ABC内部有1点，外部有9个点.
ね2
例2 如图2，三条直线相交于A、B、C三点，今要在A、B、C三点所在的平面内求作一点P，使点P到三条直线的距离都相等；这样的点P，你可以找到多少个？
解析 作△ABC的两内角平分线，交点为P1，根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”可知点P1符合要求；
作△ABC的外角平分线，交点分别为P2、P3、P4，那么，点P2、P3、P4同样符合要求.
所以，符合要求的点共有4个——△ABC的内部有1个，外部有3个.
2 点与正方形
例3 已知正方形ABCD，求一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆为等腰三角形；请指出这样的点有几个？
ね3
解析 如图3，作出过AB、CD两边中点的对称轴MN. 以A点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P1、P2；以D点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P3、P4；正方形ABCD的中心为P5；所以，对称轴MN上共有5个点符合要求.
正方形ABCD中，像MN这样的对称轴有两条，共有10个点符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一个，即两条对称轴交于一点.
所以，共有9个符合要求的点P. 即使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆为等腰三角形的点P共有9个. ネ4
例4 如图4，电子屏幕上一点P沿着PA向前移动，当它与正方形ABCD的两个顶点一起构成等腰三角形时，点P就会放出光芒，并发出欢呼声，请你说出当点P从远处移来，直到点A处，点P会几次放出光芒，并发出欢呼声？
解析 6次. 当点P在AB的延长线上，BD=BP，AC=PC，AP=AC时，点P会发光；当点P分别在点B、点A及AB的中点时，也会发光.
所以，点P会6次放出光芒，并发出欢呼声.
亲爱的同学们，你知道这些都是为什么吗？请拿起你的笔练一练！
プ髡呒蚪椋褐咏ɑ，男，中学一级教师. 发表过十余篇教育论文.
点，用笔在纸上轻轻地一点就成. 但，你可不能小瞧了这“小不点”，在几何上它是一种图形，作用大了去了，而且很有趣. 不信，你瞧：
1 点与三角形
例1 已知，等边△ABC，在其所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形；这样的点P，你可以找到多少个？ネ1
解析 如图1，不难找到等边△ABC内部的一点P1——三条对称轴的交点；
以点A为圆心，AB长为半径画弧，交△ABC的对称轴MN于P2、P3点；以点B为圆心，AB长为半径画弧，交MN于P4点；
所以，对称轴MN上共有4个点符合要求.
等边△ABC共有3条对称轴，每条对称轴上都有4个点符合要求，该有12个点符合要求；但△ABC内部的3个点重合，所以，共有10个符合要求的点P. 即△ABC内部有1点，外部有9个点.
ね2
例2 如图2，三条直线相交于A、B、C三点，今要在A、B、C三点所在的平面内求作一点P，使点P到三条直线的距离都相等；这样的点P，你可以找到多少个？
解析 作△ABC的两内角平分线，交点为P1，根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”可知点P1符合要求；
作△ABC的外角平分线，交点分别为P2、P3、P4，那么，点P2、P3、P4同样符合要求.
所以，符合要求的点共有4个——△ABC的内部有1个，外部有3个.
2 点与正方形
例3 已知正方形ABCD，求一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆为等腰三角形；请指出这样的点有几个？
ね3
解析 如图3，作出过AB、CD两边中点的对称轴MN. 以A点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P1、P2；以D点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P3、P4；正方形ABCD的中心为P5；所以，对称轴MN上共有5个点符合要求.
正方形ABCD中，像MN这样的对称轴有两条，共有10个点符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一个，即两条对称轴交于一点.
所以，共有9个符合要求的点P. 即使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆为等腰三角形的点P共有9个. ネ4
例4 如图4，电子屏幕上一点P沿着PA向前移动，当它与正方形ABCD的两个顶点一起构成等腰三角形时，点P就会放出光芒，并发出欢呼声，请你说出当点P从远处移来，直到点A处，点P会几次放出光芒，并发出欢呼声？
解析 6次. 当点P在AB的延长线上，BD=BP，AC=PC，AP=AC时，点P会发光；当点P分别在点B、点A及AB的中点时，也会发光.
所以，点P会6次放出光芒，并发出欢呼声.
亲爱的同学们，你知道这些都是为什么吗？请拿起你的笔练一练！
プ髡呒蚪椋褐咏ɑ，男，中学一级教师. 发表过十余篇教育论文.
