用几何直观提高学生的学习能力
何晓玲
摘? 要 小学生的思维以具体形象思维为主，运用几何直观可帮助学生有效地将形象思维过渡到抽象逻辑思维，可以让学生调动各种感官，充分体验知识的形成过程，获得生动的表象，建立数学模型，并能熟练运用数学模型解决生活中的问题。
关键词 几何直观;课程标准;数学模型;学习能力;核心素养
中图分类号：G623.5? ? 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2020）01-0065-03
1 错题分析
五年级下册期末考试中有这样一道题目：
一个长方体，如果增高4 cm，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了96 cm2。原来的长方体的表面积是多少平方厘米？
这道题全班有14人做错，是整张试卷错误率最高的题目，错误率达到28.6%，错误类型有下面几种情况。
1）思路不清晰。一个学生的解答过程如下：
①96÷6=16（cm2）;
②16×16×6=1536（cm2）;
③（16×16+4×16+4×16）×2=768（cm2）;
④1536-768=768（cm2）。
在这个学生的解答中，可发现他的第一步算式是没有算理的。他把96当作一个正方体的表面积，除以6得出16，看作一个面的面积;但后面又将16当成正方体的棱长，也就是长方体的长与宽;第三步又把“增高4 cm”这个数据当作长方体的高。因此，整个思路非常混乱。
2）表面积公式不熟，数据用错。
错题一：
①96÷4=24（cm2）;
②24÷4=6（cm）;
③6-4=2（cm）;
④（6×6+6×6+6×2）×2=168（cm2）。
错题二：
①96÷4=24（cm2）;
②24÷4=6（cm）;
③6-4=2（cm）;
④（6×2+6×2+2×2）×2=56（cm2）。
在第一个学生的解答中，第一、二步的解答思路没问题，求出的“6”既是正方体的棱长，又是原来长方体的长和宽;第三步求出的“2”是原来长方体的高;但在第四步运用表面积计算公式时，没有想清楚原来长方体的长、宽、高分别是多少，正确的解答应是（6×6+6×2+6×2）×2=120（cm2）。第二个学生的解答也存在类似的错误。
3）没有解答完整。有一个学生的解答如下：
①96÷4=24（cm2）;
②24÷4=6（cm）;
③6-4=2（cm）。
从这个学生的解答中可以看出，他知道一些解答步骤，但求出这些结果后，不知这些结果能做什么，属于思路不清晰、解答不完整。
对以上分析进行反思：到底要教给学生怎样的学习能力？怎样提升学生的核心素养？笔者认为运用几何直观能很好地帮助教师解决这个困惑。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观是学生空间观念形成的基础。小学生的思维以具体形象思维为主，几何直观能力是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本数学素养。教师在教学中应充分运用几何直观使知识形成生动表象，形成概念，促进学生有效思维，提高学习能力，培养学生的数学学科核心素养。
2 借助实物操作，直观感受表面积变化规律
1）引导学生用两个或几个相同的正方体实物进行分与合，发现每合一次，表面积之和会减少两个面;每分开一次，表面积之和会增加两个面，如图1所示。
在这个基础上，教师可引导学生思考：如图2所示，一个正方体的棱长是a厘米，每增加一个正方体，表面积增加多少平方厘米？通过动手拼摆、计算，你有什么发现？
学生独立思考，动手操作，小组合作探究，交流讨论，展示不同的思路。
【生1】從图2a到图2b，表面积之和减少两个面，所以可以用6a2×2-2a2=10a2
【生2】可以先找出每幅图长方体的长、宽分别是多少。从这四幅图中可以看出，图2b的长是2a厘米，图2c的长是3a厘米，图2d的长是4a厘米;宽和高不变，都是a厘米。运用长方体的表面积公式计算，图2b的表面积是（2a×a+2a×a+a2）×2=10a2，同样计算方法可以算出图2c、图2d的表面积分别是14a2平方厘米，18a2平方厘米，每个图形都比前一个图形多了4a2平方厘米。
【生3】从图中可以看出，每个图形露出的正方形的个数是有规律的，不变的是左右两个面，变的是每次多了前、后、上、下四个小正方形，只要算出每个长方体是由几个这样的小正方形围成的，再乘每个正方形的面积，就可以算出表面积了。图2c有3×4+2=14个小正方形，长方体的表面积就是14a2平方厘米;如果是图2f，就有6×4+2=26个小正方形，长方体的表面积就是26a2平方厘米。
教师再抛出问题：如果是n个小正方体拼成的长方体，它的表面积是多少平方厘米呢？有了前面的基础，学生就能很快地推理出n个长方体表面积为（4n+2）a2平方厘米。
长方体或正方体的拼摆过程真正让学生动手去操作，通过摸、摆、拼、剪等具体行动，让学生感知表面积中的变与不变，通过操作、观察、分析等活动发现规律。这样才能实现学生主体真正的发展，教学才能真正有效落实。
2）将两个相同的长方体不同方向拼摆，找分与合表面积的变化。
拼一拼、说一说：如图3所示，将两个完全相同的长方体合在一起，表面积之和会发生什么变化？你发现了什么？
学生动手操作，独立思考，小组合作探究，交流讨论，发现有三种不同的拼摆方法，表面积减少是不同的：将最大的面合在一起，表面积减少的最多;将最小的面合在一起，表面积减少的最少。反过来，如果将一个长方体截成两个长方体，表面积增加最多的就是平行于最大的面切开，表面积增加最少的就是平行于最小的面切开。
3 用几何直观促知识的理解与内化
在教学五年级下册“长方体和正方体”这个单元的知识时，学生第一次接触立体图形，对空间的想象有很大的难度。因此，多让学生动手摸一摸、摆一摆、涂一涂、折一折，丰富学生的表象，多角度地观察与思考，找到解决问题的方法。在这个单元中，学生最不易掌握的就是长方体的表面积计算，因为根据生活实际情况，有求表面积有六个面，也有求五个面（无盖、粉刷教室等），还有可能求四个面（烟囱、饼干盒贴商标等）。在求长方体四个面（前后左右）的面积时，很多学生会用“长×高×2+宽×高×2”，或者用“（长×高+宽×高）×2”这两种方法。教师这时可让学生拿一个没有上、下底的纸盒沿高展开，发现展开图是一个大的长方形，这个长方形的面积就是前后、左右四个面的面积之和，如图4所示。
这个长方形的长就是长方体底面周长，宽就是长方体的高，所以这四个面的面积之和还可以通过“底面周长×高”计算出来，也说是用“（长+宽）×2×高”来计算四周的面积，在此基础上加上面的面积和下面的面积，就可以求出表面积。这样就将求长方体的表面积转化成求一个平面图形的面积。通过让学生动手剪一剪、摆一摆、比一比，学生掌握了多种求表面积的方法，并能结合直观图有理有据地说出自己的想法。
4 学会用画图方法帮助理清解题思路
除了动手操作充分感知，教师应引导学生学会用图来分析题意、理解题意、理清解题思路，能主动用图说事、用图分析、用图说理。学生的作图能力不是与生俱来的，他们需要教师正确的引导与示范，并进行学习与练习。教师可在学生大量观察各种各样的长方体、正方体实物或模型的基础上，提出问题：在观察长方体、正方体时，最多能看到几个面？
如图5所示，教师示范画出能看出三个面的长方体、正方体，先画正面（长方形或正方形），再画另两个面（平行四边形），并在合适的位置标上数据。让学生学着画，教师要鼓励学生，对画得好的学生及时表扬，展示其作品;对画得不够好的学生，应指出不足在哪里，并引导他重新画，直到画好为止。
学生在根据题意会画图的基础上，还要看懂图意，会分析、理解图意。如这道题：
一个长方体，如果增高4 cm，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了96 cm2。原来的长方体的表面积是多少平方厘米？
根据题目的描述“一个长方体，如果增高4 cm，就成为一个正方体”，作图时就可先画出一个正方体，然后标出增高的4 cm，这样就把正方体分割成两个长方体，如图6所示。从图6中可以看出，每个长方体都有两个相对的面是正方形，长和宽是相等的，前、后、左、右四个面的面积是相等的。
增高4 cm，表面积增加96 cm2，增加的面积在哪儿呢？这是本道题解题的关键。因此，画出图后会正确地看图，是每位学生必须掌握的本领。教师在引导学生观察图形之后，思考问题：增高之后，表面积增加在哪儿呢？学生经过思考、讨论、交流发现，表面积并没有增加六个面，因为两个长方体拼在一起后，中间两个面合在一起隐藏了，不能算表面积的一部分，这样下面这个长方体只剩前、后、左、右、下等五个面。如果要使下面一个长方体的表面积不变，就要将上面一个长方体的上面割补移到下面长方体的上面（抵消法），真正多出来的表面积只有上面长方体的前、后、左、右等四个面，如图7所示。
如图8所示，这道的解题思路是：
①先求每个面的面积（或展开图的底面周长）：96÷4=
24（cm2）;
②再求长方体的长或宽：24÷4=6（cm）;
③再求原来长方体的高：6-4=2（cm）;
④最后求原来长方体的表面積：
s=（ab+ah+bh）×2
=（6×6+6×2+6×2）×2
=120（cm2）
用几何直观画图理解有关“增高”引起表面积增加的问题，也可以解决“降高”引起表面积减少的问题。通过对比发现，不管是“增高”还是“降高”，表面积始终变的只有四个面的面积，都可以先找展开图的底面周长或者每个面的面积，这就是这道题的解题关键。这样就建立起数学模型，以后遇到类似的题目，都可以用这个数学模型去解决。
教师通过安排合理的操作环节，给学生提供更多亲自动手实践的机会，同时给学生提供了更大的思维空间。在动手操作过程中，学生就会把操作与思维联系起来。动手操作可以使学生对知识产生新的理解和看法，进一步理解和巩固知识，还能够在新的发现、新的感悟中碰撞出创新意识的火花。
5 结语
总之，几何直观能利用图形描述和分析问题，借助几何直观，让学生用摸、摆、拼、剪等动手操作形成生动、丰富的表象，把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观可以帮助学生理解抽象的数学知识，感知知识的形成过程;可以帮助学生建立数学模型，进而运用数学模型解决生活中的问题。“授之以鱼，不如授之以渔。”教师不但要善于使用几何直观进行教学，还应指导学生主动运用几何直观学习，用画图的方法分析题意、理解题意、理清解题思路，从而提高学生的学习能力，培养学生的核心素养。
参考文献
[1]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（7）：92-97.
