数形结合探讨两等量电荷的电场分布

    曹盼 王冬生 巩傅维

    

    

    

    摘? 要 利用易化物理软件绘制两个等量电荷电场的函数图像和矢量图像，采用数据探究法直观搜寻极值条件，引入三项均值不等式定量分析极值，启发学生思维，获得两个电荷电场分布的重要特征。

    关键词 电场分布;三项均值不等式;易化物理

    中图分类号：G633.7? ? 文献标识码：B

    文章编号：1671-489X（2020）01-0027-03

    1 前言

    两个等量点电荷的电场分布是高考考查的热点，巧妙结合了“数”的严谨和“形”的直观两种重要的分析方法。其中极值的确定是电场分布的一个难点，通过电场线能够直观判断电场的分布[1]，但想精确确定还得靠数学分析。利用导数法（微积分）求极值是一种常见的彻底解决问题的通用方法，现在的高二学生已经学过导数基础。和高等数学方法带来的快捷相比，初等数学方法的巧妙应用常能使人眼前一亮，对思维产生很大的冲击。

    在读邹兆贵的《小球重力瞬时功率取极值时相应位置的探讨》[2]一文时，对应用均值不等式的方法很是欣赏，其表达形式和同种电荷中垂线上的电场形式非常相似。按照参考文献“顺藤摸瓜”阅读相關文章，发现文章都把三项均值不等式当成自然的结论。或许是因为对两个数的均值不等式太熟悉了，以至于自然接受了三项均值不等式，用直觉代替了严谨。

    在读殷正徐的《应用GeoGebra软件深入研究一道高考物理题——等量同种点电荷连线中垂线上的场强研究》[3]时，体会到将函数曲线和矢量图结合起来的图解表征是一个很有创意的思路，能够有效促进复杂规律的认知。

    本文在直观的图像基础上，试图应用数据探究法和均值不等式系统探讨两个等量同种电荷、异种电荷在连线和中垂线两个方向上的电场分布规律，兼顾效率与严谨，启发思维。

    2 数学基础：三项均值不等式的证明

    启发式，从两项到三项? 两项均值不等式，

    a>0，b>0容易证明。如何从两项到三项？可先应用两次到四项：

    当a=b=c=d时取等号。然后把第四项d做一个替换，注意：等式的替换需要等量替换，不等式的替换只需符合条件（这里是非负数）。取，（1）式变为，化简得，当时取等号。

    硬算法，利用因式分解? 利用两项均值不等式不难证明：

    a2+b2+c2≥ab+bc+ca? ? ? ? ? ?（2）

    当a=b=c时取等号。采用作差法：

    （a+b+c）3-33abc=（a+b+c）[（a+b）2+2（a+b）c+c2]-27abc

    =（a+b+c）[a2+b2+c2-（ab+bc+ca）]+3（a+b+

    c）（ab+bc+ca）-27abc

    由（2）式可得：

    （a+b+c）3-33abc≥3（a+b+c）（ab+bc+ca）-27abc

    =3[a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）]-18abc

    ≥3（2abc+2bac+2cab）-18abc

    =0

    则，且当a=b=c时取等号。

    3 两等量异种电荷连线和中垂线上的电场

    等量异种电荷连线上的电场分布? 设两个点电荷距离为l=2d，取中点为坐标原点，左侧是正电荷，向右为正方向。则，。

    合场强要分段计算，，其中x≠±d。

    利用易化物理绘图，输入脚本[4]：

    拖动两个滑竿k和m，使q1和q2相等，如图1所示。

    可见，等量异种电荷连线上的电场呈左右对称分布，电荷两侧电场方向相同且越向外越小，越靠近场源电场越大，电荷连线之内电场方向相同且有极小值。极小值可利用两项均值不等式探究，合场强：

    由可得：

    当r1=r2=d时，即两点电荷连线的中点合场强最小。

    等量异种电荷中垂线上的电场分布? 为了有效地结合函数图像和矢量图像，将两点电荷竖直放置。由对称性可得合场强，其中。可见越远离场源，每个场源产生的电场越小;同时，θ越大，其余弦值越小，每个场源的竖直分电场贡献越小。综合两个因子，中垂线上离中心越远，合场强越小。如图2所示，拖动滑竿m（表示θ）可以看到离中心越远，辅助圆的半径越小，函数值越小，电场越小。

    4 两等量同种电荷连线和中垂线上的电场

    等量同种电荷连线上的电场分布? 设两电荷都带正电，取向右为正方向。则合场强，其中x≠±d，作出E-x图像，如图3所示。

    可见，等量同种电荷连线上的电场呈中心对称分布，电荷两侧电场方向相反且越向外越小，越靠近场源电场越大。电荷连线之内以中点为界，电场方向相反，且中点合场强为零（此时两电场大小相等方向相反）。

    两等量电荷连线上的电场，无论同种还是异种，都是越靠近场源电场越大，越远离场源电场越小;在电荷连线之内的区域中点，电场最小。

    等量同种电荷中垂线上的电场分布? 由对称性可得合场强，将代入有：

    在两电荷中点处，sinθ=sin0=0，E=0;沿着中垂线到无穷远，cosθ=cosπ/2=0，依然有E=0。随着θ的增大，正弦增大，余弦减小，合场强不会一直增大，而是先增大后减小，如图4所示。拖动滑竿m（表示θ），可以看到离中心越远，辅助圆的半径先增大后减小，函数值先增大后减小，电场先增大后减小。

    设置m，使最小增量为0.001 rad，先将滑竿快速定位在极大值附近，然后用方向键微调，寻找合场强E的大小，极值附近的数据见表1。由表1数据分析可知，极大值位置在θ=0.615和0.616之间。

    精确分析极大值位置，采用导数法操作性很强，有很多资料可以参考，这里就不重复了。采用初等方法探究，设f（θ）=sinθcos2θ。

    1）函数法。f（θ）=sinθ（1-sin2θ）=-sinθ（sinθ+1）（sinθ-1），

    这是关于sinθ的三次函数，有三个零点，即-1、0和+1，如图5所示。为了解函数的大致形状，可以采用“穿针引线”的方法，注意开始的负号，从右下方开始“穿针”。

    由于θ∈[0，π/2），即sinθ∈[0，1），且从0增到1，因此，f（θ）是先从0开始增大，然后减小到0（无穷远），之间只有一个极大值。

    2）基本不等式法。经验表明，乘积要有最大值，需要和为常数。三角函数的恒等式sin2θ+cos2θ=1提供了一个思考的方向。需要先给f（θ）=sinθcos2θ平方，才能出现sin2θ，

    此时f（θ）2=sin2θcos4θ;余弦成了四次方，改写成两个平方的乘积，即f（θ）2=sin2θcos2θcos2θ。现在不是两项的乘积，而是三项的乘积，利用“配常数”的方法有：

    当2sin2θ=cos2θ，即时，f（θ）取最大值，E也取最大值。此时，，代入（4）式得。

    5 结语

    在定量分析两个等量点电荷产生的电场分布时，选择连线上和中垂线上两个典型的方向，先利用易化物理软件绘制合场强的函数图像和矢量图像，获得一种直观的整体的认识，然后通过数据探究极值条件，最后利用均值不等式进行探讨，获得两个点电荷电场分布的重要特征。

    参考文献

    [1]曹盼.利用运动模拟绘制点电荷的电场线和等势线[J].物理通报，2014（11）：93-95.

    [2]邹兆贵.小球重力瞬时功率取极值时相应位置的探讨[J].物理教师，2018，39（12）：72-75.

    [3]殷正徐.应用GeoGebra软件深入研究一道高考物理题：等量同种点电荷连线中垂线上的场强研究[J].物理之友，

    2017，33（8）：47-49.

    [4]曹盼.高中物理虚拟学习平台易化物理开发与应用研究[D].陕西：延安大学，2019.