条件关联追本源 思维流淌显本质

    罗静 何贻勇

    [摘? 要] 在解一个数学问题时，教师一般都会引导学生找显性条件和隐含条件，并做出一系列的思维反应训练活动，从条件出发将思维的触角发散开来，进行一系列的大胆尝试与猜想，找到与已学知识的关联，即追寻问题的本源，将思考痕迹中的思维流淌出来，方显问题的本质.

    [关键词] 条件关联;思维;思维流;数学本质

    一道题的所有条件中，最重要、最关键的那（几）个条件就是我们解决问题的思维流的源泉，也是我们平时说的“题眼”，一道题的题眼也许就是一个蕴含数学含义的字、词，一个具有特殊含义的符号，一个隐藏数学道理的结构式等，而解决一个数学问题的切入点或者突破口恰好就是题眼. 在此基础上，直觉思维、联想思维应运而生. 直观感觉、发散联想都很重要，它们是开启解题思路的“金钥匙”，直观感知和联想点有没有起作用，得以严谨的数学推理和演算来证明.

    案例呈现

    案例 如图1，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，连接BE，CF，它们相交于一点P，求证：AP=AB.

    读：首先容易分析出△BCE≌△DCF，即可得出∠CBE=∠DCF，从而BE⊥CF. 这是本题中涉及线段AP的一个重要特征，在后面的图形中均已标出.

    想：如何证明两条线段相等的基本思考点是：①证等腰（基本图形）;②证全等;③构造全等;④转化再证相等（转化边、角）.

    联想一：全等三角形构造

    这道题的最初想法是构造全等三角形，如图2所示，证△ABF≌△APG即可，或者如圖3所示，证△AQB≌△AFP，而图4、图5都是由线段在几何位置上的对称性来构造全等，既可以向内构造，又可以向外构造，请读者自行画图. 图6证△ABM≌△APM.

    联想二：构造基本几何图形

    如图7所示，连接BF，构造等腰三角形ABP;如图8所示巧作中垂线，取BC的中点M，连接AM，证AM是BP的中垂线即可.证明线段相等除了构造全等，也应考虑构造所学习的基本几何图形（模型），如中垂线、角平分线、特殊三角形、特殊四边形等，将分散孤立的几何元素集中在基本图形中，利用它们的关联解决问题.

    联想三：直接计算的方法

    除了上述过程中涉及几何图形局部的特点以外，还应有利用几何整体观来解几何题. 由正方形的图形特点，可以考虑建立平面直角坐标系，利用解析式几何法求解证明. 设正方形的边长为2，记为∠CPB=θ，利用余弦定理公式法直接计算AP=2;如图9所示，仍然设正方形的边长为2，利用勾股定理直接计算出AP=2亦可.

    简评 上述思路方法中涉及的构造是学生学习几何基本知识、基本技能、基本思想中所积累的基本活动经验，此学习过程非常重要. 只有在这样的直接经验和间接经验的基础上，才容易联想到构造几何图形来突破线段相等证明问题. 往往要求学生要具有较强的分析能力、数学表达能力，只有这样，才能做到解答过程思路清晰、条理清楚、结构紧凑、过程简洁. 推理过程不再赘述.

    教学说明 上述方法中的构造全等三角形，实无定法，但都有着一般性的心得体会和基本学习经验！一是抓住关键因素的特征，尽量发挥题设的特点，关联已经学过的基本知识和技能，批注出它的二级结论;二是当题目的条件、结论过于分散或孤立时，把条件和结论之间的点、线“集中”起来，集中到一个基本的几何图形中，共同发挥较大的作用，为解题服务.在这个思维场中，当经验不足以克服困难时，迅速捕捉到可行的解决方法（方案）体现出了思维流活动的轨迹全过程（如：平行思维流轨迹、周围扩散思维流轨迹、广角投射思维流轨迹等），教学中应当有意识地构建学生解题过程的整体观.

    上述思维过程中，一般都有这样三个方面的思维活动经验，第一，对数学核心知识结构的理解要更加深入，利用数学基本知识之间的联系寻找关联解题，像这样围绕在基本知识周围，从横向、纵向罗列出有关的二级结论，甚至三级结论，并将它们放进大脑里迅速进行排序，其基本知识面的范围半径越宽，思路就越开阔，思维过程就越明朗. 第二，条件和结论之间的关联，问题与类似问题之间的关联，知识与类似知识之间的关联，都会促使解题者产生丰富的联想活动，捕捉到思考数学问题和解决数学问题的最初想法，并形成最后成熟的想法. 第三，从数学问题的表征形式、呈现形式出发，利用数学方法正确表征问题本质，正确拆分目标任务（模块），由此开启了一系列解题思维流活动.

    教学启示

    1. 掌握基础知识，重视知识之间的关联点

    学生面对一个数学问题所涉及的基本知识点时，最初的想法是什么？往往会利用联想思维、自己的基本活动经验开始一系列的思考. 最初的心理状态又是怎样的？从刚开始比较茫然的状态到有章法可寻，在思考的后半段时间里内心是比较踏实的. 因此，深入理解数学每一个分类下的基本概念的内涵和外延以及主体知识结构的逻辑关系，是基本活动经验积累与再积累的一个前提，理解知识板块之间的数学本质联系是基本活动经验的创造与再创造的关键. 这就要求在教学中要特别注意引导学生对数学问题所涉及的基本知识的来龙去脉、逻辑关系、数学基本知识体系进行熟练掌握，并强化训练由知识点联想到解题突破口和切入点的思维过程. 比如，在一元一次方程的应用中解行程问题时，利用行程问题中速度、时间、路程等基本数量关系（基本事实），利用它们是“同等地位”的题干已知条件，寻找思路进行一题多解，这样的数学思维轨迹是平行的，体现了数学思维的对称性.

    2. 理解基本解法，构建解题方法模块框架

    在解探究图形变化规律问题时，我们通常从两个角度出发：一个是从几个特殊图形所对的数和序号出发，找相邻两个图形所对的数之间的变化量与位置序号有怎样的关系;另一个是从图形的角度出发，观察图形的分布特征，变化趋势，从中发现规律，并以此类推，得到图形的规律，需要运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳出增加或减少的变化规律，并用含有n的代数式表示出来. 需要注意的是用局部的一两个图形之间的规律代替一般规律，以及忽视第一个图形的规律都是常见错误之一，这中间所涉及的数学基本思想方法是数形结合、逻辑推理、直观想象、分解化归，几何代数化、代数几何化等.

    开展对学生的解题反思研究，学生在有了一定的方法和经验并不断探索其他的方法时，虽然大多数探索的方法大同小异，但也经常会有意外的惊喜收获，因此指导学生解题后反思非常重要.学生的学习反思有以下几个层次：一是反思自己的解题过程是否正确，是否为通性通解法，是否忽略隐含条件，是否主观臆断，是否用特殊代替了一般情况，是否无故增设已知条件，逻辑是否有问题等等. 二是反思过程与方法的优劣，是否有其他的更优的方法，对于同一道题从不同的角度去思考，会得到不同的启发和认识，从而能得出更多的解题方法，体会出方法之间的优劣，有了方法的比较，学生思维的触角才能伸向不同方向、不同层次、不同高度，才能更好地发展发散思维能力.三是反思过程与方法的运用范围，还可以类比地学习哪些方面的知识，解决哪些问题，由此培养一种迁移能力，这样不只是举一反三，还能达到触类旁通，甚至是融会贯通.教师如果长期坚持这样的学法辅导教学，学生就会形成一定的思维方法，更加能上升到用数学思想解题，也会积累到许多数学基本活动经验 [1]. 学生自己形成的解题方法模块的再训练是非常重要的，只有这样，学生的思维才能得到巩固和发展，才真正意义上有了一定程度上的思维习惯和应试素质.

    3. 开阔思维视野，形成解题基本思想体系

    以转化思想为例，波利亚的数学解题观是“解题就是转化问题”，将原问题转化为已经解决（能解决）的问题，就是问题的条件的推理步骤序列的集合，把整个题的条件与结论串接起来的各个步骤所组成的序列就是解题过程. 教学时，应引导学生经历观察、联想、转化的基本学习过程，将上述问题转化的关键因素一一排列出来，找出问题本质即可迎刃而解. 比如：二次函数中的面积最值问题的转化过程中由几何问题代数化（利用函数思想求最值）和代数问题几何化（利用几何图形直观理解）相结合来解决问题是我们常用到的基本活动经验. 还可以适当地再积累基本活动经验，如上述面积最值问题的解题过程中的结论呈现出来，即点E的横坐标为直线与二次函数的交点横坐标和的一半时，面积取最大值. 甚至适当地拓展到不是直线与二次函数两交点有关的三角形面积最值问题， 将问题继续向上述问题转化. 比如：在二次函数中求面积最值问题、周长最值问题、特殊线段最值问题、距离问题时，都可以转化为求“铅垂高”的最值，无论是直接法、切线法、割补法，还是化斜为直，都是利用转化思想将问题不断联想转化，直至转化到最根本的问题上来，转化到熟悉易解的简单问题上来.

    教学建议

    解题教学活动中学习场[2] 的营造，應凸显出解题训练中思维场营造. 解题过程主要是深化巩固数学知识与方法，训练数学思维与能力. 解题过程中思维规律主要还是“思维定式”或“经验优先”，经验起着至关重要的作用，比如学生面对一个数学问题，根据题目“环境”判断思考的路径，凭直觉思维、经验选择最优解题方法，凭扎实基本功和丰富的经验判断一个结果是否正确等. 因此，解题教学活动重点解决的三个方面的问题：一是解决“怎么想”的问题，即解题思路和计划是如何想出来的？二是解决“怎样做最好”的问题，即执行解题计划时应该注意哪些因素？三是解决“反思、点拨”的基本经验积累问题，即从技巧到方法的提炼，力求透过解法看本质，达到举一反三，触类旁通，进而达到从方法上升到思想以至融会贯通[3] .

    读一读、想一想、算一算、推一推、理一理、写一写等过程是学生获得思维发展的有力保障. 因此，解题的一般步骤主要是读、想、理（算）、写，即读懂题意主要是标注已知条件和基本事实，批注二级结论，挖掘题设中的隐含条件;想出解题方法与思路，明确已知与未知的数学联系，这样才能准确理解数学问题，并形成证题思路;理就是在读和想的基础上，选择易于表达的证题方法，并尝试写出关键的式子;写就是用尽可能简洁、简练、准确的规范语言，将证明中涉及的等量代换方程思想、逻辑推理等书面表达出来. 这样能更好地将数学抽象（读：捕捉数学信息，是一个从数学外部到数学内部的过程），逻辑推理（想：推导数学结论，从一个数学结论到另一个数学结论的过程），数学建模（写：寻找基本图形、几何模型，从一个数学问题到另一个数学问题的过程），数学运算（算：边角等量代换），直观想象，数据分析（理：角度、边长所暗示的几何知识）在解题过程中得以落地.

    教会学生解题和教会学生会解题是两码事，是授人以鱼和授人以渔的区别，特别要将探寻一题多解的思考过程展现给学生，寻找方法的方法传授给学生，使学生学习能力真正得到提高. 这样既要求学生储备基本知识与技能，又要求学生将原有的基本活动经验作为新的基本活动经验的积累与再积累、创造与再创造，使这样的过程不断延续下去.

    在教学中，对学生解题能力的培养与落地生根的思考，一是注重选例的典型性，让学生经历简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析、反思提炼的训练过程，从而获得尝试、体验、领会、悟道的基本活动经验;二是注重挖掘多角度思考的课本习题;三是注重对教材习题的数学本质的引申与拓展;四是注重对学生思维品质培养的引导;五是注重对学生思维痕迹的总结提炼.

    综上所述，我们应从各个方面做好充分的教学准备，更好地追寻问题本源，将思考痕迹中的思维流淌出来，以此揭露出数学问题本质.

    参考文献：

    [1] 何贻勇. 初中数学课堂教学高效性的实践与思考[J]. 数学教学通讯，2019（2）.

    [2] 黄仁寿. 学习场的诱惑——发展高中数学核心素养的思考和实践[M]. 湖南：湖南教育出版社，2018.

    [3] 彭林，刘杰. 中代数一题多解[M]. 上海：上海教育出版社，2018.