关于一道物理奥赛试题的学习及思考

    杨思锋

    

    

    摘要：物理奥林匹克竞赛是一项非常专业的物理学习和研究活动，深受广大高中理科学生的欢迎。它已经成为中学物理课程学习中有益的补充。本文通过对一道竞赛试题的解析，说明物理学习与实际生产、生活的关系。

    关键词：物理奥林匹克竞赛;试题分析

    每年物理奥赛的复赛试题都是由国内几个一流高校的教师命制的。试题基本是他们科研工作的另一种形式的呈现，既有科学理论的探索，也有科学实验结果的反映，其特点就是理论和实际相结合。与其他物理题相比（如高考试题、学业水平考试试题、教材上的习题等），它们更接近运用物理学的知识解决实际的问题——这是物理学习目的的重要方面。

    2019年的全国复赛试题，在联系实际方面表现得更为合理，对高中物理课堂教学具有很好地启示作用。下面举一例进行说明。

    如图a，旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳（可视为刚性结构），三个相同凳脚的端点连线（均水平）构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点，半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为m（远小于凳子质量），其中杯底质量为m5（杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的），杯高为H（与杯高相比，杯底厚度可忽略）。杯中盛有茶水，茶水密度为ρ。重力加速度为g。

    （1）為了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少？

    （2）现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止（凳面边有小凸缘，防止物体滑出;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的），且OD⊥AC（见图b），求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前（该茶水杯位于凳面中心处）的改变。

    我们可以从以下几方面对该试题进行学习和体会。

    一、用物理知识解决实际问题的第一步，是建构知识模型。

    由于中学生的知识水平状况，试题明确了几个模型：（1）三脚圆凳——刚体（即结构，包括形状不发生变化）;（2）薄壁茶杯——不考虑茶杯的侧壁厚度，即认为杯壁的半径为r不变;（3）茶杯质量远小于凳子质量——保证凳子不翻到（车底板对三个脚的支持力大于零）;（4）杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的——可以用一般的几何知识进行计算（避免微积分等过于细致、复杂的运算）。

    二、下面只讨论第一问的解答要求（第二问的要求解答过程相对直接一些，只需要列出竖直方向上力的平衡方程，和以AC为轴时的力矩平衡方程，联立起来就可以了。）

    首先是建立可行的坐标（系），即以凳面中心O为坐标原点，过O点向上的竖直线为y轴，（x轴相应灵活确定）。然后，我们进行细致的分析和处理。

    （1）具有普遍性的思考方法

    从物理上看，物体的稳定性，即是要求其质心（有时与重心意义相同）位置较低。于是我们写出茶杯（包括其中的茶水）的质心位置表达式为

    y质心=4m5H2+ρ（r

    2h）hm+ρ（r

    2h）。

    由于往杯中加水的过程中，水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐升高。要实现茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定的要求，物理上就是要求水杯的质心尽可能接近凳面，处于最低点位置，即在上面的表达式中，当h为何值时，y质心最小。于是由

    dy质心dh=0，可以计算出h=hmax=mρr

    2-1±1+4Hρr

    25m，舍去负值，即得结论为hmax=mρr

    21+4Hρr

    25m-1。

    （2）一种物理思想性很强的处理方法

    上面同样的分析知道，当杯中所加入水的高度正好等于此时水杯（整体）的质心高度时，这时水杯质心距离凳面最近;再继续加水，会使水杯的质心开始升高（——这是物理观念和科学思维素养的综合体现）。

    于是有h=y质心=4m5H2+ρ（r

    2h）hm+ρ（r

    2h），很快得出与上面相同的结论。

    （3）一种不同平常的想法

    如果水杯的稳定性从另一个角度思考，即考虑车辆加速（或转弯）造成水杯倾斜。这种情况下，我们写出水杯整体的质心x坐标表达式。将该表达式对倾斜角度θ（水杯底面与水平凳面的夹角）求微分。根据极值条件求出相应的加入水的高度（竖直情况时）h，即为hmax。我们可以比较该结果与前面结果的关系。

    与此想法相对应，可以有如下的定性结论，即当x质心=xmax=r（水杯底面半径）时，就对应加入水的高度（竖直情况时）h，即为hmax。

    如果上面的结论都相同，这个结果就具有实际生产层面的意义了。

    责任编辑：黄大灿