关于一道物理奥赛试题的学习及思考

    杨思锋

    

    

    摘要:物理奥林匹克竞赛是一项非常专业的物理学习和研究活动,深受广大高中理科学生的欢迎。它已经成为中学物理课程学习中有益的补充。本文通过对一道竞赛试题的解析,说明物理学习与实际生产、生活的关系。

    关键词:物理奥林匹克竞赛;试题分析

    每年物理奥赛的复赛试题都是由国内几个一流高校的教师命制的。试题基本是他们科研工作的另一种形式的呈现,既有科学理论的探索,也有科学实验结果的反映,其特点就是理论和实际相结合。与其他物理题相比(如高考试题、学业水平考试试题、教材上的习题等),它们更接近运用物理学的知识解决实际的问题——这是物理学习目的的重要方面。

    2019年的全国复赛试题,在联系实际方面表现得更为合理,对高中物理课堂教学具有很好地启示作用。下面举一例进行说明。

    如图a,旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳(可视为刚性结构),三个相同凳脚的端点连线(均水平)构成边长为a的等边三角形,凳子质心位于其轴上的G点,半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上,杯底中心位于凳面中心O点处,茶杯质量为m(远小于凳子质量),其中杯底质量为m5(杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的),杯高为H(与杯高相比,杯底厚度可忽略)。杯中盛有茶水,茶水密度为ρ。重力加速度为g。

    (1)為了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定,杯中茶水的最佳高度是多少?

    (2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止(凳面边有小凸缘,防止物体滑出;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的),且OD⊥AC(见图b),求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处)的改变。

    我们可以从以下几方面对该试题进行学习和体会。

    一、用物理知识解决实际问题的第一步,是建构知识模型。

    由于中学生的知识水平状况,试题明确了几个模型:(1)三脚圆凳——刚体(即结构,包括形状不发生变化);(2)薄壁茶杯——不考虑茶杯的侧壁厚度,即认为杯壁的半径为r不变;(3)茶杯质量远小于凳子质量——保证凳子不翻到(车底板对三个脚的支持力大于零);(4)杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的——可以用一般的几何知识进行计算(避免微积分等过于细致、复杂的运算)。

    二、下面只讨论第一问的解答要求(第二问的要求解答过程相对直接一些,只需要列出竖直方向上力的平衡方程,和以AC为轴时的力矩平衡方程,联立起来就可以了。)

    首先是建立可行的坐标(系),即以凳面中心O为坐标原点,过O点向上的竖直线为y轴,(x轴相应灵活确定)。然后,我们进行细致的分析和处理。

    (1)具有普遍性的思考方法

    从物理上看,物体的稳定性,即是要求其质心(有时与重心意义相同)位置较低。于是我们写出茶杯(包括其中的茶水)的质心位置表达式为

    y质心=4m5H2+ρ(r

    2h)hm+ρ(r

    2h)。

    由于往杯中加水的过程中,水杯整体的质心先是逐渐降低,然后再逐渐升高。要实现茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定的要求,物理上就是要求水杯的质心尽可能接近凳面,处于最低点位置,即在上面的表达式中,当h为何值时,y质心最小。于是由

    dy质心dh=0,可以计算出h=hmax=mρr

    2-1±1+4Hρr

    25m,舍去负值,即得结论为hmax=mρr

    21+4Hρr

    25m-1。

    (2)一种物理思想性很强的处理方法

    上面同样的分析知道,当杯中所加入水的高度正好等于此时水杯(整体)的质心高度时,这时水杯质心距离凳面最近;再继续加水,会使水杯的质心开始升高(——这是物理观念和科学思维素养的综合体现)。

    于是有h=y质心=4m5H2+ρ(r

    2h)hm+ρ(r

    2h),很快得出与上面相同的结论。

    (3)一种不同平常的想法

    如果水杯的稳定性从另一个角度思考,即考虑车辆加速(或转弯)造成水杯倾斜。这种情况下,我们写出水杯整体的质心x坐标表达式。将该表达式对倾斜角度θ(水杯底面与水平凳面的夹角)求微分。根据极值条件求出相应的加入水的高度(竖直情况时)h,即为hmax。我们可以比较该结果与前面结果的关系。

    与此想法相对应,可以有如下的定性结论,即当x质心=xmax=r(水杯底面半径)时,就对应加入水的高度(竖直情况时)h,即为hmax。

    如果上面的结论都相同,这个结果就具有实际生产层面的意义了。

    责任编辑:黄大灿

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