初中建模教学初探

徐忠
【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时,教师通过对书本上一道实际问题的探究,抽象出数学模型,并和学生一起分析模型,应用模型,培养了学生解决问题的能力,提高了学生的学习兴趣。
【关键词】探究 建模步骤 建模途径
在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时,教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题,这些实际问题都可以抽象出三角模型,转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现,学生就题论题,题目稍加变化,很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上,我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编,然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律,再通过教材找出对应的实际问题,最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题,通过这一系列的操作,帮助学生打开了思路,取得了不错的效果。
【教学片断】
例1:如图,一座塔的高度DC=120m,甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处,测得塔顶的仰角分别是30°、60°,求A、B两点到塔底C的距离。
学生画图解答。
师:这道实际问题的模型是一个双垂直三角形,你除了会求出AC和BC外,还会求那些边和角?
生1:我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。
师:想一想!在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素,关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中,要知道几个元素才能求出其它元素?
生2:我发现只要知道两个就行了。
生3:不对,比如两个角就不可以。
生4:我发现一边一角,和两边才可以。
师:生4发现了一个重要规律,就是在双垂直三角形中,已知两个元素(至少一条边)就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗?(出示图例2)
学生小组讨论,教师参与到小组讨论中。
生5:我觉得已知两个元素不能求出其它条件,我们小组研究发现必须三个元素才行。
生6:我们小组觉得三个元素也不一定行,比如知道三个角就不行。
生7:三个条件中必须至少知道一条边才行。
生8:不一定,我觉得两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。
师:生8回答的非常好,找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧,如果在同侧会不会有这个规律呢?(出示图例3)
生讨论后,发现这个规律仍成立。
学生们为自己发现的结论兴奋不已,大家沉浸在成功的喜悦之中,此时我感觉学生的探究热情高涨,于是因势利导,给出了下列两个变式。
师:如果在直角梯形里又会怎么样呢?(出示图例4)
生9:我发现除DE、BC外,其它元素都和△ABD有关,因此只要知道三角形中的两个元素(至少一条边)其它元素都可以求了。
师;那么如果是一般梯形呢?(出示图例5)
生10:我发现除了DC、EF外其它的跟例(2)是一样的,两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素,其中必须有一条边就行了。
师:生10说的非常好,其实这些模型的实际问题我们书上都有,你能不能从书P54~P63页找出这些模型的实际问题,最好再找出我们没有分析到的模型。
学生找到这些实际问题以后,教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。
课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案,然后让同桌解答。
【教学反思】
这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型,然后和学生一起分析模型找出解题的关键,再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析,体现了由特殊到一般的数学思想,而这些模型分散在教材与学生平时练习中,教师将其集中在一起形成序列进行教学,目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题,而不是盲目的就题论题,从而提高学生解决问题的能力,让学生不仅知道题目的解法,还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想,达到举一反三,触类旁通的目的,而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。
一、教学中为什么要数学建模
目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题,教师经常对学生进行大量机械重复的训练,以期望达到“熟能生巧”的目的,而事实上学生的思维能力并没有提高,其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明,数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制,但功能性弱,应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比,程序性弱,不易复制,但功能性更强,应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的,它虽然抽象,程序性更弱,但功能性强,它是对前面两个层次的指导和引领。所以,在数学课中应该科学地、有层次地设计练习,让提炼数学思想方法,构建数学模型成为课堂的常态。
二、如何进行数学建模教学
用数学模型解决问题,最关键的一步是找到适当的数学模型,分析模型。第一步,弄清实际问题:通过例1和学生建立了双垂直三角形,学生求解发现十个元素中知道两个元素(至少一边)就能求出其它元素的方法模型,具有了知识迁移的基础;第二步,通过变式建立模型:在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后,通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点,建立了相关的数学结构;第三步,在所建模型的基础上进行验证:教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题,和学生们一起分析、解答,通过练习验证了模型;第四步,应用模型:通过解答书上的例题验证了探索出的模型,课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解,巩固了所学知识。纵观整个教学设计,模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫,使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。
三、建模教学中的一些主要途径
数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程,因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。
1.加强基础知识教学,为学生进行数学建模奠定基础;
2.实施有效的问题解决策略,引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括,渗透数学建模思想;
3.注重应用题的教学,培养学生通过建立模型解决实际问题的能力;
4.课堂教学中创设恰当的问题情境,引导学生积极进行建模活动;
5.注重实验教学,让学生在动手操作的过程中建立数学模型。
当然,要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题,不可能通过一节课、一两个例题就能完成的,需要我们有计划有步骤的分步实施,这样才能达到我们预期的效果。
(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)
【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时,教师通过对书本上一道实际问题的探究,抽象出数学模型,并和学生一起分析模型,应用模型,培养了学生解决问题的能力,提高了学生的学习兴趣。
【关键词】探究 建模步骤 建模途径
在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时,教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题,这些实际问题都可以抽象出三角模型,转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现,学生就题论题,题目稍加变化,很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上,我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编,然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律,再通过教材找出对应的实际问题,最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题,通过这一系列的操作,帮助学生打开了思路,取得了不错的效果。
【教学片断】
例1:如图,一座塔的高度DC=120m,甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处,测得塔顶的仰角分别是30°、60°,求A、B两点到塔底C的距离。
学生画图解答。
师:这道实际问题的模型是一个双垂直三角形,你除了会求出AC和BC外,还会求那些边和角?
生1:我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。
师:想一想!在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素,关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中,要知道几个元素才能求出其它元素?
生2:我发现只要知道两个就行了。
生3:不对,比如两个角就不可以。
生4:我发现一边一角,和两边才可以。
师:生4发现了一个重要规律,就是在双垂直三角形中,已知两个元素(至少一条边)就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗?(出示图例2)
学生小组讨论,教师参与到小组讨论中。
生5:我觉得已知两个元素不能求出其它条件,我们小组研究发现必须三个元素才行。
生6:我们小组觉得三个元素也不一定行,比如知道三个角就不行。
生7:三个条件中必须至少知道一条边才行。
生8:不一定,我觉得两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。
师:生8回答的非常好,找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧,如果在同侧会不会有这个规律呢?(出示图例3)
生讨论后,发现这个规律仍成立。
学生们为自己发现的结论兴奋不已,大家沉浸在成功的喜悦之中,此时我感觉学生的探究热情高涨,于是因势利导,给出了下列两个变式。
师:如果在直角梯形里又会怎么样呢?(出示图例4)
生9:我发现除DE、BC外,其它元素都和△ABD有关,因此只要知道三角形中的两个元素(至少一条边)其它元素都可以求了。
师;那么如果是一般梯形呢?(出示图例5)
生10:我发现除了DC、EF外其它的跟例(2)是一样的,两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素,其中必须有一条边就行了。
师:生10说的非常好,其实这些模型的实际问题我们书上都有,你能不能从书P54~P63页找出这些模型的实际问题,最好再找出我们没有分析到的模型。
学生找到这些实际问题以后,教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。
课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案,然后让同桌解答。
【教学反思】
这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型,然后和学生一起分析模型找出解题的关键,再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析,体现了由特殊到一般的数学思想,而这些模型分散在教材与学生平时练习中,教师将其集中在一起形成序列进行教学,目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题,而不是盲目的就题论题,从而提高学生解决问题的能力,让学生不仅知道题目的解法,还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想,达到举一反三,触类旁通的目的,而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。
一、教学中为什么要数学建模
目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题,教师经常对学生进行大量机械重复的训练,以期望达到“熟能生巧”的目的,而事实上学生的思维能力并没有提高,其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明,数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制,但功能性弱,应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比,程序性弱,不易复制,但功能性更强,应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的,它虽然抽象,程序性更弱,但功能性强,它是对前面两个层次的指导和引领。所以,在数学课中应该科学地、有层次地设计练习,让提炼数学思想方法,构建数学模型成为课堂的常态。
二、如何进行数学建模教学
用数学模型解决问题,最关键的一步是找到适当的数学模型,分析模型。第一步,弄清实际问题:通过例1和学生建立了双垂直三角形,学生求解发现十个元素中知道两个元素(至少一边)就能求出其它元素的方法模型,具有了知识迁移的基础;第二步,通过变式建立模型:在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后,通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点,建立了相关的数学结构;第三步,在所建模型的基础上进行验证:教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题,和学生们一起分析、解答,通过练习验证了模型;第四步,应用模型:通过解答书上的例题验证了探索出的模型,课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解,巩固了所学知识。纵观整个教学设计,模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫,使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。
三、建模教学中的一些主要途径
数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程,因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。
1.加强基础知识教学,为学生进行数学建模奠定基础;
2.实施有效的问题解决策略,引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括,渗透数学建模思想;
3.注重应用题的教学,培养学生通过建立模型解决实际问题的能力;
4.课堂教学中创设恰当的问题情境,引导学生积极进行建模活动;
5.注重实验教学,让学生在动手操作的过程中建立数学模型。
当然,要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题,不可能通过一节课、一两个例题就能完成的,需要我们有计划有步骤的分步实施,这样才能达到我们预期的效果。
(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)
【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时,教师通过对书本上一道实际问题的探究,抽象出数学模型,并和学生一起分析模型,应用模型,培养了学生解决问题的能力,提高了学生的学习兴趣。
【关键词】探究 建模步骤 建模途径
在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时,教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题,这些实际问题都可以抽象出三角模型,转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现,学生就题论题,题目稍加变化,很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上,我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编,然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律,再通过教材找出对应的实际问题,最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题,通过这一系列的操作,帮助学生打开了思路,取得了不错的效果。
【教学片断】
例1:如图,一座塔的高度DC=120m,甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处,测得塔顶的仰角分别是30°、60°,求A、B两点到塔底C的距离。
学生画图解答。
师:这道实际问题的模型是一个双垂直三角形,你除了会求出AC和BC外,还会求那些边和角?
生1:我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。
师:想一想!在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素,关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中,要知道几个元素才能求出其它元素?
生2:我发现只要知道两个就行了。
生3:不对,比如两个角就不可以。
生4:我发现一边一角,和两边才可以。
师:生4发现了一个重要规律,就是在双垂直三角形中,已知两个元素(至少一条边)就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗?(出示图例2)
学生小组讨论,教师参与到小组讨论中。
生5:我觉得已知两个元素不能求出其它条件,我们小组研究发现必须三个元素才行。
生6:我们小组觉得三个元素也不一定行,比如知道三个角就不行。
生7:三个条件中必须至少知道一条边才行。
生8:不一定,我觉得两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。
师:生8回答的非常好,找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧,如果在同侧会不会有这个规律呢?(出示图例3)
生讨论后,发现这个规律仍成立。
学生们为自己发现的结论兴奋不已,大家沉浸在成功的喜悦之中,此时我感觉学生的探究热情高涨,于是因势利导,给出了下列两个变式。
师:如果在直角梯形里又会怎么样呢?(出示图例4)
生9:我发现除DE、BC外,其它元素都和△ABD有关,因此只要知道三角形中的两个元素(至少一条边)其它元素都可以求了。
师;那么如果是一般梯形呢?(出示图例5)
生10:我发现除了DC、EF外其它的跟例(2)是一样的,两个直角三角形中,一个三角形知道一个元素,另一个三角形知道两个元素,其中必须有一条边就行了。
师:生10说的非常好,其实这些模型的实际问题我们书上都有,你能不能从书P54~P63页找出这些模型的实际问题,最好再找出我们没有分析到的模型。
学生找到这些实际问题以后,教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。
课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案,然后让同桌解答。
【教学反思】
这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型,然后和学生一起分析模型找出解题的关键,再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析,体现了由特殊到一般的数学思想,而这些模型分散在教材与学生平时练习中,教师将其集中在一起形成序列进行教学,目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题,而不是盲目的就题论题,从而提高学生解决问题的能力,让学生不仅知道题目的解法,还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想,达到举一反三,触类旁通的目的,而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。
一、教学中为什么要数学建模
目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题,教师经常对学生进行大量机械重复的训练,以期望达到“熟能生巧”的目的,而事实上学生的思维能力并没有提高,其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明,数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制,但功能性弱,应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比,程序性弱,不易复制,但功能性更强,应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的,它虽然抽象,程序性更弱,但功能性强,它是对前面两个层次的指导和引领。所以,在数学课中应该科学地、有层次地设计练习,让提炼数学思想方法,构建数学模型成为课堂的常态。
二、如何进行数学建模教学
用数学模型解决问题,最关键的一步是找到适当的数学模型,分析模型。第一步,弄清实际问题:通过例1和学生建立了双垂直三角形,学生求解发现十个元素中知道两个元素(至少一边)就能求出其它元素的方法模型,具有了知识迁移的基础;第二步,通过变式建立模型:在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后,通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点,建立了相关的数学结构;第三步,在所建模型的基础上进行验证:教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题,和学生们一起分析、解答,通过练习验证了模型;第四步,应用模型:通过解答书上的例题验证了探索出的模型,课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解,巩固了所学知识。纵观整个教学设计,模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫,使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。
三、建模教学中的一些主要途径
数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程,因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。
1.加强基础知识教学,为学生进行数学建模奠定基础;
2.实施有效的问题解决策略,引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括,渗透数学建模思想;
3.注重应用题的教学,培养学生通过建立模型解决实际问题的能力;
4.课堂教学中创设恰当的问题情境,引导学生积极进行建模活动;
5.注重实验教学,让学生在动手操作的过程中建立数学模型。
当然,要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题,不可能通过一节课、一两个例题就能完成的,需要我们有计划有步骤的分步实施,这样才能达到我们预期的效果。
(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)
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