高中数学建模教学的思考与实践
史红专
【内容摘要】数学建模，就是在解决数学问题的过程中运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种有效的数学手段。本文对此进行了分析研究。
【关键词】高中数学 建模教学 实践 思考
人类之所以发明数学是基于解决生活实际问题的需要，数学建模就是在解决数学问题的过程中运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种有效的数学手段。一些发达国家在中学教育中对数学建模非常重视，我国近年来也提出了让中学生逐步学会将实际问题归结为数学模型，然后进行模型求解和模型分析的教学目标。学生如果能把实际应用问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析、运算和证明，不仅能提高学生的思维能力，还能推动数学素质教育，从而实现数学教学的根本目标。
一、数学建模概述
数学建模，简言之就是将要解决的实际问题转化为数学模型。那么，什么是数学模型呢？数学模型不是对现实的模拟，而是通过对现实对象进行提炼、分析以后，运用数学符号和公式、图表等模拟客观事物的本质属性与内在联系，也就是对现实世界的抽象、简化的数学结构模拟。
数学建模的一般步骤是：①明确建模目的，分析和收集必要数据和量的关系；②简化问题，用数学语言进行假设；③选择关键数量关系建立数学模型，建立数量间的定量、定性关系；④运用数学知识和方法求解；⑤将求得的结论回到实际问题中检验，如有错误进行修正。在解决实际问题的过程中，面对同样一个问题，可以有多种建模方法，学生可以任意选定。数学建模应以学生为主，教师负责设计与引导，带领学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索的学习精神，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素养。
二、高中数学建模教学的实际应用
1.将数学建模引入日常课堂教学，使所学知识更系统、更深刻
在学习每章节的教学内容和方法后，教师都可以带领学生应用数学建模求解，这样学生的建模意识就培养起来了，建模方法也能逐渐掌握。
例题1：某服装店销售一批睡衣，如果每件50元每天可销售100件，如果提高售价每涨5元销售数量就减少10件，已知成本价为20元。求解睡衣定价为多少时利润最大。
分析：这种应用题型是培养学生创新意识和实践能力的最好时机，首先应对问题进行抽象，建立相应数学模型，进而求解和验证。
建模：设每件涨价x元（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（50 +x）（100-10x）元，成本为20（100 -10x），故0≤x≤10，利润y=销售总价-成本总价，所以y=（30+x）（100 -10x）（0≤x≤10）。这样将这个问题建立成二次函数模型。
像这样的例题教材中有很多，例如折旧问题、利息问题等，对这类应用问题还可以进行拓展，例如可以改变提问角度、条件互换。另外一类经常需要建模的是几何题型。由于几何知识应用广泛，常与函数、不等式、三角形等相联系，具有较强的综合性，常需要建立数学模型求解。
例题2：如图1所示，某探照灯的轴截面是抛物线x=y2，问平行于对称轴的光线到抛物线上的入射点在何处时到反射点的光线的路程最短。
图1
建模：设轴截面是抛物线x=y2，设入射点p的纵坐标为a（a大于0），PQ为从光线入射点p经抛物镜反射到点Q的光线，求a为何值时PQ最短。
除了教材上的应用题型，在教学中还可以多结合现实生活问题训练学生的建模思路和建模方法，从生活和社会上的问题出发，选取好素材融入教学活动，例如在学生踢球时，教师可以引导学生设计数学模型解答边锋站在什么位置时射门最佳的问题，长此以往可以培养学生的数学意识和发现问题、解决问题的能力。
2.开展以数学建模为主的活动，让学生深刻理解数学建模的过程与方法
课上开展的一般都是小型建模活动，一般当堂完成，一些比较大的或者复杂的建模可以留在课下。在高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。例如我班在春季组织了一次骑车郊游活动，每个学生的体力和骑车速度不同，我们就根据这一活动安排了数学建模活动，让每个学生计算自己以多少速度骑行才能保证自己能够到达终点。
三、结束语
在高中数学教学中推广建模教学模式，极大地提升了学生的创新思维，在建模的过程中不仅锻炼了学生将实际应用问题转化为数学抽象问题的转换能力，还培养了学生的直觉思维和想象能力，使他们能够真正领悟数学的实质和思想。著名数学家怀特海曾说过，“数学就是对于模式的研究”，为了培养学生的建模意识，数学教师应首先提高自己的建模意识，除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活，结合近年来素质教育中出现的应用型问题和教材中典型的数学建模题对学生进行模仿训练，打开学生创新意识的思维宝库。
总之，建模教学是一种有益的尝试，在教学中大力渗透建模意识是中学素质教育的有效途径，值得进一步推广。
【参考文献】
[1] 胡运红、张凤琴、姚喜妍. 新课程标准下的中学数学建模教学改革探索[J]. 数学教学研究，2010（11）.
[2] 张弋戈. 数学建模教学对教师专业发展的促进作用[D]. 首都师范大学，2011.
[3] 郭志辉. 新课程背景下高中数学建模教学研究[D]. 温州大学，2011.
（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）
【内容摘要】数学建模，就是在解决数学问题的过程中运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种有效的数学手段。本文对此进行了分析研究。
【关键词】高中数学 建模教学 实践 思考
人类之所以发明数学是基于解决生活实际问题的需要，数学建模就是在解决数学问题的过程中运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种有效的数学手段。一些发达国家在中学教育中对数学建模非常重视，我国近年来也提出了让中学生逐步学会将实际问题归结为数学模型，然后进行模型求解和模型分析的教学目标。学生如果能把实际应用问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析、运算和证明，不仅能提高学生的思维能力，还能推动数学素质教育，从而实现数学教学的根本目标。
一、数学建模概述
数学建模，简言之就是将要解决的实际问题转化为数学模型。那么，什么是数学模型呢？数学模型不是对现实的模拟，而是通过对现实对象进行提炼、分析以后，运用数学符号和公式、图表等模拟客观事物的本质属性与内在联系，也就是对现实世界的抽象、简化的数学结构模拟。
数学建模的一般步骤是：①明确建模目的，分析和收集必要数据和量的关系；②简化问题，用数学语言进行假设；③选择关键数量关系建立数学模型，建立数量间的定量、定性关系；④运用数学知识和方法求解；⑤将求得的结论回到实际问题中检验，如有错误进行修正。在解决实际问题的过程中，面对同样一个问题，可以有多种建模方法，学生可以任意选定。数学建模应以学生为主，教师负责设计与引导，带领学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索的学习精神，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素养。
二、高中数学建模教学的实际应用
1.将数学建模引入日常课堂教学，使所学知识更系统、更深刻
在学习每章节的教学内容和方法后，教师都可以带领学生应用数学建模求解，这样学生的建模意识就培养起来了，建模方法也能逐渐掌握。
例题1：某服装店销售一批睡衣，如果每件50元每天可销售100件，如果提高售价每涨5元销售数量就减少10件，已知成本价为20元。求解睡衣定价为多少时利润最大。
分析：这种应用题型是培养学生创新意识和实践能力的最好时机，首先应对问题进行抽象，建立相应数学模型，进而求解和验证。
建模：设每件涨价x元（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（50 +x）（100-10x）元，成本为20（100 -10x），故0≤x≤10，利润y=销售总价-成本总价，所以y=（30+x）（100 -10x）（0≤x≤10）。这样将这个问题建立成二次函数模型。
像这样的例题教材中有很多，例如折旧问题、利息问题等，对这类应用问题还可以进行拓展，例如可以改变提问角度、条件互换。另外一类经常需要建模的是几何题型。由于几何知识应用广泛，常与函数、不等式、三角形等相联系，具有较强的综合性，常需要建立数学模型求解。
例题2：如图1所示，某探照灯的轴截面是抛物线x=y2，问平行于对称轴的光线到抛物线上的入射点在何处时到反射点的光线的路程最短。
图1
建模：设轴截面是抛物线x=y2，设入射点p的纵坐标为a（a大于0），PQ为从光线入射点p经抛物镜反射到点Q的光线，求a为何值时PQ最短。
除了教材上的应用题型，在教学中还可以多结合现实生活问题训练学生的建模思路和建模方法，从生活和社会上的问题出发，选取好素材融入教学活动，例如在学生踢球时，教师可以引导学生设计数学模型解答边锋站在什么位置时射门最佳的问题，长此以往可以培养学生的数学意识和发现问题、解决问题的能力。
2.开展以数学建模为主的活动，让学生深刻理解数学建模的过程与方法
课上开展的一般都是小型建模活动，一般当堂完成，一些比较大的或者复杂的建模可以留在课下。在高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。例如我班在春季组织了一次骑车郊游活动，每个学生的体力和骑车速度不同，我们就根据这一活动安排了数学建模活动，让每个学生计算自己以多少速度骑行才能保证自己能够到达终点。
三、结束语
在高中数学教学中推广建模教学模式，极大地提升了学生的创新思维，在建模的过程中不仅锻炼了学生将实际应用问题转化为数学抽象问题的转换能力，还培养了学生的直觉思维和想象能力，使他们能够真正领悟数学的实质和思想。著名数学家怀特海曾说过，“数学就是对于模式的研究”，为了培养学生的建模意识，数学教师应首先提高自己的建模意识，除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活，结合近年来素质教育中出现的应用型问题和教材中典型的数学建模题对学生进行模仿训练，打开学生创新意识的思维宝库。
总之，建模教学是一种有益的尝试，在教学中大力渗透建模意识是中学素质教育的有效途径，值得进一步推广。
【参考文献】
[1] 胡运红、张凤琴、姚喜妍. 新课程标准下的中学数学建模教学改革探索[J]. 数学教学研究，2010（11）.
[2] 张弋戈. 数学建模教学对教师专业发展的促进作用[D]. 首都师范大学，2011.
[3] 郭志辉. 新课程背景下高中数学建模教学研究[D]. 温州大学，2011.
（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）
