铅垂法求三角形面积的思路探索与应用
何莲清
[摘? 要] 铅垂法是求解直角坐标系中三角形面积问题的常用方法，利用该方法可以简捷地构建面积模型，然后联系点的坐标形成相应的面积通式. 文章探究铅垂法求解面积问题的构建思路，总结方法步骤，并拓展模型，结合实例应用强化，与读者交流、探讨.
[关键词] 铅垂法;面积;抛物线;铅垂高;水平宽
三角形面积问题是初中数学的经典问题，常规图形可以采用对应的面积公式求解. 但对于融合了直角坐标系的不规则图形，则无法直接利用三角形面积公式求解. 解题时主要有两大难点：一是几何图形不规则，无法直接构建面积模型;二是图形的线段长未知，难以确定图形中底和高的长. 而铅垂法可以实现面积转化、模型构建，下面对其进行深入探索.
问题描述，方法探索
函数背景下的三角形面积问题，主要有以下特点：①结合了直角坐标系，量化了三角形顶点位置;②题目一般不会直接给出线段的长，需要联系点的坐标来进行计算. 以下面的问题为例进行分析.
问题描述? 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（7，3），C（4，7），试求△ABC的面积.
解法探索? 对于图1中的不规则三角形，直接利用公式法求解难度较大，可采用铅垂法. 求解的基本思路是“面积割补→联点建模”，即首先采用面积割补法，将其转化为规则图形的组合，然后结合点的坐标构建相应的模型.
如图2，过点C作y轴的平行线交AB于点D，过点B作直线CD的垂线，垂足为F，过点A作直线CD的垂线，垂足为E，则S =S +S ，其中S = ·CD·AE，S = ·CD·FB. 所以S = ·CD·（AE+FB）. 不难发现AE+FB为点A和点B之间的水平距离，实际求解时可以联系点A和点B横坐标的值，得S = ·CD·x -x .
对于本题，由点A和点B的坐标可知直线AB的解析式为y= x+ ，进而可确定点D的坐标为（4，2），于是CD=7-2=5. 又x -x =6，所以S = ·CD·x -x =15.
方法总结，应用剖析
1. 方法总结
上述是对铅垂法的探索. 对于该方法，可形成如下定义（以图3为例）：
①A，B两点之间的水平距离称之为“水平宽”;
②过点C作y轴的平行线交AB于点D，线段CD称之为AB边上的“铅垂高”.
于是S = ，也就是S = ·CD·x -x .
实际解题时，可以按照下面的步骤进行：
第一步，结合铅垂法建立面积模型;
第二步，由点A和点B的坐标求水平宽，以及直线AB的函数解析式;
第三步，由点C的坐标和直线AB的函数解析式确定点D的坐标，从而确定铅垂高的值;
第四步，代入铅垂法的模型公式，求解三角形的面积.
2. 实例剖析
函数背景下的三角形面积问题的形式较为多樣，综合性强，实际解题时需要灵活变通，合理利用铅垂法来构建解题思路，下面结合实例进行剖析.
例题? 如图4，抛物线y=ax2+2x+c与y轴的交点为A（0，6），与x轴的一个交点为B（6，0），点P是抛物线上的一个动点，试回答下列问题.
（1）试求该抛物线的表达式以及顶点坐标.
（2）分析点P移动到抛物线的什么位置时，可使∠PAB=75°，并求出此时点P的坐标.
（3）点P从点A出发，沿着线段AB上方的抛物线向着终点B移动，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变化，同时点M以每秒1个单位长度的速度沿着AO从点A向着终点O移动，点P和点M移动到各自的终点后停止. 设两个动点移动的时间为t，四边形PAMB的面积为S.
①试求S关于t的函数表达式.
②当t为何值时，S有最大值？求出该最大值.
解析? （1）分别将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得a=- ，c=6，于是可得抛物线的表达式为y= - x2+2x+6，将抛物线的表达式化为顶点式，可确定其顶点坐标为（2，8）.
（2）分析可知，若点P在直线AB上方，过点P作PC⊥y轴，垂足为C. 由OA=OB=6可知∠OAB=45°. 又∠PAB=75°，所以∠PAC=60°. 利用三角函数分析，得tan∠PAC= ，即 = . 可设AC=m，则PC= m，于是P（ m，6+m）. 将点P的坐标代入抛物线表达式，可解得m=0（舍去）或m=? - . 所以此时点P的坐标为4-? ， +? . 若点P在直线AB下方，则点P在y轴左边. 过点P作PC⊥y轴，垂足为C. 因为∠OAB=45°，∠PAB=75°时，所以∠PAC=30°. 利用三角函数分析，得tan∠PAC= ，即 = . 可设PC=m，则AC= m，于是P（-m，6- m）. 将点P的坐标代入抛物线表达式，可解得m=0（舍去）或m=2 -4（不合题意，舍去）. 综上所述，使∠PAB=75°的点P的坐标为4-? ， +? .
（3）该问有两个动点，已知移动速度和时间，于是有Pt，- t2+2t+6，M（0，6-t）. 对于四边形PAMB的面积，可以采用面积割补的方法，即S=S +S ，其中△AMB的位置较为特殊，可直接表示为S = AM·OB= ×t×6=3t;而△PAB的形状及位置较为一般，可以采用铅垂法，具体求解方法如下.
如图5，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点F，其中点A和点B之间的水平距离OB为模型的“水平宽”，PF的长为模型的“铅垂高”，于是S = PF·OB=3PF. 分析可知EF=EB=6-t，所以F（t，6-t）. 所以PF=- t2+2t+6-（6-t）=- t2+3t. 所以S =- t2+9t.
综上可知，S=S +S =- t2+12t=- （t-4）2+24. 分析可知，当t=4时，S取得最大值，且最大值为24.
评析? 上述第（3）问属于二次函数背景下涉及动点的面积问题，虽然所求图形为四边形，但通过割补，依然出现了不规则的三角形，所以突破的核心是利用铅垂法构建不规则三角形的面积模型. 解题时，应结合点的运动推导点的坐标及线段长，然后结合函数性质完成面积最值分析.
模型拓展，范例强化
1. 模型拓展
铅垂法是求解直角坐标系中三角形面积的常用方法，上述所呈现的是其中常用的构建模型，学习时，还可以对其加以拓展变形，构建不同的模型. 下面探究其中两种模型.
（1）拓展模型1：铅垂水平化
如图6，过点B作x轴的平行线，与AC交于点D，则视△CDB和△ADB共用底边BD，则模型中点A和点C之间的垂直距离为“水平宽”，线段DB为“铅垂高”. 对于该模型，有S =S +S = ·DB·y -y .
（2）拓展模型2：铅垂平移化
如图7，过点B作y轴的平行线，与直线AC交于点D，则△ADB和△CDB共用底边BD. 于是模型中的点A与点C之间的水平距离为“水平宽”，线段DB为“铅垂高”. 对于该模型，S =S -S = ·DB·x -x? -x -x? = ·DB·x -x .
2. 范例强化
上述呈现了铅垂法的拓展模型，构建的核心思路依然是面积割补，只是变动了模型中的水平宽和铅垂高，使其更适用于不同的问题. 实际解题时，需结合条件，尤其是通过已知点的坐标来选定铅垂法模型，合理构建解题思路.
例题? （2019年绵阳中考题改编）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a>0）的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得图8中的抛物线. 已知该抛物线与x轴的交点为A和B（点A在点B的左侧），且OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与y轴的正半轴交于点C，与抛物线的另一交点为D，△ABD的面积为5.
（1）试求平移后的抛物线与一次函数的解析式;
（2）點E是抛物线上的一个动点，且位于一次函数图像的下方，试求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标.
解析? （1）容易求得平移后的抛物线的解析式为y= x2-x- ，一次函数的解析式为y= x+ .
（2）已知A（-1，0），C0， ，分析可知，当△ACE的面积取得最大值时，显然点E不在y轴左边，于是设点E的坐标为m， m2-m- ，可采用铅垂法构建面积模型，具体如下.
如图9，过点E作y轴的平行线，与AD交于点F，则点F与点E的横坐标相等，结合一次函数的解析式可确定Fm， m+ . 于是S =S -S = ·EF·x -x? -x -x? =- （m2-3m-4）=- m- 2+ . 分析可知，当m= 时，△ACE的面积最大，且最大值为 .
评析? 本题所涉三角形的一个顶点为动点，因此模型构建应充分考虑该点的坐标. 上述解法利用了铅垂法中的拓展模型2——三角形的铅垂高外移，充分联系动点的坐标来构建模型，过程简洁，思路清晰.
总结思考
上述深入探讨了铅垂法求解直角坐标系中三角形面积的构建思路，其中呈现了三种常用的模型，虽然模型有所不同，但其构建思路是一致的：利用面积割补法作铅垂线，将不规则图形转化为同底三角形的组合，然后联系已知点的坐标构建模型的解析公式. 在实际学习中，不仅要关注模型本身，还要透视模型，理解模型构建的原理以及选用的技巧，这样才能深刻理解模型，从而利用模型高效解题.
在利用铅垂法构建面积模型的解题过程中需要注意两点：一是注意总结方法，应引导学生掌握模型解题的策略，形成程序性的解法;二是合理渗透思想方法，让学生感受思路构建过程中的构造思想、化归转化思想、数形结合思想，明确思想方法解题的重要性，引导学生感悟思想内涵，逐步内化吸收，拓展和提升学生的解题思维.
总之，利用铅垂法求三角形的面积具有极高的探究价值，从问题出发，展开模型构建，总结解题策略，深入拓展探究，对提升学生的解题能力有一定的帮助，教师在教学中应注重培养学生思维的灵活性，让他们总结解题通法，从而形成解题策略.
