例谈培育初中生数学思想的教学路径

    摘 要：新课程改革使数学思想方法成为初中数学教学的主要内容，且受到中考命题趋势的影响，初中数学教师对学生数学思想方法的掌握愈加重视。数学教师应坚持在教学中渗透数学思想，在引导学生解决典型例题的过程中掌握数学思想方法，使数学思想方法内化为学生的数学能力，增强学生的数学学科核心素养。文章结合初中数学教学实情，探究培育初中生六种数学思想方法的具体方式，为增强初中数学教学的有效性提供思路。

    关键词：初中生;数学思想;教学路径

    教师要在教学中融入创新元素，使学生基于对数学知识的理解掌握具有创新性的数学思想。初中数学教材中含有许多培育学生数学思想的例题，教师应在讲解例题的过程中适当提炼、总结核心概念与解题步骤，使数学思想逐渐成为学生的数学素养。

    一、转化化归思想方法

    化归是基础思想策略，在初中生解决数学问题的过程中发挥着重要作用。初中阶段的数学知识已经具有一定复杂性，因而需要学生利用化归思想思考解决问题的方法，将问题转化为容易理解的形式，进而找出问题的答案。复杂的数学问题能转化归结为较易解决的问题，实现某一数学对象向另一数学对象的转化，如将未知条件转化为已知条件，将学生感到陌生的知识转化为学生感到熟悉的知识等。

    以异分母分式的加减法计算为例，教师需引导学生在解题中渗透化归思想，体现解题过程的内在逻辑。学生必须找出所有公式共有的最简公分母，基于此对分式进行通分。通分这一步驟将异分母转化成同分母，因而异分母的分式加减法转化成了学生最为熟悉的同分母分数加减法，这便实现了数学知识的化归。再如，探究分式方程的相关问题时，首要步骤通常是将等式两边的分式化为相同分母的形式，为后续计算奠定基础。这一过程转化了学生较为陌生的分式方程问题，使之变为学生熟悉且擅长的整式方程问题。原本有较大难度的分式方程求解问题变得简单，学生解答的正确率更高。学生在转化问题的过程中建立不同知识之间的联系，逐步掌握应用所学知识转化陌生问题的方法。

    二、分类讨论思想方法

    分类讨论的思想在不同学科教学中被广泛应用，也被称为逻辑划分。分类讨论思想在数学教学中的应用较为广泛，当数学问题讨论的对象难以统一时，研究者便需要对这些讨论对象进行分类，使分类的结果成为解决问题的重要依据。初中数学课程中涉及分类讨论思想的知识模块较多，如三角形、绝对值等。教师需在日常教学中注重学生分类讨论能力的培育，使学生能准确区分需要分类讨论的情况。

    以三角形知识模块的一道题目为例：已知一个等腰三角形有一个角为30°，请问该三角形的其他两个角为多少度？三角形内角和为180°，而题目中所给的信息表明，等腰三角形中有一个锐角是30°，这一题目应当进行分类讨论。讨论的情况具体有两种，一种是30°角为等腰三角形的顶角，另一种则是为底角的情况。当此类题目出现在填空题中时，许多学生便容易忽略问题的多解性质。因此，教师需引导学生找到正确的思路，提醒学生在解答三角形相关问题的过程中进行全面考虑。

    三、数形结合思想方法

    数形结合的思想方法主要用于分析数量和空间之间的关系，数量关系相对抽象，空间关系则较为直观，将二者结合能收到良好的教学效果。

    在讲解平方差与完全平方公式时，教材利用数形结合的方法引导学生推导两个公式的形成过程，并利用面积相等的规律得出结果。学生则结合教材进行自主探究，最终得出公式的正确形式。学生从长方形的面积切入进行推理，获得新知的过程较为轻松。讲解绝对值的过程中，教师也可采用数形结合的方式进行教学，将数形结合思想渗透在绝对值教学中。例如，教师利用动画视频展示出数轴的一部分，将不同的点标记在数轴上，将数的绝对值以某一点到原点的距离等形式标记出来，使学生理解绝对值在几何图形中的含义。学生将“距离”和“绝对值”的概念联系起来记忆，学习效果更佳。一元一次不等式的教学也可采用相同方法构建一次函数图像与数量间的联系，教师将不等式和图像的关系以一次函数的形式表现出来，要求学生结合图像找出各个x值和y值之间的对应关系并说出自己分析的过程。教师在数学课堂中渗透数形结合思想，学生对数量与图形的关系形成更加全面的认知，在解题中更擅长用直观的图形理解抽象的数量问题并找出答案。

    四、函数与方程思想方法

    方程思想的关键在于找到已知与未知量之间的数量关系，基于此建立方程或方程组，解出方程或方程组，最终完成整道题目的解答。学生将函数与方程思想应用在解题过程中，对题目中出现的不同关系更加明确，解题思路更清晰。同时，函数与方程思想与学生的日常生活关系密切，能够被广泛用于解答各种现实问题。

    以生活中收话费与景区买票的问题为例。例题一：移动公司有两种不同的收费业务，第一种收费业务要求用户缴纳每月10元的月租费，通话一分钟则收0.3元话费;第二种业务则免去用户的月租费，但每分钟的话费比第一种贵0.1元。请问在何种情况下选择第一种业务，在何种情况下选择第二种业务？例题二：东方文化公司组织全公司40人至知名景点进行团建，该景点的单人成人票价格为30元每人，但该景点规定团体购买门票则能够以团队套餐的形式给予优惠，每个团体人数满40人则可享受七折优惠。东方文化公司前往该景点时，当天恰好是国际妇女节，因此景区为女性游客提供五折优惠。团体优惠和妇女节优惠不能共享，请你帮东方文化公司选择最实惠的方案。显然，这两道题需要用到函数与方程思想。教师先要求学生根据题意列出具体的函数关系式，然后将不等式的知识融入解题过程中，结合生活经验判断计算结果，得出最实惠的方案。

    五、类比联想思想方法

    数学知识之间有着内在联系，因而找出相关知识的相似点能建立解决问题的逻辑链条，并通过猜想、假设等方式找出答案。学生类比已有知识与新知识，将知识规律推广到相似的知识模块之中，这有利于他们得到新结论。类比联想思想的核心是猜想与推理，猜想与推理的构成体现着从某一已知领域朝着另一未知领域过渡的过程。教学中，数学教师应当为学生提供背景材料，激发学生的思维活力，鼓励学生挖掘新旧知识之间的联系，利用已经掌握的知识探索新的知识领域。

    如学生初次接触分式时，学习分式的加减法存在困难。教师可引导学生思考分数的加减法，使学生类比分数的加减法进行计算。学生在类比过程中巩固分数的计算方法，同时发现分式与分数计算的相同点，逐渐学会融会贯通。探究分式的意义时，学生需对不同分式的分母进行分类讨论，这一过程也可类比分数分母的情况。

    再如，学生学习一次函数的知识时采用的是待定系数的方法，对一次函数的研究则利用列表、描点、连线等方法。学生研究一次函数的方法可完全类比到探究二次函数或反比例函数等其他函数的过程之中。

    六、整体思想方法

    整体思想要求学生建立题目信息和所求数学问题的具体联系，从整体的角度思考问题，在建立整体的轮廓后回归局部，思考整体中的细节。在传统教学过程中，许多学生无法从整体上把握问题的本质，而是过度糾结于问题的细节与局部特征，这导致学生对问题中的不同信息点把握不到位。教师在教学中渗透整体思想方法，学生能够将问题中独立又有着内在联系的量视为整体进行处理，这不仅有效提升了解题的效率，还使学生的思维更加多元化。

    以初中数学中典型的路程问题为例。小白与小黑两位同学的家相隔100千米，两人同时从各自的家出发并相向而行，小白走6千米用时一小时，小黑走4千米用时一个小时。小白同学的宠物狗同时出发，宠物狗每个小时能前进10千米。宠物狗遇到小黑时便立刻朝着小白的方向走，遇到小白时又马上朝着小黑的方向走，循环往复直到小白、小黑两位同学相遇。请问小白的宠物狗走了多少千米？

    许多学生遇到此类题目时茫无头绪，这是因为学生并不知道宠物狗往返时小白、小黑两名同学之间的距离。然而，如果学生能够应用整体思想思考这一问题，问题便能迎刃而解。首先，学生将小白、小黑看作一个整体，那么这一整体的速度便为10千米每小时，按照这一速度行进100千米会耗时10个小时。根据题目所给消息，宠物狗在跑步的过程中并没有休息，从整体的角度来看，这就意味着宠物狗奔跑的全程为100千米。

    数学思想主要指学生在解题过程中使用的各类解题策略，是对具体数学解题过程的抽象概括。新课程改革的理念要求教师强化对学生数学思想的培育，使学生形成从数学的角度看待问题、解决问题的基本能力。初中数学教师需不断探究具有创新性的数学思想培育方式，广泛应用现有的教学资源增强学生的数学思维能力，为学生数学学科的长足发展奠定基础。

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    作者简介：罗昭波（1965— ），男，中学高级教师，本科，教研员，研究方向：初中数学教学。