浅谈数学课堂教学中的问题设计
陆洁清
江苏省无锡高等师范学校 (214001)
“问题是数学的心脏”，“提出一个问题比解决一个问题更为重要”.数学学习过程是不断提出问题、解决问题的过程.问题决定学习的方向、深度，问题提出的质量决定学习的质量，直接影响着教学效果与学生的思维方式.在教学中教师通过适时恰当的提出问题，给学生提问的示范，可使学生领悟发现和提出问题的艺术，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.
一、在知识形成过程的“关键点”上设问
对新知识的学习，不能只满足于掌握知识的表面叙述，还特别要透过语言表述，掌握知识的内在本质特征.建构主义学习理论主张：概念教学的重点并不在于概念本身，而在于建构概念的整个过程，在于学生本人的思维构造.通过学生主体探索，将新知识全方位的、多方面的与各种知识建立联系的过程中获得新知，从而在建构概念的过程中获得成功的心理体念，进一步激发学生学习的积极性.在概念教学过程中，教师要精心设计问题，引导学生思维一步一步递进、完善，最终自己建构概念的内涵和外延.如：异面直线所成角的概念，可设计如下问题：
(1)教师用教具展示两异面直线的关系，并要求学生回答变化过程中有什么区别?(大部分学生能回答“角”的大小在变化，这时启发学生回顾初中角的定义)
(2)“角”是在一个平面内的，而两异面直线不同在任何一个平面内，如何将异面关系转化成同一平面内的相交关系呢?
(3)相交直线a′和b′所成的角的大小与点O的位置关系有关吗?
(4)相交直线所形成的两组对顶角都能为异面直线所成的角吗?
通过上述问题的探究学生提出了概念的关键点：任取点，作平行线，锐角(或直角).学生自己能归纳出异面直线所成的角的概念：a,b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a,b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.
二、在知识之间联系的“联结点”上设问
学生学习知识的过程，实质上是在旧知基础上，通过同化与顺应构建新的认知结构的过程.数学课堂教学中，在新旧知识的联结点处精心设计问题，可以引导学生关注新旧知识的内在联系，在旧有知识的启发下，通过自主探究获得新知识，并在获得新知的过程中提升能力.类比是寻找两类事物联系的有效办法，对于两个相似或相近的知识点，利用类比法教学会收到较好的效果.
在整个高中数学中，指数与对数、指数函数与对数函数、平面角与二面角、等差数列与等比数列、排列与组合、椭圆，双曲线与抛物线、余弦函数与正弦函数、余切函数与正切函数、平面向量与空间向量、点点之间的距离，点线之间的距离，线线之间的距离与点面、线面和面面间的距离等概念，都是相似或相近的概念，在教学中，教师要尽量选取学生熟悉的、研究内容和方法上相近的知识作为类比对象帮助学生学习新的知识.例如：学习双曲线的简单几何性质前，学生已学习了椭圆的简单几何性质，初步掌握了通过曲线方程研究曲线性质的基本思想方法.教学《双曲线的简单几何性质》时，可先引导学生回顾如下问题：我们是从哪些方面研究椭圆的简单几何性质的?这些性质分别是怎样研究的?分别得出了怎样的结论?这样的设问：使学生寻找到恰当的类比对象，既能使学生找到解决问题的思想方法也强调了知识之间的联系与结构，从而逐步完善学生的认知结构.
又如，在教学三棱锥体积公式时可设置如下问题：平面几何中类似的课题是什么?那时是如何解决的?求三棱锥的体积的思路可能是怎样的?这样的设问：使学生寻找到恰当的类比对象，并回顾其解决过程.通过类比求三角形面积的思路：(1)把三角形补成同底等高的平行四边形；(2)把平行四边形分解成面积相等的两个三角形.可使学生猜想出求三棱锥体积的思路：(1)把三棱锥补成同底等高的三棱柱；(2)把三棱柱分割成体积相等的三个三棱锥.这样的设问既能使学生找到解决问题的思想方法也强调了知识的联系与结构.
三、在解决问题策略的“关节点”上设问
在解决数学问题时，我们要以数学思想方法为指导，寻找解决问题的策略，在教学中我们要利用类比、猜想、化归等思想方法精心设计问题.使学生亲历概念的形成过程，定理公式的发现过程以及解题思路的探索过程，进一步培养学生的创新能力.
例如，证明：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
先把问题符号化：已知∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同.求证：∠BAC=∠B1A1C1.
这是立体几何中的一个定理，可设置以下问题来引导学生探索它的证明思路.
1.要证明两个角相等，常用的方法有哪些?(大多数学生都能想到：可通过构造两个全等三角形，来证明两个角相等.)
2.如何构造两个全等的三角形呢?(大多数学生都能想到：在∠BAC和∠B1A1C1的两边上分别截取AD=A1D1，AE=A1E1，连结DE，D1E1)
3.如何证明△ADE与△A1D1E1全等呢?(大多数学生都能想到只要证明DE=D1E1)
4.在图中DE与D1E1间并没有直接联系，如何证明它们相等?你利用条件了吗?(大多数学生都能根据AB∥A1B1，AC∥A1C1得出：AD与A1D1，AE与A1E1平行且相等)
5.有两条线段平行且相等你能得到什么结论?(大多数学生都能想到以这两条线段为对边的四边形为平行四边形，于是自然想到连结A与A1，D与D1，E与E1.最后通过证明四边形DEE1D1是平行四边形得到：DE=D1E1)
四、在数学问题变式的“发散点”上设问
创造心理学研究表明：思维的发散性是影响创新思维的重要因素.思维越发散，则思维的创新性就越强.通过“变式”，可使学生从不同的角度去观察事物，思考问题，深化理解概念；可使学生变换信息的表达方式，丰富对问题的认识，将现实问题转化为数学问题，将陌生问题转化为熟悉的、简单的或已经解决的问题；可使问题“开放”、“发散”，往往能使学生的认识逐步深化，思维从单一走向多向.因此在课堂教学中，教师要引导学生对数学问题作多层面、多角度的变式与探究；有意识地引导学生从“变”的现象中发现不变的本质，从不变中探求规律.逐步培养学生灵活多变的创新思维品质，完善学生的认知结构，培养学生发现问题、提出问题、解决问题和探索创新的能力.
对于一些典型问题解决后，改变原题的结构或作适当的引申，往往可使一题变一串，更重要的是把问题向更高、更广的层次纵向挖掘，横向延伸，需要学生更广、更深的思考，这样有利于学生拓展思路，提高应变能力.由一个基本问题拓展到多个问题的模式为：
例如高二解析几何教材上有这样一道习题：在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.
这是一道考查椭圆概念和性质的基本题，
是许多高考题的原型，很具研究价值，可引导学生作进一步的探究得出下列问题：
问题1 设椭圆x245+y220=1的焦点为F1、F2，在椭圆上是否总能找到这样的点P(x0,y0),使∠F1PF2分别为锐角和钝角.(通过讨论得到：当x0<-3或x0>3时，∠F1PF2为锐角；当-3
问题3 在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上是否总能找到这样的点，使它与两个焦点的连线互相垂直.(当c>b，即a>2b时，这样的点有4个；当c=b，即a=2b时，这样的点有2个；当c
(对于双曲线这样的点有4个，由于抛物线只有一个焦点，为此把焦点关于顶点的对称点想象为一个“虚”焦点，用类似的方法也能得出这样的点必存在，且共有两个.)
通过上述探究，可得出以下结论：对于离心率e不小于22的圆锥曲线，这样的点总存在.
五、在学生思维的“最近发展区”内设问
维果茨基将儿童发展水平分为：现有水平、潜在水平和介于这两者之间的“最近发展区”.数学思维的教学应从学生思维的潜在水平开始，通过教学把潜在水平转化为新的现有水平，在新的现有水平的基础上，又出现新的思维潜在水平，并形成新的思维最近发展区.这种循环往复不断转化和思维的发展区层次逐步形成的过程，就是学生不断积累知识和推动数学思维发展的过程.“好问题”是“学生跳一跳能摘到好果子”，它要在学生思维最近发展区内，在学生思维最近发展区内的问题才能形成认知冲突、激发求知欲、激活思维.
例如等差数列的前n项和公式的推导可设计如下问题：
学生知道高斯算法(现有水平)：
问题1 1+2+3+…+100=?
1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=50×(1+100)=1002×(1+100)=5050.
问题2 上面的问题可以看成是等差数列：1，2，3，…，100的前100项之和.在上述求解过程中你发现了什么?
学生能回答(一个新的现有水平)：所求和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都相等，都等于首项与末项的和.
问题3 一个一般的等差数列{a璶}的前n项和S璶能否用首项、末项及项数表示呢?
在这样的特例启发下，学生容易将问题转化为(一个新的潜在水平)：S璶=(a1+a璶)+(a2+a﹏-1)+(a3+a﹏-2)+…
从而又形成了一个新的“最近发展区”，然后，教学又从新的潜在水平开始.
江苏省无锡高等师范学校 (214001)
“问题是数学的心脏”，“提出一个问题比解决一个问题更为重要”.数学学习过程是不断提出问题、解决问题的过程.问题决定学习的方向、深度，问题提出的质量决定学习的质量，直接影响着教学效果与学生的思维方式.在教学中教师通过适时恰当的提出问题，给学生提问的示范，可使学生领悟发现和提出问题的艺术，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.
一、在知识形成过程的“关键点”上设问
对新知识的学习，不能只满足于掌握知识的表面叙述，还特别要透过语言表述，掌握知识的内在本质特征.建构主义学习理论主张：概念教学的重点并不在于概念本身，而在于建构概念的整个过程，在于学生本人的思维构造.通过学生主体探索，将新知识全方位的、多方面的与各种知识建立联系的过程中获得新知，从而在建构概念的过程中获得成功的心理体念，进一步激发学生学习的积极性.在概念教学过程中，教师要精心设计问题，引导学生思维一步一步递进、完善，最终自己建构概念的内涵和外延.如：异面直线所成角的概念，可设计如下问题：
(1)教师用教具展示两异面直线的关系，并要求学生回答变化过程中有什么区别?(大部分学生能回答“角”的大小在变化，这时启发学生回顾初中角的定义)
(2)“角”是在一个平面内的，而两异面直线不同在任何一个平面内，如何将异面关系转化成同一平面内的相交关系呢?
(3)相交直线a′和b′所成的角的大小与点O的位置关系有关吗?
(4)相交直线所形成的两组对顶角都能为异面直线所成的角吗?
通过上述问题的探究学生提出了概念的关键点：任取点，作平行线，锐角(或直角).学生自己能归纳出异面直线所成的角的概念：a,b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a,b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.
二、在知识之间联系的“联结点”上设问
学生学习知识的过程，实质上是在旧知基础上，通过同化与顺应构建新的认知结构的过程.数学课堂教学中，在新旧知识的联结点处精心设计问题，可以引导学生关注新旧知识的内在联系，在旧有知识的启发下，通过自主探究获得新知识，并在获得新知的过程中提升能力.类比是寻找两类事物联系的有效办法，对于两个相似或相近的知识点，利用类比法教学会收到较好的效果.
在整个高中数学中，指数与对数、指数函数与对数函数、平面角与二面角、等差数列与等比数列、排列与组合、椭圆，双曲线与抛物线、余弦函数与正弦函数、余切函数与正切函数、平面向量与空间向量、点点之间的距离，点线之间的距离，线线之间的距离与点面、线面和面面间的距离等概念，都是相似或相近的概念，在教学中，教师要尽量选取学生熟悉的、研究内容和方法上相近的知识作为类比对象帮助学生学习新的知识.例如：学习双曲线的简单几何性质前，学生已学习了椭圆的简单几何性质，初步掌握了通过曲线方程研究曲线性质的基本思想方法.教学《双曲线的简单几何性质》时，可先引导学生回顾如下问题：我们是从哪些方面研究椭圆的简单几何性质的?这些性质分别是怎样研究的?分别得出了怎样的结论?这样的设问：使学生寻找到恰当的类比对象，既能使学生找到解决问题的思想方法也强调了知识之间的联系与结构，从而逐步完善学生的认知结构.
又如，在教学三棱锥体积公式时可设置如下问题：平面几何中类似的课题是什么?那时是如何解决的?求三棱锥的体积的思路可能是怎样的?这样的设问：使学生寻找到恰当的类比对象，并回顾其解决过程.通过类比求三角形面积的思路：(1)把三角形补成同底等高的平行四边形；(2)把平行四边形分解成面积相等的两个三角形.可使学生猜想出求三棱锥体积的思路：(1)把三棱锥补成同底等高的三棱柱；(2)把三棱柱分割成体积相等的三个三棱锥.这样的设问既能使学生找到解决问题的思想方法也强调了知识的联系与结构.
三、在解决问题策略的“关节点”上设问
在解决数学问题时，我们要以数学思想方法为指导，寻找解决问题的策略，在教学中我们要利用类比、猜想、化归等思想方法精心设计问题.使学生亲历概念的形成过程，定理公式的发现过程以及解题思路的探索过程，进一步培养学生的创新能力.
例如，证明：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
先把问题符号化：已知∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同.求证：∠BAC=∠B1A1C1.
这是立体几何中的一个定理，可设置以下问题来引导学生探索它的证明思路.
1.要证明两个角相等，常用的方法有哪些?(大多数学生都能想到：可通过构造两个全等三角形，来证明两个角相等.)
2.如何构造两个全等的三角形呢?(大多数学生都能想到：在∠BAC和∠B1A1C1的两边上分别截取AD=A1D1，AE=A1E1，连结DE，D1E1)
3.如何证明△ADE与△A1D1E1全等呢?(大多数学生都能想到只要证明DE=D1E1)
4.在图中DE与D1E1间并没有直接联系，如何证明它们相等?你利用条件了吗?(大多数学生都能根据AB∥A1B1，AC∥A1C1得出：AD与A1D1，AE与A1E1平行且相等)
5.有两条线段平行且相等你能得到什么结论?(大多数学生都能想到以这两条线段为对边的四边形为平行四边形，于是自然想到连结A与A1，D与D1，E与E1.最后通过证明四边形DEE1D1是平行四边形得到：DE=D1E1)
四、在数学问题变式的“发散点”上设问
创造心理学研究表明：思维的发散性是影响创新思维的重要因素.思维越发散，则思维的创新性就越强.通过“变式”，可使学生从不同的角度去观察事物，思考问题，深化理解概念；可使学生变换信息的表达方式，丰富对问题的认识，将现实问题转化为数学问题，将陌生问题转化为熟悉的、简单的或已经解决的问题；可使问题“开放”、“发散”，往往能使学生的认识逐步深化，思维从单一走向多向.因此在课堂教学中，教师要引导学生对数学问题作多层面、多角度的变式与探究；有意识地引导学生从“变”的现象中发现不变的本质，从不变中探求规律.逐步培养学生灵活多变的创新思维品质，完善学生的认知结构，培养学生发现问题、提出问题、解决问题和探索创新的能力.
对于一些典型问题解决后，改变原题的结构或作适当的引申，往往可使一题变一串，更重要的是把问题向更高、更广的层次纵向挖掘，横向延伸，需要学生更广、更深的思考，这样有利于学生拓展思路，提高应变能力.由一个基本问题拓展到多个问题的模式为：
例如高二解析几何教材上有这样一道习题：在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.
这是一道考查椭圆概念和性质的基本题，
是许多高考题的原型，很具研究价值，可引导学生作进一步的探究得出下列问题：
问题1 设椭圆x245+y220=1的焦点为F1、F2，在椭圆上是否总能找到这样的点P(x0,y0),使∠F1PF2分别为锐角和钝角.(通过讨论得到：当x0<-3或x0>3时，∠F1PF2为锐角；当-3
问题3 在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上是否总能找到这样的点，使它与两个焦点的连线互相垂直.(当c>b，即a>2b时，这样的点有4个；当c=b，即a=2b时，这样的点有2个；当c
(对于双曲线这样的点有4个，由于抛物线只有一个焦点，为此把焦点关于顶点的对称点想象为一个“虚”焦点，用类似的方法也能得出这样的点必存在，且共有两个.)
通过上述探究，可得出以下结论：对于离心率e不小于22的圆锥曲线，这样的点总存在.
五、在学生思维的“最近发展区”内设问
维果茨基将儿童发展水平分为：现有水平、潜在水平和介于这两者之间的“最近发展区”.数学思维的教学应从学生思维的潜在水平开始，通过教学把潜在水平转化为新的现有水平，在新的现有水平的基础上，又出现新的思维潜在水平，并形成新的思维最近发展区.这种循环往复不断转化和思维的发展区层次逐步形成的过程，就是学生不断积累知识和推动数学思维发展的过程.“好问题”是“学生跳一跳能摘到好果子”，它要在学生思维最近发展区内，在学生思维最近发展区内的问题才能形成认知冲突、激发求知欲、激活思维.
例如等差数列的前n项和公式的推导可设计如下问题：
学生知道高斯算法(现有水平)：
问题1 1+2+3+…+100=?
1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=50×(1+100)=1002×(1+100)=5050.
问题2 上面的问题可以看成是等差数列：1，2，3，…，100的前100项之和.在上述求解过程中你发现了什么?
学生能回答(一个新的现有水平)：所求和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都相等，都等于首项与末项的和.
问题3 一个一般的等差数列{a璶}的前n项和S璶能否用首项、末项及项数表示呢?
在这样的特例启发下，学生容易将问题转化为(一个新的潜在水平)：S璶=(a1+a璶)+(a2+a﹏-1)+(a3+a﹏-2)+…
从而又形成了一个新的“最近发展区”，然后，教学又从新的潜在水平开始.
