试论几种数学思想在小学数学课堂教学中的渗透与应用
薛伟
摘 要：教师应真正树立思想渗透意识，引领学生步入“有探索、有实践、有思想、有体验”的理想的数学学习境界，培养学生数学能力，提高学生的数学素养。文章就数形合思想、转化思想及对应思想在小学数学课堂教学中的渗透与应用，阐述了作者的一些观点。
关键词：小学数学;数形结合;转化思想;对应思想
引言
数学新课程标准要求教师引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。数学思想能够有力地促进学生思维能力的发展，让学生对数学学习产生喜爱之情，从而有效提升他们的数学素养。教师应真正树立思想渗透意识，并在学生探究与发现的过程中切实做好数学思想渗透工作，从而引领学生步入“有探索、有实践、有思想、有体验”的理想的数学学习境界。
一、运用数形结合思想，培养学生数学思考能力
对于小学生来说，数形结合思想是一种基本而又重要的思想方法，它是解决诸多数学问题的一个有力的思想武器。顾名思义，其内涵涉及“数”与“形”，即利用数与形二者之间的对应关系，通过二者的相互转化，将数学语言与相关图形结合起来，进而解决数学问题。这种思想的实质是抽象的数学语言与直观的图像的结合。
1.发挥图的作用，促使数走向直观
在数学教学过程中，教师要引导学生提炼、理解数学问题中的数量关系，并使之与相关图形结合起来，进而将问题化繁为简、化难为易，实现思维上的突破与问题的解决。
首先，发挥图的作用，可以促进学生对概念及运算法则的掌握。数的产生源于人类对具体物体的计数，数从形中走来。审视小学数学教材的编写，从数的建立到数的运算，无不蕴含着数形结合的思想。比如，在教学整数、分数、小数及其相关的加、减、乘、除等运算时，教师都要借助直观的图形来完成，從而将枯燥的运算形象化、趣味化，加强学生对概念及运算法则的理解与掌握。再如，教学“异分母分数加减法”时，教师可运用数形结合思想一步一步地引领学生领会“通分”的必要性，理解异分母分数加减法的算理，从而攻克学习难点，解决学生头脑中的疑惑。
其次，发挥图的作用，可以帮助学生理清数量关系。教师要善于运用线段图等帮助学生分析数量关系，使问题由复杂走向简单，由模糊走向明朗，由抽象走向具体，进而解决问题，促进学生分析与解决问题能力的提高。
最后，发挥图的作用，可以帮助学生探索数学规律。教师要借助实例让学生进行训练，帮助学生掌握数形结合的思维方法，从而构建数学模型，直观地描述数学问题，促进学生形象思维能力及创造能力的提高。比如，“1+2+3+4+…+17+18+19+18+17+…+4+3+2+1=”这道题如何计算？教师就可以呈现边长为19cm，即由19cm×19cm的小方格组成的大正方形，引导学生结合图形观察、思考，从而明白19×19的积就是这个加法算式的和。
2.发挥数的作用，促使图形走向缜密
在数学学习过程中，缺少了形，则缺少了直观与生动;缺少了数，则缺少了严密与精确。数对于形的辅助作用表现在两个方面。一是揭示图形特点，即对几何图形性质的判断有时不需要借助计算就能获得正确的结论。例如，判断周长相同的正三角形、正方形、长方形和圆哪个面积最大时，就要通过计算来实现，仅凭直观难以判断。二是渗透代数思想。图形与数有着密切联系，学习图形知识离不开判断与证明，有时有些问题必须通过计算来解决。这里的计算有设未知数计算、字母证明等。字母证明是一种严格的证明，这里的“数”就是抽象的字母。这种证明渗透了初步的代数思想，具有普遍意义。
实践证明，在小学数学课堂上，教师有效地运用数形结合思想可以将“数”与“形”进行巧妙转化，从而发挥图形的直观与生动的特性来弄清数之间的关系，或者发挥数的严密与精确的特性来理解图形的属性，从而让学生透彻、深入地把握数学问题的本质，促进其数学素养的提高。
二、运用转化思想，培养学生解决问题的能力
对于小学生来说，转化思想也是一种重要的思想。教师在指导学生解决数学问题的过程中应让这种思想经常闪现于学生的头脑中，并通过运用加以理解与强化。转化思想的运用常常指向较难的问题，其内涵表现在借助观察、比较、分析、联想等思维活动，寻求恰当的变换方法，将眼前所面对的问题转化为一个新的问题，使先前的问题由陌生而走向熟悉，从而让当前的数学难题迎刃而解。
1.将新知（未知）转化为旧知（已知）
学生在学习数学的过程中，诸多新知（未知）都是通过转化成旧知（已知）加以理解与内化的。比如，小数乘法可以转化为整数乘法;分数除法可以转化为分数乘法;面积与体积的计算公式的推导，可以将新图形转化成已学过的图形，等等。教学时，教师要在吃透教材编写思想的基础上瞄准新知的生长点，启发学生进行分析与转化，加强新旧知识间的联系。新知（未知），是学生将要理解与掌握的知识，是探究的动力所在;而旧知（已知），则是内化于学生知识结构中的知识。二者之间的转化，好比在它们之间架设一道理解的桥梁，引导学生由此岸走到彼岸。
2.将复杂转化为简单
对于那些看上去较为复杂，理不清头绪的问题，教师要引导学生反复研读、揣摩表示数量关系的语句，力图从中有所发现，从而将看似复杂的问题转化为简单的问题，让学生的思维由茫然走向清晰。比如，对于某道应用题中的“小明的世界名著本数的1/2正好与小亮的世界名著本数的1/6相等”这个条件所阐述的关系，学生认为比较复杂，小明和小亮的世界名著本数究竟存在着怎样的关系，学生感到茫然。而如果教师指导学生运用画线段图的方法来表达这个关系，学生就会对这个关系豁然开朗，问题也迎刃而解。
3.将抽象转化为直观
用文字和数字来表述的一些问题往往比较抽象，学生理不清关系，解题存在一定的困难。此时，教师可以引导学生运用画图等方式，化抽象为直观，从而理解句子的含义，一步一步弄清数量关系，并在此基础上解决问题。如有关倍数关系的应用题，对于第二学段的学生来说，是一个学习的难点。而此时就需要教师引导学生进行比较，找到谁是标准，并且运用画线段图的方式来理清数量之间的关系，让题目中的数量关系清晰、明了。
转化的方法很多，如求不规则物体的体积，可以测量它在容器排出水的体积，将不规则转化为规则;在教学简单的排列组合问题时，教师可以指导学生梳理数据，将无序转化为有序，从而体会到有序与无序之间的联系，等等。这些方法的运用都渗透了转化思想。
教学实践表明，数学学习离不开转化思想的运用。教师指导学生解决数学问题，其实质就是启发学生将眼前的问题从未知转化为已知。因此，教师要注重转化思想的渗透与运用，从而促进学生数学学习能力的提高。
三、運用对应思想，促进学生思维能力发展
对应思想的本质是一种思维方法，是数学学习的一个基本思想。这种方法与思想有机地蕴含在教材的编排体系之中。教学过程中，教师要引导学生在两类事物之间建立起联系，即寻找对应关系，从而发现解决问题的路径。关于对应思想的渗透与运用，教师可以从以下几个方面做起。
1.要求学生抓住关键语句，探寻对应关系
题目中的关键性的语句不可忽视，应引起学生的关注与思考。围绕关键语句进行分析、思考，可以发现解题的“突破口”，即某种意义的对应关系。例如，针对应用题中存在的“工作效率×工作时间=工作总量”这个数量关系，教师可引导学生瞄准相关的语句或字眼，从所给的条件中探寻跟该数量关系一一对应的数量，进行分析思考，理清关系，进而解决问题。
2.引导学生借助转化，探寻对应关系
找到对应关系，往往是解决问题的一个关键;而借助转化，则可很快地找到存在的关系。例如，在指导学生探究平行四边形面积计算公式的过程中，笔者引导学生通过剪拼的方式将平行四边形转化成长方形，并在此基础上寻找对应关系。此时，学生发现剪拼后的长方形的“长”就是原来平行四边形的“底”，而剪拼后的长方形的“宽”，则是原来平行四边形的“高”。找到了这个对应关系，并且知道剪拼后两种图形面积不变后，学生很快发现：平行四边形的面积等于平行四边形的“底”乘以平行四边形的“高”。笔者又运用图呈现两个计算公式的对应关系，学生明白现在的“底”和“高”对应的就是“长”和“宽”。同样，在指导学生探究圆的面积计算公式时，教师可以启发学生将不熟悉的圆转化成熟悉的长方形，进而寻找相对应的因素，发现对应关系，最终找到解题思路。
3.指导学生借助画图，探寻对应关系
线段图、示意图等，能够将题目中隐含的数量关系生动形象地显现出来，变抽象为直观，化繁为简，从而帮助学生理解题意，探寻对应关系。运用线段图寻找对应关系的方法与思想，在不同学段的教材中均有渗透。教师要善于引导学生借助画图来发现数量之间存在的和、差、倍等关系，从而运用这个关系解决问题。
探寻对应关系的方法很多，具体问题应具体对待。小学数学教学内容的编排体现了两条线索，即显性的知识线索和隐性的数学思想与方法线索。这两条线索并驾齐驱，相得益彰。前者有形，后者无形，无形蕴藏于有形之中。教师的任务就是在有形中渗透无形，找到对应关系，从而培养学生探究、发现的能力，培养学生学习数学的自信与热情。
结语
仅就三种数学思想阐述了笔者的一些观点。数学思想内容丰富，它蕴含在教材里，运用于实践中。数学学习不仅仅是学知识，重要的是学思想。教师务必树立思想意识，将各种数学思想科学、合理地渗透在教学活动中，进而促进学生思维发展，提高学生数学素养。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]王永春.小学数学核心素养教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2019.
作者简介：薛 伟（1983— ），女，江苏邳州人，中小学一级教师，本科，研究方向：小学数学教学。
