多体平抛运动问题探析
张统勋
多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题.由于涉及到的研究对象较多，情况多种多样，因而给同学解题造成一定的困难.经过分析，可归纳为以下三类常见的多体平抛运动.
（1）若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.
（2）若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.
（3）若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.
下面通过例题来归类解析，
一、物体同时从同一高度（或同一点）抛出
1.同向抛出
例1 a、6两个物体做平抛运动的轨迹如图1所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台的时间分别为ta、tb，则（）
A.va>vb
B.va
D.taxb，所以va>vb，选项A、D正确.
答案AD
2.反向抛出
例2 如图2所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上.若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（）
A. 1： 1
B. 4：3
C. 16：9
D. 9： 16
解析两小球均做平抛运动，由题意知，小球都落在斜面上，所以A、B两个小球位移方向与水平方向的夹角分别为θ、θB，如图3所示，
答案D
二、物体同时从不同高度抛出
1.同向抛出
例3如图4所示，在距水平地面H和4H高度处，同时将质量相同的a、6两小球以相同的初速度vo水平抛出，则以下判断正确的是（）
A.a、b两小球同时落地
B.两小球落地速度方向相同
C.a、b两小球水平位移之比为1：2
D.a、b两小球水平位移之比为l：4
解析
答案C
2.反向抛出
例4如图5所示，长度为L、倾角θ=30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1，同时在底端A正上方某高度处水平向右抛出小球2，小球2垂直撞在斜面上的位置P，小球1也同时落在P点，求两球平抛的初速度和下落的高度.
解析设运动时间为t、小球1和2的初速度分别为v1和v2、下落高度为h，小球1做平抛运动落在斜面上，有
三、物体从同一点或不同点先后抛出
1.同向抛出
例5如图6所示，A、B两小球之间用长L=6m的柔软细线相连，将两球相隔△t=0.8s先后从同一高度从同一点均以vo=4.5m/s的初速度水平抛出（取g=10m/S?）.求：
（1）4球抛出后经多长时间，A、B间两球的连线可拉直：
（2）在这段时间内A球离抛出点的水平位移为多大.解析 （1）两球相隔0.8s水平抛出，在水平方向上的位移差保持不变，在竖直方向上的位移差逐渐增大，设A球抛出t时间后，A、B两球间的连线可拉直.有：
水平方向上两球的位移之差：
△x=vo△t=4.5x0.8m=3.6m
竖直方向上两球的位移之差：
由图7可知，绳子拉直时有
（Ax）?+（Ay）?=L?
代人数值得：t=ls.
故经过1s，绳子被拉直.
（2）这段时间内A球离抛出点的水平位移为
x=vot =4.5xlm=4.5m.
2.反向抛出
例6如图8所示，将a、6两小球以大小为20√5m/s的初速度分别从A、B两点相差Is先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10m/S?，则抛出点A、B间的水平距离是
（）
A. 80/5m
B. 100m
C. 200m
D. 180√5m
解析a、b两球在空中相遇时，a球运动t秒，b球运动了（t-l）秒，此时两球速度相互垂直，如图9所示：
解得：t=5s（另一个解舍去），故抛出点A、B间的水平距离是
选项D正确.
答案D
多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题.由于涉及到的研究对象较多，情况多种多样，因而给同学解题造成一定的困难.经过分析，可归纳为以下三类常见的多体平抛运动.
（1）若两物体同时从同一高度（或同一点）抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.
（2）若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.
（3）若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.
下面通过例题来归类解析，
一、物体同时从同一高度（或同一点）抛出
1.同向抛出
例1 a、6两个物体做平抛运动的轨迹如图1所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台的时间分别为ta、tb，则（）
A.va>vb
B.va
D.ta
答案AD
2.反向抛出
例2 如图2所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上.若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（）
A. 1： 1
B. 4：3
C. 16：9
D. 9： 16
解析两小球均做平抛运动，由题意知，小球都落在斜面上，所以A、B两个小球位移方向与水平方向的夹角分别为θ、θB，如图3所示，
答案D
二、物体同时从不同高度抛出
1.同向抛出
例3如图4所示，在距水平地面H和4H高度处，同时将质量相同的a、6两小球以相同的初速度vo水平抛出，则以下判断正确的是（）
A.a、b两小球同时落地
B.两小球落地速度方向相同
C.a、b两小球水平位移之比为1：2
D.a、b两小球水平位移之比为l：4
解析
答案C
2.反向抛出
例4如图5所示，长度为L、倾角θ=30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1，同时在底端A正上方某高度处水平向右抛出小球2，小球2垂直撞在斜面上的位置P，小球1也同时落在P点，求两球平抛的初速度和下落的高度.
解析设运动时间为t、小球1和2的初速度分别为v1和v2、下落高度为h，小球1做平抛运动落在斜面上，有
三、物体从同一点或不同点先后抛出
1.同向抛出
例5如图6所示，A、B两小球之间用长L=6m的柔软细线相连，将两球相隔△t=0.8s先后从同一高度从同一点均以vo=4.5m/s的初速度水平抛出（取g=10m/S?）.求：
（1）4球抛出后经多长时间，A、B间两球的连线可拉直：
（2）在这段时间内A球离抛出点的水平位移为多大.解析 （1）两球相隔0.8s水平抛出，在水平方向上的位移差保持不变，在竖直方向上的位移差逐渐增大，设A球抛出t时间后，A、B两球间的连线可拉直.有：
水平方向上两球的位移之差：
△x=vo△t=4.5x0.8m=3.6m
竖直方向上两球的位移之差：
由图7可知，绳子拉直时有
（Ax）?+（Ay）?=L?
代人数值得：t=ls.
故经过1s，绳子被拉直.
（2）这段时间内A球离抛出点的水平位移为
x=vot =4.5xlm=4.5m.
2.反向抛出
例6如图8所示，将a、6两小球以大小为20√5m/s的初速度分别从A、B两点相差Is先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10m/S?，则抛出点A、B间的水平距离是
（）
A. 80/5m
B. 100m
C. 200m
D. 180√5m
解析a、b两球在空中相遇时，a球运动t秒，b球运动了（t-l）秒，此时两球速度相互垂直，如图9所示：
解得：t=5s（另一个解舍去），故抛出点A、B间的水平距离是
选项D正确.
答案D
