数学教学如何合理运用数学中的对称方法

    高尚斌

    [摘 要] 现行的高中数学教材中，体现数学中对称方法的内容比比皆是。教师如何挖掘教材中蕴含体现对称方法的内容，并通过一定的教学手段和学生的数学学习活动直观形象地概括，归纳所涉及内容的对称性质，这样才能使数学思维的训练与数学方法的培养有机地结合，才能合理达成教学目标。

    [关 键 词] 对称方法；数学教学；合理运用

    [中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）07-0146-01

    一、对称方法的背景

    自然辩证法告诉我们：世界上的万事万物都处在运动变化中。运动是绝对的，静止是相对的。许多事物的运动变化状态呈现出各种各样的对称特征。例如，一些植物的叶片、动物的形体；中国古代的建筑设计、工艺美术图案；天体的固有周期运动相对于时间；地理学中的经度与时差；大量的平面图形，空间几何图形相对于基本元素——点、线、面，呈现的对称等。运用数学理论和方法定量精准地刻画数学问题中的对称性便产生了数学中的对称方法。在数学课堂教学中如何有效合理地运用数学中的对称方法，对培养学生良好的思维品质和创新性的数学能力具有十分重要的意义。

    二、根据图形对称的特征，设计数学教学活动

    1.在《平面几何》的教学中，我们把具有轴对称性质的一类图形（如等腰三角形、等腰梯形、圆等）要求学生通过画图—折叠—剪纸等数学实验活动，探索发现图形关于某直线（对称轴）两旁的部分能完全重合。同样，把具有中心对称特征的图形（如平行四边形、圆、双曲线等）通过翻转180度能够与原来的图形重合。通过数学活动使学生加深了对轴对称、中心对称概念的理解和认识，为进一步探求两类图形的性质奠定了基础。

    2.在《平面解析几何》的教学中，为了通过方程讨论曲线（或直线）的性质，我们可以将具有关于原点对称和坐标轴对称的曲线对应的标准方程（例如，圆、椭圆、双曲线的标准方程）引导学生通过分析方程中变数x与y具有的轮换对称不变性，利用这个特征通过对方程的讨论得出它们既是中心对称（原点对称）图形又是轴对称（坐标轴对称）图形的性质，体现了数与形的完美统一。

    3.在二项式定理的教学中，利用对称方法引导学生发现二项式系数具有等距对称性，得出二项式系数的性质。

    三、根据数学问题中字母或变量系数具有的对称性，研究数式的性质

    1.在三角函数关系式的教学中，由于許多恒等式在表达形式上具有简单明了的对称关系，所以，教学中通过分析对称特征可以加深对这些公式的理解与记忆。

    2.对命题及其关系，简单的逻辑关系的教学中，一些命题的结构形式具有对称性，例如，原命题与逆否命题可以通过它们的题设与结论的否定转换，使复杂抽象的命题转化为简单具体的

    命题，从而使问题得以解决。

    3.根据数学美感要素中的对称美创设课堂情境，激发学生的求知欲。数学中的对称美从古到今充满着数学发展的每一个角落。纵观数学发展史，毕达哥拉斯发现的勾股定理，他认为直角三角形具有简明和谐的对称关系；笛卡儿创立的解析几何，在方程与曲线之间建立了相应关系，推动了数学的发展；爱因斯坦创立的相对论，一些结论的产生是现代物理学研究中采用数学中运用平衡对称法的范例。教学中遴选那些在数学发展史上对自然科学的发展和研究方法具有影响的内容，作为引入新课内容的“敲门砖”以此激发学生的学习兴趣和探索科学的精神。例如，在讲解椭圆性质时可在电脑搜集“中国大剧院”“鸟巢”“神舟七

    号”的太空运行轨道等图片，由于它们的设计风格与运行轨道具有椭圆的对称性。在讲正弦定理和余弦定理的公式推导时，可紧扣“边与对应角正弦的比相等”“任意边与其余两边及夹角的

    关系”具备数学中轮换对称式的特征，这样，学生也能正确表述写出其余三组公式，并加深对公式的记忆。

    四、根据数学中的对称方法，合理达成课堂教学目标

    依据数学课程标准制定的课堂教学目标——知识与技能目标；过程与方法目标；情感态度与价值观。必须突出：（1）知识目标符合课程标准——具体性。（2）教学方法符合学生易掌握的实际——可操作性。（3）有利于学生智力开发和能力提高——可检测性。三维目标实际上是教学目标的子目标，它们既相互联系又相互依存，因此，在课堂教学中通过创设情境、导入新课的环节让学生观察一些对称图形，动手实践（折叠、剪纸、画图等）直观感悟对称图形的特征。接着，在直角坐标系平面内，通过数形结合精辟分析对称图形的性质。当他们得出结论时，不仅感悟到学习数学的方法，而且体验到数学活动充满探索与创造，感受到数学的对称美。通过练习与检测获得的成功与喜悦，获得情感体验，使不同层次学生学习数学的价值得到了体现，价值观随之发生了变化。

    总之，数学中的对称方法和对称思想在数学教学中具有广

    泛的运用。从数学教学的核心目标之一即培养学生良好的思维品质和创新性的数学应用意识来看，在传授知识的同时必须注重学生数学思想和方法的培养。因为数学中许多概念的产生、公式及定理的得出都是人们从大量的生产生活实践及科学技术发展过程中积累的事实，通过人脑抽象思维的形式逐步呈现出来的。所以，重视数学中一些特定的数学方法——对称方法等的数学教学有助于学生观察能力、应变能力、猜想归纳能力的培养，对形成抽象思维能力具有重要意义，同时对中学数学教学的改革与发展具有积极的促进作用。

    参考文献：

    [1]王仲春，李元中，顾莉蕾，等.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社，1989（11）.

    [2]徐利治.数学方法论选讲[M].华中理工大学出版社，2000.