不惧“模仿秀” 贯有精气神

郑云初
浙江省温岭市大溪中学 (317525)
引子:2008年,注定要被历史记住的一年:汶川大地震、北京奥运会……,有幸在这一年送走了又一届学生.因为带高三,复习时做了一些题,即使考后,仍不由自主的关注08高考题,看到山东理科第22题,心有所触,不揣冒昧,试呈一家之言.
1 题目呈现
08山东高考理科数学第22题(最后一题,满分14分):如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,﹟AB|=410.求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中点C满足㎡C=㎡A+㎡B(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2 题解简析
此题的前两问,由导数的几何意义,得出A、B处的切线斜率,用点斜式表示出两切线方程,即可解决(1);利用弦长公式、韦达定理,可求得p,(2)获解;(3)是一个探索存在型问题,因DC中点与AB中点所得斜率,即为AB斜率,可得D的横坐标与M的横坐标关系,再分类讨论M相应的存在性.(自行寻查标准答案,在标准答案中,①②不必作差,两边乘以2p,整理即知x1,2是方程x2-2x0x-4p2=0的两根,由韦达定理(1)获解,且解(2)的要素即 刻呈现,可减少一个“思维回路”(文[1]).
3 似曾相识
浏览08年数学高考题时,初见此题,赫然入目的是图形,感觉是那么的熟悉与亲切,直觉她与上年的一道高考题很相似,马上查了一下复习讲义,果然是07年江苏高考数学第19题(附文后):两题图形如出一辙,对线条略施增删(操作免述),即可保持两图的一致性;动手做了之后,更觉08山东22题的题设及(1)(2)问与07江苏19题的“相似度”是相当的高.在前后年中出现这种现象,远比在同年中出现这种现象更引起我的关注与思考,关注命题者的思想脉搏,思考我们的教学与复习.
4 寻味之处
命题者的勇气 高考是中国第一考,其社会关注度,用“万众瞩目”来度量,至少要乘两个数量级.面对高考,师生有压力,命题者更有压力,高考试题:说重一点,定人终身;说轻一点,白纸黑字,直面全国师生;说实在点,要有信度、效度、区分度,要体现稳定性、新颖性、选拔性、导向性…….而数学试题中的最后一题,更被称为压轴题,犹如压轴戏,应是最精彩的,总要经受更多的目光与挑剔.坚信08年复习的教师,07年的高考题(全国和各省市)是必看(有些则做、练、讲)的,犹如兵家之力求知彼,估摸08年的命题者也是关注的.而08山东命题者,敢选择与07江苏数学19题“相似度”如此高的题目作为压轴题,不怕“压轴”被“知彼”,不畏被称“模仿秀”,着实勇气可嘉,同时还隐隐透出一种闲看云卷云舒,静听潮起潮落的淡定从容,显得底气十足.
命题者的底气 从题目看题目,山东题将江苏题的抛物线回归到最一般形态,以标准的一般方程形式呈现,更显大气,所设第(1)问的形式层次高(形中问数),本质更隐蔽;从题解看考查内容,既考查导数的几何意义,直线斜率公式,弦长公式,方程与曲线关系,方程解的意义,韦达定理等知识点,又考查学生分析转化问题、探索问题的能力、字母运算能力等和数形结合、方程思想、分类讨论等数学思想方法的运用,这些无一不是中学数学主干知识与基本方法和必备能力;从题目再探究,不难得出诸如“割线AB的斜率是切线MA、MB斜率的等差中项”、“M点的轨迹与直线AB在y轴上的截距互为充要,即:设b>0,若AB过(0,b),则M点的轨迹方程为y=-b;反之亦然”等结论,特别是第二个结论中的一点一线,一如抛物线焦点与准线的无数“孪生”,不经意间把我们带入一个意韵无穷的数学世界:这里的美丽不冰冷,这里的思考很火热,这里的发现无止境.至此,我们应该说山东的命题者是“他山之玉精雕琢”而非“模仿秀”了.
命题者的和气 此题作为压轴题,前两问难度中等,入手不难,计算量不大,说明了命题从中学实际出发,体现了对考生的关怀.目光放远点,鲁琼宁粤是一批高中新课程改革省份,07年即已进入新课程高考,其他各省市今明跟上,中学师生十分关心新课程的高考,命题者正通过某些试题谆谆道来:新课程高考,更关注数学的本质与核心;题是外形,法是内在.外形是显性的,可以相似相依,可以截然相反;而法是通性的、本质的,更值得我们去思考、研究、落实,我们的教学落脚点应是中学数学核心的概念、思想方法(文[2]),通过它们培养学生的智商、情商和能力,使学生素质整体提升,个性得到自主发展.
一点启示 高考命题,重点内容重点考查是一条铁律,这里的重点内容是包含知识方法能力诸方面的,而使这一必然得以呈现的载体——题目,其出现带有一定的偶然性.在复习中,选题要以必然性为主导,不可猜题押题被题牵着走,要研究课程标准、考试大纲的要求,起点放底,主干抓牢,减少教学过程中的盲目性与随意性,增加复习的实效;试题评析时,要及时引导学生回头看,看题目实质考查那些知识,用到那些方法,考查什么,能否进行进一步的探究等,使复习能落到实处.
附:2007年江苏高考数学第19题(满分14分):如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点.一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于点P,Q.
(1)若㎡A?㎡B=2,求c的值;
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西:陕西师范大学出版社,2001.
[2]课题组.中数核心概念……中期研究报告.陕西:中学数学教学参考,2008,7.
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