数学对称美与统一美在中小学数学教学中的应用

    罗建华

    【摘要】如果我们能细细品味数学那些枯燥公式,烦琐证明之后的本质规律,就能体味到一种独特的美,那是数学所特有的美:逻辑上的严谨性、结构上的协调性、理论上的抽象性、应用上的广泛性以及其方法之优美与奇特、其形式之间的对称与和谐、其内容的丰富与深刻等等,无不给人以美的感受,美的刺激,美的热爱。美育,是培养人们认识、发现、体验、欣赏和创造美的能力的一种教育方法。我们可以通过美育促进受教育者获得美的理想、美的品质、美的修养和美的情感。一方面,中小学数学教育是为学生建立一个基本的逻辑体系,另一方面是为了学生做到主动学习,喜爱学习,最后形成终身学习的习惯,这才是中小学数学教育的立足点与支撑点。

    【关键词】对称美;统一美;數学教学

    曾经有教育家说过:“没有美和艺术的教育,在我看来是不可思议的。”进入21世纪的今天,审美教育这个新名词渐渐被人们所提起。音乐、体育、美术等艺术类科目首先想起号召,开展了大量的美育活动,紧接着语文、英语也做出了改变,唯独数学无动于衷、迟迟不动。这是为什么呢?难道是数学缺少美吗?古希腊的哲学家柏拉图就已经发现数学是一个巨大的美学宝库,例如对称美、统一美、比例美以及黄金分割等等。许多老师曾为学生不喜欢数学而苦恼,然而只要我们在教学中引导他们发现美,让课堂变得活跃起来,激发他们的兴趣,焕发他们的热情,再好好地培养他们的兴趣,何愁不能提高他们的成绩。由于本人才疏学浅,仅仅对数学的对称美和统一美有些浅薄的研究,希望对数学教学起到些作用。

    一、数学中的对称美

    数学知识中的对称有很多,但我们常见的只有三类:其一为轴对称,代表图形有等腰三角形、长方形;其二为中心对称,代表图形有平行四边形、正方形等;形式上的对称,比如加减乘除、正反比等。教师在课堂上可以渗透对称的思想,比如教室内常见的黑板、讲台都是对称的,具体来说是轴对称。

    在所有对称图形中,最令人惊叹是圆这个简单的曲线。它的对称轴有无数条,即便是作为一个中心对称图形,它也很特殊。一般的中心对称图形必须绕其对称中心旋转180度后才能跟原图形重合,而圆不一样,将它绕其中心旋转任意一个角度后都能跟跟原图形重合,这就是圆所独有的性质,让人不禁赞叹它是最完美的曲线图形。

    (一)创设美的情境,让学生感受数学的对称美

    在课堂上用课件放出美丽的轴对称图形,可比干巴巴地讲课生动、形象多了,并且通过多媒体的放映,可以创立一个美的情境,让学生置身于美中,全身心地感受到对称美,在美境中得到成长。比如在学习轴对称这一章时,教室可以这样说:“同学们,在这个世界上存在着许多轴对称图形,你们认为它是美的吗?当然是美的,正是因为有了这些美丽的轴对称图形,我们的世界才会变得如此五彩缤纷、丰富多彩!好了,就让我们走近轴对称图形,去解开她那神秘的面纱。”[动画呈现:有美丽迷人的泰姬陵、庄严肃穆的金字塔、雄伟壮丽的富士山和历史悠久的巴黎圣母院等名胜古迹;有圆、矩形、椭圆、等腰三角形、正五边形等各种图形;还有漂亮的小蜜蜂,可爱的青蛙,美丽的蝴蝶等各种小动物……]随着时间的推移,学生的情绪调动了起来,发出此起彼伏的赞叹声。学生已经完整地感受到了对称图形的美,师:“正因为有了这么多对称与不对称,才让我们的世界变得如此五彩缤纷、美丽动人。”通过这些美丽的画面,让学生欣赏到对称美,并产生追寻美的渴望。

    师:刚才老师展示了那么多的轴对称图形,想必同学们已经对轴对称图形有了深刻的认识,不知道你们能不能画出一幅老师最喜欢的轴对称图形?

    经过前面的铺垫,学生基本上理解了轴对称原理,现在进行创作不仅可以锻炼他们的动手能力,还可以进一步巩固加深对知识的理解,教师在下面巡查,也可以查漏补缺。

    本节课将要结束时,学生自主创作出来许多作品,如枫叶、彩虹、气球等等。在本节课的作品展示环节,通过学生自己向全班介绍作品,加深了学生对对称的理解,也表现了数学对称美的文化内涵。

    (二)探索美的秘密,创立美的等式

    探索、发现、创造三部曲不仅是人类求知过程,也是一种常用的教学手段,例如我们可以在先在黑板上写出一些对称等式,让学生仔细观察,再提出一个问题,其实答案就隐藏在等式之中,等到学生苦苦探索,最终得到规律答案,并利用规律创造新的等式。多媒体出示:

    师:请同学们仔细观察上面的6个等式,你觉得美吗?为什么?你能找出它的规律吗?

    前面两问比较容易,学生一下子就答出来了。可是对于最后一问,全班都陷入了沉默,见此情况教师决定给几分钟讨论。学生经过激烈的讨论最终发现了算式的秘密:1.每个算式都关于等号对称;2.两个个位、十位互换的两位数的乘积等于两个原两位数的乘积。

    师:刚刚我们得到了对称等式的特征,你们能不能根据它的规律创造出一些类似的算式?

    听到这话,学生们跃跃欲试,不一会儿就创造出很多对称等式,现出示一部分:

    数学美育的魅力在于让学生通过探索发现,不断发现对称美的秘密,并依据规律创造出对称美。这样不仅锻炼了学生发现美的能力,还激发了他们探索美的热情。

    从回文数中得到启发,巧解等差数列,回文数是指正序读、反着读都是一样的整数,例如:1001、343、78987等。在回文数的整数乘法中,我们发现了一个有趣的现象:1×1=1,11×11=121,111×123=12321。

    我们通过仔细观察发现出规律,并巧算出:111111111×111111111=12345678987654321,回文数在数学算式上的巧妙应用正是反映了对称美,从而引起学生浓厚的兴趣。

    (三)从轴对称图形中发现对称原理的运用

    在我们学习了轴对称图形后,最常见的习题就是画出轴对称图形的另一半。其实轴对称图形为人们研究数学问题提供了某些启示,例如在博弈论中也经常用到对称理论,有一道经典的题目:

    一张桌面上摆了一排糖果,共计41个,有两个小朋友比赛看谁能拿到最后的糖果就算赢,游戏规则是每人每次只可以拿一颗,最多拿两颗,但是拿两颗糖果时必须是相邻的,即中间没有其他的糖果,证明:先拿的人一定有办法使对方输。这题表面上看挺难的,以为从排列组合的角度来看,分法太多了,但是如果从对称的角度来看却十分容易。当先手拿走了最中间的那一颗(第二十一颗糖果)后,左、右两边都各剩二十颗糖果,只要对方拿一边的糖果,你就拿另一边的糖果,而且位置、个数都和对方对称,只要对方拿多少,你也拿多少,因为是对称的,所以最后一次肯定是你的,因此先拿的人肯定是赢家。如果糖果是40粒,即偶数个时,只要你第一次拿走了中间的两粒,使左、右两边各剩19颗糖果,就能保证必胜。

    解答的思维方法来源于轴对称图形的基本特征,教师在教授轴对称图形性质特征时,可以部分引用这方面的知识,加深对轴对称图形知识的运用和深层理解,使学生乐于学习,发现对称的美,领略到数学的魅力,激发学生发现美、鉴赏美、创造美的能力,并培养学生高尚的审美情趣。

    二、数学中的统一美

    在数学现象中,统一无处不在,图形中:长方形、正方形统称为矩形,因为它们的特征都是四个直角和两对互相平行的线段;正数和负数这两对冤家也可以统一到实数中去。

    (一)结论的统一美

    一个统一的结论可以揭示自然界的一些秘密,促进人类社会的发展进步,人类的发展史就是一个不断追求统一结论的过程。而作为所有学科的基础,人类发展的基石———数学更是如此,我们对数学现象的所有分析都形成了无数个统一的结论,然而这只是冰山一角,自然界中还有许多没有发现的结论等着我们。我们数学教材中的每一个公式,每一个定理都是一类问题的统一结论,也是最高度的概括与总结。例如,矩形的四个角是直角。除了公式和定理具有统一性外,许多看似毫无关系的问题也能得出统一的结论。

    (二)方法的统一美

    数学中有许多常见的方法,它们的应用十分广泛,如消元法、降次法、图像法、代入法等等,它们在数学解题中扮演着十分重要的角色。

    例如,二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知数,一元一次方程组也可以用图像法得出答案。

    举个简单的例子,我们在计算五边形的内角和,可以轻易地想出以下几种方法:

    方法1:如图3,连接AD两点,再连接AC两点,我们可以看到线段AD、AC将五边形ABCDE分成三个三角形,因为一个三角形的内角和是180度,那么五边形的内角和为180×3=540度。

    我们一直观察发现,上述的三种解法,都有两点统一的特征:(1)都是每个顶点跟任意一点连接,这个点可以是顶点,也可以是五边形内部的一点,甚至可以是五边形一边上的任意一點;(2)将求五边形内角和的问题,转化成求几个三角形内角和相加的问题。看到这里,有同学不禁想到如果任意一点是在五边形的外面,那么还能构造出三角形来求五边形的内角和吗?其实是可以的,方法同上面三种解法一样,我就不详细论述了。对不同的解题方法进行概括总结,得出统一的结论,有助于学生深刻地理解问题本质,拓展思路,锻炼解题技巧,感受统一美的魅力。

    (三)过程的统一美

    我们在学习矩形、平行四边形等数学图形的过程都经历了定义、性质、认识、应用的四个环节,无独有偶,学习全等、相似等数学关系的时候也是经历了这四个环节。而我们在学习一元一次、二元一次等方程的过程都经历了概念、解法、应用的三个阶段。知识点的研究过程可以统一,那么数学的解题过程也有统一美吗?

    注:我们发现在解答第二问的时候有两种情况,在这两种情况中的图形差异很大,得出的结论也不一样,但是解题过程却出乎意料的一致。这种解题过程的高度统一在第三问中也存在着,第三题共有六种情况,除了两种情况无解外,其他几种情况的解题过程基本一致,这里就不赘述了。

    从这道题中,我们可以发现图形通过平移、旋转等变换改变了位置和形状,但是解题的过程却是高度的统一,从这种统一上,学生可以得到思路的启发,找到快速简捷的解决问题途径,这就是统一美的意义所在。

    三、对未来数学教学模式的思考和建议

    渗透数学美在数学不仅是教学过程中体现的数学之美无处不在,也刺激了课堂气氛,吸引学生的学习兴趣,使学生形成微妙的一个美丽的培养。

    教材里潜藏的美学因素,教师应在课堂教学中揭示出来,让学生自然地认识到数学的美。教师可以引导学生获取新知识与审美特征。通过必要的实践中获得感悟,再发现新的知识与美学。学生通过这个过程培养了审美直觉能力,提高了实践创造能力。

    教师在课堂教学中要注重于引导学生的审美意识,适当地将数学中美的因素呈现出来,让学生体验到数学的美感。

    教师可以探索数学美的教科书,培养学生的感受美,欣赏美,让学生可以用美学方法在数学创造美的能力。

    因此,在教学实践中,学生可以更轻松,更快乐地学习数学知识,掌握数学技能,形成了学习气氛,是自觉的,轻松的,活泼的。

    【参考文献】

    [1]周欣.谈谈数学的美[D].南昌十八中,2006.

    [2]刘鹤翔.小学数学教学中美育渗透的问题及对策研究[D].哈尔滨师范大学,2017.

    [3]杨云.中心仿射曲面和余二维中心仿射浸入[D].东北大学,2010.

    [4]张水根.认真挖掘新教材中存在着的数学美[J].龙岩师专学报,1998.

    [5]韩诗贵.浅议初中数学教学的统一美[D].江苏省无锡市惠山区省锡中实验学校,2016.

    [6]郭育红,夏立华.高师应加强数学美教育[J].河西学院学报,2002.

    [7]蔡小真.浅析数学在素质教育中的美学价值[J].福建广播电视大学学报,2010.

    [8]陆灵俊.巧用情商因素优化数学教学[J].广西教育,2005.

    [9]杨云.三维Minkowski空间中二次曲面的分类[D].东北大学,2006.

    [10]荣伟.数学校本课程开发[D].内蒙古师范大学,2012.

相关文章!
  • 小学语文课堂教学中的激励性评

    摘 要:激励性评价作为小学常用的教学方式,在教师日常教学中具有重要作用,在各小学学科中都有应用。在小学语文课堂上,语文教师需要与学

  • 高等教育人工智能应用研究综述

    奥拉夫·扎瓦克奇-里克特 维多利亚·艾琳·马林【摘要】多种国际报告显示教育人工智能是当前教育技术新兴领域之一。虽然教育人工智能已有约

  • 生活引路,作文随行

    周海波【摘 要】“写作教学应贴近学生实际,让学生易于动笔,乐于表达,应引导学生关注现实,热爱生活,表达真情实感。”教师如何让学生更加贴